МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <4 • 2008
УДК 533.6.011.3: 533.6.011.5: 533.6.011.35
© 2008 г. В. Д. БОКСЕР, Г. Г. СУДАКОВ
АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТЕЛ В ОКОЛОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ К ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ АЭРОДИНАМИКЕ
Применительно к течениям, которые описываются уравнениями Навье-Стокса и Рейнольдса, представлен единый вывод формул для всех компонент аэродинамического сопротивления (полного, трения, индуктивного, волнового, давления, теплообменного). Для течений такого типа дано уточнение определения компонент аэродинамического сопротивления и обсуждены физические основания для выбранного способа разделения полного сопротивления на компоненты. Рассмотрены способы вычисления компонент аэродинамического сопротивления с помощью методов вычислительной аэродинамики. На основе уточненных формул приведены примеры расчетов компонент сопротивления для течений около профилей и крыла большого удлинения при околозвуковых скоростях набегающего потока.
Ключевые слова: аэродинамическое сопротивление, вычислительная аэродинамика, околозвуковой поток.
В последние годы наблюдается взрывной рост использования методов вычислительной аэродинамики при проектировании летательных аппаратов. Все программы на основе численных методов при вычислении сил и моментов используют интегрирование давления (интеграл нормальных сил) и трения (интеграл касательных сил) по поверхности тела. Суммы этих величин и являются полной силой и моментом, действующими на летательный аппарат. Таким образом, эти методы дают разложение полного сопротивления на две компоненты: трения и интеграла от нормальных сил. Однако для целей аэродинамического проектирования такого представления недостаточно: необходимо разложение силы сопротивления на большее число компонент.
Обычно в практике аэродинамического проектирования используют следующее разложение: полное сопротивление X есть сумма профильного сопротивления Х5, индуктивного сопротивления X, вызванного наличием вихревого следа за крылом, и волнового сопротивления Хк, которое возникает из-за потерь полного давления газа в скачке уплотнения. Величина Х5 есть сумма сопротивлений трения X и давления Хр, возникающего из-за наличия пограничного слоя и наведенного им изменения распределения давления по поверхности тела. Сопротивление давления иногда называют сопротивлением формы.
Классическая теория аэродинамического сопротивления основана на методе контрольного объема и на использовании законов сохранения массы и импульса. Возникновение этой теории следует отнести к первой половине XX века [1-3]. В последующие годы произошло дальнейшее уточнение понятий и накопление результатов, которые вошли в классические монографии и учебники [4-8]. Конец XX века и начало XXI века характеризуются интенсивным ростом числа публикаций (см., например, [9-15]) в данном направлении как в России, так и за рубежом, что связано с увеличивающимся весом расчетных исследований в процессе проектирования летательных аппаратов.
Следует отметить, что в указанных работах использовался разный математический аппарат и различные предположения. Отсюда вытекает потребность вывода всех соот-
ношений теории сопротивления на основе единого математического аппарата и минимального количества ограничений при постановке задачи, что и явилось одной из основных задач настоящей работы. Другая важная задача настоящего исследования - необходимость уточнения определений компонент сопротивления применительно к средам, которые описываются уравнениями Навье-Стокса и Рейнольдса, так как большинство работ касалось либо идеального газа (для волнового и индуктивного сопротивления), либо вязкой жидкости (для профильного сопротивления).
Необходимо отметить, что данное направление исследований оказалось столь сложным, что при изложении настоящего материала в ряде публикаций обнаружены неточности. Это обстоятельство также обсуждается в представленном ниже анализе.
1. Постановка задачи. Рассматривается задача трехмерного стационарного обтекания летательного аппарата потоком вязкого газа, описываемого уравнениями Навье-Стокса или Рейнольдса, при следующих предположениях:
1) дозвуковой или околозвуковой режим обтекания;
2) угол атаки и относительная толщина тела малы: а ~ т ^ 1;
3) числа Рейнольдса велики: Re > 1;
4) источники массы и импульса отсутствуют.
Из п. 3 следует, что вся область течения разбивается на невязкую зону и зону пограничного слоя, а из п. 2 - данная задача в невязкой зоне описывается теорией малых возмущений. Введем систему координат с осями x, направленной вдоль потока, z - вдоль размаха крыла и вертикальной осью y - перпендикулярно осям x и z. Рассматривается контрольный объем с границами, достаточно удаленными от тела. Предполагается, что входное сечение 1 (x1 = const), а также боковые поверхности удалены на бесконечное расстояние от летательного аппарата так, что возмущения всех зависимых переменных и их производные на этих поверхностях стремятся к нулю.
Введем понятие плоскости Треффтца (сечение 2 x2 = const) следующим образом: это сечение удалено от летательного аппарата с размахом крыла L вниз по потоку на расстояние x/L ~ 1/а, где происходит выход из линейной фазы формирования следа в нелинейную фазу, описываемую теорией удлиненных тел [16] (в невязкой зоне).
Введем обозначения: u2 = u1 + u'; и2 = U; w2 = w' - компоненты скорости; р2 = р1 + р' -плотность; p2 = p1 + p' - давление; i2 = i1 + i - энтальпия; i0 = i + (u2 + и2 + w2)/2 - полная энтальпия; i'0 = i0 - i01 - возмущенная полная энтальпия; p'0 = p0 - p01 - возмущенное
полное давление; р0 = р0 - р01 - возмущенная полная плотность; T0 = T0 - T01 - возмущенная полная температура; s2 = s1 + s' - энтропия.
Здесь и далее индексы 1, 2 относятся к сечениям 1, 2, а штрих - к возмущенным переменным. Из определения сечения 2 и результатов теории удлиненных тел [16] следует, что в невязкой зоне справедлива оценка для возмущений от вихревой пелены
»2 » « , 2 , 2 ., 2.
и~а ux, v~aux, w~aux, р~ар1( p-а px, i~a tx
т.е. все возмущения малы. Отсюда следует также, что u' ~ и'2 ~ w'2. Оценка возмущений от скачка уплотнения будет дана в разд. 3.
В вычислениях удерживаются только линейные члены по u', p', р', i', s' и квадратичные члены по переменным U, w'. Члены более высокого порядка не учитываются. В вязкой зоне в сечении 2 справедлива оценка (например, для ламинарного пограничного слоя)
т.е. u' также мало.
5 Механика жидкости и газа, № 4
2. Основные соотношения. Интегральные уравнения, следующие из теорем сохранения массы, импульса и энергии, представляются в форме
|(р2«2- р1 «1) СБ =0 (2.1)
|[ Р2 + Р2 "2- Р\- Р1 «1 ] СБ + |[ - (о хх)2 + (о хх)1 ]СБ = - X (2.2)
2 2 2 2 2 2 гг ( «2 + и2 + ^^ ( «1 + и +
] р2«2^2 +-2-J - Р1 «1^+ -2-J йБ +
гГ дТ2 ЭТ^ (.
+ (ох1«1 )2 +(ох1«1 )1- к-д--- + к-¡х СБ = ,|(р2«2*'о2- р1 «1%)СБ
(2.3)
В соотношениях (2.1)-(2.3) использованы обозначения: ок - компоненты тензора напряжений, к - коэффициент теплопроводности, Т - температура, X - сила сопротивления. Интегрирование проводится в плоскости Треффтца (сечение 2). Вид тензора напряжений различен для сред, описываемых уравнениями Навье-Стокса и Рейнольдса. Для
2
уравнений Навье-Стокса имеет место оценка ок ~ 1/Яер1 «1 [4]. Аналогичная оценка
имеет место и для члена, описывающего теплопроводность в третьем уравнении. В дальнейшем члены порядка 1/Яе учитываться не будут.
В уравнении энергии (2.3) правая часть по условию задачи считается заданной величиной и представляет собой энергию, вносимую в поток при нагреве (или охлаждении) стенок летательного аппарата или при наличии других теплообменных процессов (стенки поверхности тела не предполагаются теплоизолированными). Таким образом, правая часть уравнения (2.3) есть просто форма представления известной величины, которую можно было бы обозначить отдельной буквой, как это сделано в уравнении импульсов (2.2). Указанное выше представление правой части (2.3) принимается, чтобы сохранить историческую преемственность с работами авторов, которые впервые получили выражение для теплообменных сил.
Кроме законов сохранения используется основное термодинамическое тождество
си = Тй8 + сС-Р- (2.4)
р
После перехода в (2.1)-(2.3) к штрихованным переменным и отбрасывания внепоряд-ковых членов, получается
|( «1р' + р1«' )СБ = 0 (2.5)
|( р' + р1«1«' )СБ = -X (2.6)
¡' + «1«' + +-"-' JСБ = |¡0СБ (2.7)
Рассмотрим более подробно случай несжимаемой жидкости р' = 0. При этом уравнение (2.5) может быть переписано в виде
|р1 «СБ = 0 (2.8)
а (2.6) остается без изменений.
Уравнения (2.6), (2.8) содержат в себе парадокс. В силу (2.6), (2.8) справедливо более
общее равенство |(р + кр1«1«')ёБ = -X, где к - произвольная постоянная, так как второе
слагаемое обращается в нуль. При этом интеграл берется по вязкой и невязкой зонам. Только при к = 1 интеграл по невязкой зоне исчезает в силу уравнения Бернулли и получается классический результат. В рассуждениях [4, 7] без каких-либо обоснований декларируется, что к = 1, т.е. имеется логический пропуск, затрудняющий понимание физики течения.
Необходимость обращения в нуль интеграла импульсов в невязкой зоне следует из того факта, что на полубесконечном теле вытеснения, возникающем из-за наличия пограничного слоя, в невязкой жидкости сила сопротивления равна нулю (например, [7]), т.е. (р' + крхщи')йБ = 0 при интегрировании по невязкой зоне. Но это возможно только при к = 1 в силу уравнения Бернулли. Необходимо подчеркнуть, что в случае сжимаемого газа этот парадокс не возникает, а уравнение импульсов имеет форму (2.6).
Перейдем к дальнейшему преобразованию уравнений (2.5)-(2.7). Из основного термодинамического тождества (2.4) следует
¡' = Т, , + р (2.9)
Р1
Тогда из (2.7), (2.9) получаем
[^Т1 , + рр- + и1и' + ^Цр--) йБ = 1¡0 йБ (2.10)
Интегральное уравнение (2.10) - обобщение на случай вязкого газа линеаризованного уравнения Бернулли, которое справедливо в невязкой зоне при отсутствии подвода
энергии ([ 10 йБ = 0). Член Т1^' в (2.10) можно интерпретировать как константу Бернулли.
Наконец, из уравнений сохранения им
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.