АДВЕКЦИЯ ПРИМЕСИ В ПЕРКОЛЯЦИОННЫХ СРЕДАХ С КОНЕЧНОЙ ДЛИНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
Л. В. Матвеев*
Институт проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук
115191, Москва, Россия
Московский физико-технический институт (государственный университет) Ц1700, Долгопрудный, Московская, обл., Россия.
Поступила в редакцию 10 сентября 2013 1".
Проанализированы режимы переноса примеси в перколяционных средах с конечной длиной корреляции, обусловленные механизмами адвекции и диффузии. Показано, что вследствие особенностей структуры перколяционных кластеров (наличия остова и мертвых концов) изменение транспортных характеристик среды от самоподобного типа к статистически однородному происходит в два этапа. Это, в свою очередь, приводит к появлению новых аномальных режимов переноса в системе. Рассмотрены случаи квазиизотропной, умеренно и сильно анизотропной сред.
DOI: 10.7868/S004445101404017X 1. ВВЕДЕНИЕ
Исследования проблемы переноса в перколяционных средах ведутся уже не одно десятилетие [1]. Существуют различные подходы, такие как случайные блуждания в непрерывном времени (CTRW) [2], уравнения с дробными производными [3], описания на основе скейлинга [4], гребешковые [5] и ренорма-лизационные модели [6], а также численные модели, целыо которых в числе прочих является описание неклассического переноса в указанных средах. Неклассический характер переноса проявляется в том, что зависимость дисперсии примеси (R2) от времени (R2 ос Р) характеризуется показателем степени 7 ф 1. В случае, когда перенос примеси по пер-коляционной среде обусловлен потоком инфильтрации, плодотворным подходом оказалась модель случайной адвекции [7,8], в которой особенности среды учитываются в медленном (степенном) убывании корреляционной функции скорости с увеличением расстояния. Такой тип поведения коррелятора скорости следует из того, что в достаточно большом пространственном диапазоне перколяционные среды являются самоподобными, что, в свою очередь, обусловлено фрактальными свойствами перко-
E-mail: mat weev'fflibrae. ac.ru
ляционных кластеров, формирующих пути просачивания.
Два фактора определяют характер переноса в перколяционных средах: структура сетки каналов (кластеров), по которым мигрируют частицы, и механизм переноса по этим каналам (адвекция либо диффузия). Структура перколяционного кластера по сравнению с обычными статистически однородными средами имеет следующие особенности. Важной характеристикой кластера является наличие корреляционной длины На масштабах, меньших кластер имеет фрактальную структуру, что создает предпосылки для возникновения аномального режима переноса. На масштабах, больших среда миграции становится статистически однородной (размерность сетки проводящих каналов равна размерности вмещающего пространства) и можно ожидать, что перенос будет описываться классическими закономерностями, при которых среднее смещение частиц (при средней скорости, отличной от нуля) и дисперсия растут линейно со временем (т.е. пропорциональны 1).
Ранее в рамках модели случайной адвекции с медленно убывающим коррелятором скорости были описаны режимы переноса как для области фрак-тальности [9], так и на масштабах больше корреляционной длины [10], в том числе при наличии анизотропии поля скоростей [11]. Следует, однако, отметить,
что в этих исследованиях по учитывалось наличие ловушек внутри перколяционных сред, которые имеют в них также фрактальную структуру. Дело в том, что порколяционный кластер, определяющий область, по которой переносится примесь, имеет две части [12]. Одна часть остов соединяет удаленные области среды, и именно по пей примесь мигрирует на большие расстояния. Другая часть мертвые концы присоединены к остову каждый только в одном месте. Если частица попадает в мертвые концы, она остается локализованной в них, и для того, чтобы продвигаться дальше, должна вернуться в остов. Структура порколяционного кластера и вклад мертвых концов с точки зрения переноса примеси были рассмотрены в статье [13], но только для случая, когда механизмом переноса является диффузия. Учет действия ловушек для модели случайной адвекции был рассмотрен в работе [14], однако в этой работе не анализировались одновременно действие ловушек и наличие конечного радиуса корреляции. Тем не менее, именно такой случай характерен для практически важных задач (например, для переноса примесей в геологических формациях). Поэтому целыо настоящей работы является построение режимов переноса в перколяционных средах с конечным радиусом корреляции с учетом действия ловушек, когда механизмом переноса по остову порколяционного кластера является адвекция. Также следует отметить, что исторически при моделировании случайной адвекции основное внимание уделялось ситуации, когда при отличной от нуля средней скорости поле флуктуирующей компоненты скорости полагалось изотропным [7 9], что естественно называть случаем «квазиизотропной» среды. На практике, по-видимому, наличие выделенного направления, вдоль которого действуют движущие силы (сила тяжести, градиент напора), будет приводить не только к появлению средней скорости, но и возникновению анизотропии в распределении флуктуирующей компоненты (ниже для этого случая будем разделять умеренно и сильно анизотропные среды). В этом смысле модель квазиизотропной случайной адвекции является вспомогательной. Однако, как показали исследования [11], полученные выводы данной модели [7 9] качественно остаются справедливыми и для истинно анизотропных сред [11].
Статья имеет следующую структуру. В разд. 2 описана модель, а в разд. 3 проанализированы режимы переноса для квазиизотропной среды. Раздел 4 посвящен постановке модели анизотропной случайной адвекции с ловушками и конечным радиусом корреляции. В разд. 5 описаны режимы пере-
носа для данного случая. В Заключении приведены основные выводы работы.
2. КВАЗИИЗОТРОПНЫЙ СЛУЧАЙ.
ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается поведение примеси в среде, в которой каналы миграции определяются перколяци-онным кластером. Механизмом переноса частиц примеси в остове является адвекция и диффузия, а в мертвых концах диффузия. Уравнение, описывающее эволюцию концентрации с(т,1) внутри кластера, имеет вид
^ + (НУ(ус- £>УС) = 0, (1)
где скорость адвекции лг(г) является случайной функцией координат (отличной от нуля только внутри каналов остова) и в силу несжимаемости жидкости удовлетворяет условию
сИУ V = 0. (2)
В настоящей работе полагаем, что поле скоростей инфильтрации по зависит от времени.
Нас в первую очередь будет интересовать поведение примеси в остове, поскольку именно она определяет перенос на большие расстояния. После усреднения по ансамблю реализаций среды уравнение (1) для данной части примеси принимает стандартный вид
^ + сМУ] = О. (3)
Здесь с(г, I) усредненная концентрация примеси в остове, которую ниже мы будем называть активной концентрацией.
Поток j обусловлен адвекцией по системе каналов, принадлежащих остову [15], и определяется полем скоростей лг(г). Мы считаем, что имеется отличная от нуля средняя скорость, так что у(г) можно разбить на две части: среднюю
ч=<у>, (4)
и флуктуирующую часть
V = V — и, (у) = 0. (5)
В итоге поток можно представить в виде
I.
¿ = -/ <1*' / /'*(г-г'.) ] (6)
— оо
755
12*
где ядро /д. определяется флуктуациями у(г).
В правой части уравнения (3) С) описывает диффузионный обмен примеси между остовом и мертвыми концами. В общем виде, с учетом локальности ловушек, его можно представить в виде [11]
I.
0 = 1 (Г)
"о
Мы рассматриваем задачу с начальными услови-
с(г,0) = (г)
(8)
так что усредненная концентрация примеси может быть выражена через начальное распределение:
с(гЛ) = I Ст(г-г\*)с0(г')<й-\
(9)
где Ст(т,1) функция Грина уравнения (3). С учетом (6) и (7) функция Грина в представлении Фурье Лапласа имеет вид
<Зк,Р = [Р + Р^Р) + 'к '11 - ^(к./>Г
(Ю)
где
оо
М(к.р) = •,/,•; I .//. '■' I .IV, 'к,'Д('(!••/). (11) "о
ОС!
<р(р) = (12) "о
Режимы переноса будем характеризовать следующими величинами: полным числом активных частиц примеси
ДГ(^) = ! с(гЛ) йг.
(13)
средним смещением частиц вдоль вектора средней скорости
Гц) = Дг 1(£) / с(гЛ)гн(1г, Гц =
и
(14)
и дисперсией П2(1). Будем различать продольную (вдоль направления вектора средней скорости) и поперечную дисперсии:
Ер) = А^1^) I с(гЛ)(гп - {гц))2^г, (15)
Я* (*) = Д^Ч*) IЦгЛ)г1<1г,
т±=т
и(г • и)
Отметим, что величины Яа(£), определенные в (15) и (16), описывают также размер облака, содержащего основное количество частиц примеси.
Как указывалось во Введении, главной отличительной чертой перколяционной среды на масштабах, меньших корреляционного радиуса, является свойство самоподобия. Это позволяет воспользоваться идеями теории критических явлений [16] и, в частности, рассматривать процессы переноса с точки зрения их масштабной инвариантности [10]. Последнее подразумевает, что макроскопические уравнения должны быть инвариантными при одновременном преобразовании пространственных координат
г^Аг (17)
и всех остальных входящих в уравнения (3) (12) величин
А Ал \ 1.
(18)
Здесь А действительный положительный безразмерный параметр, а показатели степени Дл носят название масштабных размерностей величин А.
Рассмотрим ключевые параметры, описывающие перенос в перколяционной среде.
Для конкретной реализации среды флуктуации поля скоростей у(г) определяются случайным распределением проводимости (в простейшем случае конфигурацией остова перколяциоиного кластера). В рассматриваемой модели нас интересуют величины, усредненные по ансамблю реализаций. Тогда, наряду со средней скоростью и, перенос определяется корреляционной функцией флуктуаций скорости, т.е. величинами
^ Г',., (»'1 - »•-?- • - - ,Г„) = <^ЛГ1)^2(Г2)...^„(ГП.)).
В квазиизотропном случае поле флуктуаций скорости можно характеризовать одним индексом [7 9,15]. Вводя для обозначения масштабной размерности парной корреляционной функции индекс
ДА-<2, = -2Л, (19)
при преобразовании (17) имеем
\-21>к1?(Г1,Г2). (20)
Исходя из соотношения (20), значения масштабной размерности пространственной координ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.