ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 1, с. 126-131
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
А.В. Жевняк. "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИСКОНТИРОВАНИЯ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КРЕДИТА".
РЯЗАНЬ: РИНФО, 2010.
Книга посвящена математическим аспектам анализа переменных во времени денежных потоков, созданию новой математической техники дисконтирования и основанному на ней системному сравнительному анализу различных кредитных схем с выявлением принципиальных свойств и особенностей каждой.
Повышенное внимание к совершенствованию техники дисконтирования может на первый взгляд показаться странным явлением. Конечно, тема дисконтирования и сегодня составляет важную часть учебных курсов "Финансовой математики" и "Финансового менеджмента". Но в научном плане ее можно считать относительно бедной, поскольку все ее ключевые результаты уже давно стали классическими, а сами вычисления выполняют компьютерные программы. Может быть, именно поэтому детерминированные аналитические методы финансовой математики (в отличие от стохастических) развиваются довольно медленно. На этом фоне результаты А.В. Жевняка, представленные в первом разделе монографии, выглядят свежо и ярко.
Для дисконтирования потоков вида {Дj = 1,..., n}, члены которых изменяются во времени по степенному закону (к - целое неотрицательное число), автор вводит в научный оборот дисконт-
n
функции (Д-функции) {к(е, n) = / [jk/(1 + s)j] степени к (е > 0 - ставка дисконта; n - число
j=1
членов потока), и в общем виде производится вычисление соответствующих конечных сумм.
n
Задача суммирования одинаковых степеней натуральных чисел / jk решена Я. Бернулли
j=1
(Jacob Bernoulli), в связи с чем была определена последовательность рациональных чисел Bj, на-
n
званная позднее его именем. При отсутствии дисконтирования (е =0) - очевидно, {к(0, n) = / jk.
j=1
Таким образом, вычисление степенной Д-функции является решением обобщенной задачи Бер-
нулли, а сами дисконт-функции могут рассматриваться как суммы дисконтированных значений одинаковых степеней натуральных чисел, т.е. как дисконтированные бернуллиевы суммы.
Большое внимание в книге уделено изучению свойств степенных Д-функций (монотонность, ограниченность, выпуклость, суммируемость по индексу порядка), построению производящей функции, получению формул дифференцирования, разложению в степенной ряд, расширению области определения до отрицательных значений порядка и комплексных значений ставки дисконта, что потом используется при дисконтировании потоков, заданных тригонометрическими полиномами.
В книге получено несколько видов рекуррентных формул, позволяющих эффективно вычислять Д-функции, одна из которых имеет вид (C™ - биномиальные коэффициенты):
к 1 + S к
{к(е, n) = ----/ (-1)т Cm{к-т(s, n). Отсюда могут без труда быть выписаны вы-
е(1+ е)n е т=1
ражения Д-функций низших степеней, но в книге получена и явная формула
{к(е, n) = хк * - —^—det Ъ * (е, n) + {„(е, n)
1 + е
1 + е
det Ъ* (е, n) - det Ъ*(е, -1)
где п) - [к х к]-матрица, элементы которой выражаются через ставку дисконта, число чле-
нов потока и биномиальные коэффициенты.
В этом месте результаты А.В. Жевняка близки к результатам Я.З. Цыпкина (Теория линейных
qj
импульсных систем. М.: ГИФМЛ, 1963), который изучал бесконечные суммы вида / f(j )e
j=о
для построения D-преобразования решетчатых функций (в иностранной литературе более
известного как Z-преобразование, где eq = z). Заменой eq = 1 + е такие суммы сводятся к виду
/[f(j)/(1 + е)j], а для степенных решетчатых функций - к виду /[jk/(1 + е)j] = lim {k(е, n), j=0 /=о n"3
т.е. являются предельными значениями дисконт-функций. Результаты вычисления предельных значений степенных дисконт-функций по формуле Я.З. Цыпкина и по формуле А.В. Жевняка полностью совпадают. Таким образом, теория Д-функций обобщает некоторые результаты теории D-преобразования решетчатых функций и может применяться в анализе импульсных систем в тех случаях, когда целесообразно использовать конечные потоки вместо бесконечных.
В книге есть и другие результаты, которые применяются в смежных областях математики. В частности, показана возможность конструктивного применения дисконт-функций в теории разностных уравнений, которую автор демонстрирует на примере линейного уравнения первого порядка со степенной правой частью.
Путем перехода к комплексной ставке дисконта | = (1 + е)e-!™ -1, i = V1—1 и комплексным
n ■k
Д-функциям {k(n) = /-: в книге получены выражения для синуса и косинуса Д-функ-
ций степени к:
~ (1+1)
n .k • n .k
ST-л J sin ~J ST-Л J cos ~J
{ks(e, n, ~) = = Im{kn), {kc(e, n, ~) = /= Re{k(I, n), -
J=1 ^ 4/ /1,4/
(1+ e)J 7=1 (1+ e)J
которые позволяют вычислять дисконтированные суммы потоков, заданных тригонометрическими полиномами
*Rj = jk //(avcosv~j + bvsinv~j), av, bv, ~ = const; v = 1, ..., l; k = 0,1, ...; j = 1, ..., nj,
и дан ряд примеров дисконтирования таких потоков с наглядными иллюстрациями в виде временных диаграмм.
На основе изученных свойств Д-функций в монографии получены их эффективные нижние и верхние оценки, позволяющие проводить сравнительный анализ основных показателей финансовых операций, в частности кредитов.
Таких оценок получено более полутора десятков, но наиболее полезными в последующих аналитических выкладках оказываются три. Две из них (нижняя и верхняя):
{0(е, n) > —n—, Фо(е, n) <-—-, -
V 7 1 + ne 2 + (n + 1) е
установлены относительно просто - путем прямого доказательства. Третья оценка выводится автором из неравенства Коши и записывается сначала в более общем виде: {2(e, n) < Ф0 (е, n) Ф2к(е, n), - а затем при k = 1 и через Д-функцию нулевой степени:
(1+ е)ф0(е, n)+ n2f{0(е, n) -n2>0.
Особое место в этом ряду аналитических инструментов занимает неравенство, связывающее две дисконт-функции нулевой степени, из которого выводятся наиболее тонкие свойства кредитов:
Ф0(8м, n)Ф0(е, n) - -Т-^— [8тФ0(8„, n) - еф0(е, n)] > 0. о м - е
Это неравенство получено в ходе сравнительного анализа суммы процентных платежей в двух кредитных схемах (в авторских обозначениях dm - процентная ставка кредита, s - ставка реинвестирования кредитором платежей обслуживания кредита, поступающих от заемщика). Доказательство, вынесенное в Приложение, занимает семь страниц текста и проведено аккуратно, без каких-либо умозрительных домыслов, и только после этого приведена трехмерная графика -геометрическая иллюстрация трансформации поверхностей при вариации параметров. Это неравенство может быть записано через биномы (1 + в)п и (1 + öm)n, причем в такой интерпретации оно может быть полезно в решении других задач финансовой математики и смежных областей.
Отдельного обсуждения требует избранная автором система обозначений. Дело в том, что степенная Д-функция нулевой степени является не чем иным, как коэффициентом приведения постоянной единичной ренты
, , // 1 (1+ в)"-1
Фо(в ") = /-- =-—,
(1 + в)j в (1+ в)"
и традиционно обозначается в виде ап.в. При вычислении современной стоимости единичной ренты с постоянным абсолютным приростом платежей в литературе используется также дисконт-функция первой степени {1(в, п) = Ьп;в = (п + 1)ап;в + (ап;в - ")/в, но дисконт-функции более высоких степеней пока не нашли широкого применения (кроме, возможно, отдельных частных задач). Думается, однако, что смена обозначений в данном случае вполне оправдана. Это связано в первую очередь с необходимостью использования Д-функций более высоких степеней {1(в, п),..., {¿(в, п) для дисконтирования степенных потоков. Применение здесь традиционного обозначения с введением еще одного верхнего или нижнего индекса приводит к ненужному нагромождению, например ап.в.к или а".е, причем верхний индекс уже занят в операциях с р-срочными рентами (ав Понятно также, что запись Д-функций вида фк_т(в, п + 1), фк_т(в, n1 + п2), фк(-р/(1 + р),п), Ф8(в, т, м) (а при переходе к комплексной ставке дисконта и {k(|, п) = фк((1 + в)(со8 м - i sin м) -1,п)) через коэффициенты приведения с громоздкими индексами просто невозможна.
Фактически при том уровне проработки, который дан в рецензируемой монографии дисконт-функциям, можно вполне говорить о введении в научный оборот нового класса вспомогательных функций, являющихся по сути специальными функциями финансовой математики.
Вторая часть книги целиком посвящена изучению свойств кредитов. Вопросы, касающиеся планирования погашения долга для различных кредитных схем, достаточно широко освещены в литературе по финансовой математике. Подход А.В. Жевняка направлен на получение аналитических выражений основных показателей, после чего решается задача сравнения и конверсии выбранных четырех базовых кредитных схем, а именно:
- с равномерным погашением основного долга и начислением процентов на остаток основного долга, который также называют "кредитом с амортизацией долга", "кредитом с дифференцированными платежами", или "классическим" (для краткости его обычно называют "ординарным кредитом").
- с регулярной уплатой процентов, начисляемых на сумму основного долга, с единовременным погашением основного долга в конце срока (по аналогии с купонной облигацией такой кредит называется "купонным").
- с единовременной уплатой основного долга и начисленных процентов в конце срока ("шаровый кредит").
- с одинаковыми по величине платежами за обслуживание долга в виде постоянной ренты ("аннуитетный кредит").
В книге все показатели кредитов пронумерованы в том порядке, в каком они перечислены выше.
Основным результатом главы 6 является получение выражений для текущих процентных платежей P- и платежей в уплату основного долга G, их дисконтированных сумм Рпв и Gпв, а
также выражений для суммарных платежей обслуживания кредита R пв = G пв + Рпв для названных выше кредитных схем. В главе 7 производится сравнение кредитов по современной стоимости
процентных платежей и рассматриваются условия эквивалентности кредитов по процентным платежам и платежам за обслуживание. Здесь основным результатом является доказательство
утверждения, что по сумме удельных дисконтированных процентных платежей Рпе = Рпе /S
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.