ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 3, с. 463-480
УДК 519.632
АБСТРАКТНАЯ ТЕОРИЯ HDG-СХЕМ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА^
© 2014 г. Р. З. Даутов, Е. М. Федотов
(420008 Казань, ул. Кремлевская, 18, Казанский (Приволжский) Федеральный ун-т) e-mail: rdautov@kpfu.ru, Eugeny.Fedotov@kpfu.ru Поступила в редакцию 11.06.2013 г.
Предлагается абстрактная теория дискретизации квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка на основе гибридных схем разрывного метода Галеркина. Дискретные схемы формулируются в терминах аппроксимаций решения задачи, его градиента, потока, а также сужения решения на границы элементов. Указаны минимальные условия на аппроксимирующие пространства, гарантирующие устойчивость и оптимальные оценки точности. Показано, что схемы допускают эффективную численную реализацию. Библ. 15.
Ключевые слова: разрывный метод Галеркина, гибридированные (HDG)-cxeMbi, смешанный метод, квазилинейные эллиптические уравнения, оценка точности, условие Ладыженской— Бабушки—Брецци (LBB-условие).
DOI: 10.7868/S0044466914030041
1. ВВЕДЕНИЕ
В данной работе предлагается и исследуется с абстрактных позиций семейство методов приближенного решения эллиптических уравнений второго порядка, который мы относим к классу HDG (Hybridizable discontinuous Оа1егкт)-схем метода конечных элементов (МКЭ). HDG-схемы являются гибридизированными вариантами схем разрывного метода Галеркина (DG (Discontinuons Galerkin)- или DGFEM (Discontinuous Galerkin finite element method)-схем) и занимают промежуточное положение между методом конечных объемов и МКЭ (по поводу DG-схем см., например, [1], [2]). HDG-схемы были введены в [3]. Они имеют много общего с гибридизированными смешанными схемами МКЭ (см. [4]) и также формулируются в терминах приближений к u, q, X, где u означает решение задачи, q — вектор потока, X — сужение u на границы элементов. Характерными особенностями HDG-схем является то, что они а) основаны на разрывных пространствах конечных элементов (произвольной точности); б) обладают локальной (поэлементной) консервативностью; в) допускают экономичную реализацию. Так, например, при решении линейных задач подобными методами соответствующие u и q неизвестные поэлементно исключаются из схемы и получается система алгебраических уравнений для определения лишь неизвестной, соответствующей X. Для задач с симметричным и положительно определенным оператором матрица системы оказывается симметричной и положительно определенной. После нахождения X оставшиеся неизвестные восстанавливаются также поэлементно. Отметим также, что в HDG-схемах не возникает трудностей при аппроксимации главных и естественных краевых условий.
Складывающаяся в настоящее время теория HDG-методов связана, главным образом, с линейными задачами. Мы рассматриваем следующую нелинейную задачу:
-V • k (x, u, V u ) + k0 (x, u, Vu ) = f, x ей, u = 0, x e дй, (1)
где й есть ограниченный многогранник в Rd с границей дй, f е Х2(й), d > 2. Мы рассматриваем однородную задачу Дирихле только из методических соображений. Предлагаемый приближенный метод и его исследование непосредственно обобщаются на случай неоднородных краевых условий, включая смешанные.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 13-01-00908, 12-01-97022).
Предполагается, что коэффициенты к(х, £,) = (к1(х, £,), к2(х, £,), ..., кй(х, £,)), к0(х, £,) непрерывны
по х е О при любых значениях е +кД/, 0) = 0, I = 0, ..., й. Кроме того, для любого х е О будем предполагать выполненными неравенства
X (к(- к(Х'П)) V
- ПIV п, V е я" +1, Р> 0, (2)
X (к,(х, - к(х, п))(^- - Пг) ^ аX& - П,)2 П е я" +1, а > 0. (3)
г = о г = 1
При построении дискретной схемы мы отталкиваемся от записи уравнения (1) в виде системы уравнений первого порядка, вводя наряду с и и q новую неизвестную а:
а = Vи, д = к(х, и, а), — V • д + к0(х, и, а) = /. (4)
Согласно теории монотонных операторов отмеченных выше условий достаточно для существования и единственности обобщенного решения задачи (1) в пространстве Соболева Н1(О)
(см., например, [5, с. 104]) и в (4) а е [Ь2(О)]й, и е и\ (О), q е Н(&у; О) = ^ е [Ь2(О)]й : V • q е Ь2(О)}.
Введение в схему новой неизвестной векторной величины а отличает рассматриваемые нами схемы от известных НЭО-схем, а также известных гибридизированных смешанных схем МКЭ. Это незначительно увеличивает трудоемкость метода, поскольку неизвестная может быть поэлементно исключена из схемы.
Приведем краткий обзор содержания работы. В разд. 2 мы определяем триангуляцию области О и абстрактные пространства разрывных конечных элементов. Далее, на основе методики конструирования ЭО-схем в разд. 3 определяется исходное семейство НЭО-схем. В разд. 4 выводится эквивалентная формулировка дискретной задачи, названная основной, которая получается исключением из схемы переменных, соответствующих а и q. Она использует понятие дискретного градиента, свойства которого исследуются в разд. 5. При этом вводятся два основных ограничения на выбор пространств конечных элементов ((Н1) и (Н2)), которых оказывается достаточно как для получения оценки устойчивости (разд. 5), так и для оценки точности метода (разд. 6, 7). Точность схемы оценивается через погрешности Ь2-ортопроекций и, q, X на соответствующие им пространства конечных элементов. Оптимальные оценки точности получены при двух дополнительных к (Н1) и (Н2) условиях (Н3), (Н4) в теореме 7. В разд. 8 обсуждаются следствия абстрактных условий, а также приводятся примеры удовлетворяющих им пространств конечных элементов. Наконец, в разд. 9 предлагается и исследуется метод решения систем алгебраических уравнений в случае линейной исходной задачи и итерационный метод для нелинейных задач. Оценивается число обусловленности возникающих при этом матриц.
0
1
1
2. ПРОСТРАНСТВА РАЗРЫВНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Пусть к — положительный малый параметр, Кь К2, ..., Кщк) — многогранные области в Яй, образующие разбиение О (триангуляцию О) на подобласти максимального диаметра к, конечные
элементы; т.е. (71) к = тах(ё1ат(К); (Т2) К п К = 0 при IФ]; (Т3) О = К. Пусть, далее, (Зк —
множество всех конечных элементов, К — произвольный элемент из Под гранями элемента К понимаются его й — 1-мерные грани. Триангуляцию 2Гк будем считать конформной, т.е. (74) всякая грань К есть или подмножество границы дО, или грань соседнего элемента Ь е 2Гк, и аффинно-
эквивалентной (см. [6, с. 124]). Т.е. (75) каждый К е ^к является образом некоторого К е 2Г при
обратимом аффинном преобразовании: К = ТК(К), ТК(х) = БКх + ЪК, где 2Г — конечный набор областей различных форм единичного диаметра, называемых базисными элементами. Предположим также, что (76) — триангуляция является регулярной (см. [6, с. 124]), т.е. что \\ВК\\ ~ к,
\Бк || ~ к-1 для любого К е 2Гк. (Для произвольных функций/, g, зависящих от к и, возможно, от К, е, 2Гк, ^ , выражение/~ g (/(V) ~ g( V)) означает, что найдутся такие постоянные, что с g </<
< Cg(cg(v) <Лу) < Cg(v) при всех допустимых V). Здесь и далее буквы с и С, возможно с индексами, будут означать различные положительные постоянные, не зависящие от к, а также от К, е, 3к, %ь).
Под внутренней гранью элементов из 3к будем понимать общую грань е двух элементов, например К и Ь : е = К п Ь . В противном случае грань назовем граничной. Через %к и будем обозначать, соответственно, множество всех внутренних и граничных граней, = %к и —
множество всех граней. Пусть е — произвольная грань из %ь, пК — поле единичных нормалей на дК, направленных вне К. Под дК будем понимать как множество граней К, так и границу К, под |К и |е| будем понимать ^-мерную и ^ — 1)-мерную меру К и е соответственно. Сужение (след) функции и на множество Б обозначим через и|П. Аналогично, для произвольного множества функций Н(П) положим Н(П)|Б = [и|Б, и е Н(Б)} при Б с Б.
Воспользуемся принятым обозначением Н5(П) для пространств Соболева порядка 5, снабженных стандартной нормой ||-|| Б и полунормами |-|кБ. Под |Н|0,Б и (•, ■)Б будем понимать норму и скалярное произведение как в скалярном Ь2(П), так и в векторном [Ь2(Б)]а, обозначения |Н| Б , ИБ будем использовать для стандартной нормы и полунормы в [Н5(Б)]а. Примем также следующие сокращения:
(= X (*'л)к, (= X ((* • п,п) 83-, = X (* ' Пк П^з к.
К е 3А К е 3А К е 3А
Пусть пространство Н5(3к) — множество функций, определенных на области О, сужения которых на произвольный элемент К е 3к принадлежат пространству Н5(К). Снабдим его нормой
1М113Л = ХКе 31Н1 *2К. И пусть Н(ё1у; 3к) = [* е [^(О)]' : м'К е Н(ё1у; К), К е 3к}.
С каждым элементом К е 3к и гранью е е свяжем конечномерные пространства
(Но) У(К) с Н (К), Щ(К) с[#(К)]Л(е)с Ь2(е) такие, что
(НО) У(К), Ж(К) и Л(е) содержат постоянные функции.
Всюду далее условия (Н0), (НО) будем предполагать выполненными. Определим конечномерные пространства функций:
V, = { у е Ь(й) : V к е У(К), К е }, Щ = {* е [Ь2 (О)]" : е ЩК), К е 3,},
Л, = {X е Ь2(©) : Це е Л(е), е е %„; Це = 0, е е ©}.
Пространство Ук будем использовать для аппроксимации решения и, Жк — для а и q, а Лк — для аппроксимации следа и на гранях элементов. Отметим, что функции из Ук и Жк не обязаны быть непрерывными на О и что на них не накладывается никаких краевых условий. Таким образом, Ук с Н1(3к), Жк с Н(ё1у; 3к). Кроме того, и|е, м> • п|е е Ь2(е) для и е Ук, м> е Жк.
Далее пУ, и яЛ будут обозначать локальные Ь2-ортопроекторы в пространства Ук, Жк и Лк соответственно, т.е. (яуи — и, у)К = 0 Vу е У(К), (яWq — q, ^)К = 0 Vw е Ж(К), (яЛЦ — Ц, = 0 Уц е Л(е).
3. СЕМЕЙСТВО ЫЭО-СХЕМ
Сформулируем прежде вспомогательные соотношения для неизвестных в уравнениях (4) и
новой неизвестной Ц = и 15 . Сужение первого уравнения в (4) на элемент К умножим на w е Ж(К)
©к
и проинтегрируем результат по частям. Тогда (а, ^)К + (и, V • ^)К — (и, w • пК)дК = 0. Заменяя в третьем слагаемом и на Ц, получаем
(а, *)к + (и, V • *)к- (Ц, * • Пк)эк = 0 V* е Щ(К).
Следующие соотношения очевидны:
(д - к(•, и, а), *)к = 0 V* е Щ(К), (5)
- (V • д, V)к + (к(•, и, а), V)к = /, г)К Vv е ¥(
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.