Автоматика и телемеханика, № 6, 2014
Нелинейные системы
© 2014 г. А.Н. ЖИРАБОК, д-р техн. наук (zhirabok@mail.ru) (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток), Ю. КОТТА, д-р техн. наук (kotta@cc.ioc.ee) (Институт кибернетики Таллинского технического университета), А.Е. ШУМСКИЙ, д-р техн. наук (shumsky@mail.primorye.ru) (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток)
АККОМОДАЦИЯ К ДЕФЕКТАМ В ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ1
Рассматривается проблема адаптации нелинейных динамических систем к дефектам, в рамках которой решается задача аккомодации путем формирования закона управления, обеспечивающего полную развязку от вызываемых дефектами воздействий. Предлагаемый подход является развитием ранее полученного и позволяет решать задачу аккомодации для более широкого класса систем и получать более простое решение, в частности статическое.
1. Введение и постановка задачи
Жесткие требования, предъявляемые к надежности и безопасности технических систем ответственного назначения, приводят к необходимости разработки комплекса мер по обеспечению их отказоустойчивости. Требование отказоустойчивости предполагает возможность адаптации системы к дефектам, возникающим в процессе ее функционирования. В соответствии с делением адаптивных систем на самонастраивающиеся и самоорганизующиеся выделяют два принципиально различных подхода к обеспечению отказоустойчивости. Первый подход (самонастройка или аккомодация к дефектам) связан с формированием специального управления, при котором система с дефектами функционирует, сохраняя свои важнейшие показатели в допустимых пределах [1]. Второй подход (самоорганизация) основан на внесении определенных структурных изменений в систему и в ее реконфигурации с целью удаления отказавших элементов и использования резервных.
Известны разные варианты решения задачи аккомодации, в основе которых лежат методы оптимального управления [2], ^^-оптимизации [3], слежения за эталонной моделью [4], адаптивного управления [5] или формирования управления, при котором достигается полная развязка от воздействий, вызы-
1 Работа выполнена при поддержке Дальневосточного федерального университета и Министерства образования и науки РФ (государственное задание № 1141).
ваемых дефектами [6-9]. В настоящей работе метод формирования управления развивается на случай систем, описываемых дискретными нелинейными моделями. В отличие от [6-9] предлагаемый подход позволяет находить решение задачи аккомодации для более широкого класса систем и получать более простое решение, в частности статическое (если оно существует).
Пусть заданная система описывается моделью с дискретным временем
(1.1) х(г + 1) = /(х(г),и(г),#(г)), у(г) = Н(х(г)),
где х € X С Мп, и € и С Мт, у € У С М1 - векторы состояния, управления и выхода; $(£) - вектор параметров, / и Н - нелинейные векторные функции, которые могут быть недифференцируемыми. Предполагается, что в отсутствие дефектов $(£) = $о, где - известное номинальное значение вектора параметров.
При появлении дефектов вектор $(£) становится неизвестной функцией времени, в результате чего решение задач управления на основе модели (1.1) становится невозможным. Для преодоления этой трудности предлагается формировать вектор и(£) в соответствии с законом
(1.2) и(*) = #(хо(£),у(£),и*(£)),
где и*(¿) - новый вектор управления, д - векторная функция, подлежащая обнаружению, Хо(£) € М9, д ^ п, - вектор состояния некоторой системы 5о, описываемой моделью
(1.3) Хо(^ + 1) = /о(хо(£),у,и*(£)).
Предположим, что управление (1.2) существует. В этом случае эффект аккомодации к дефектам обеспечивается тем, что при наличии в системе дефектов решение задачи управления осуществляется на основе дополнительной системы 5*, описываемой моделью
(1.4) х*(* + 1) = /*(х*(*),и*ф),
в определенном смысле (поясняемом далее) соответствующей исходной модели (1.1). Пусть, например, требуется определить управление, переводящее систему (1.1) из состояния х(1) = х(^) в состояние х(2) = х(^). В целях решения этой задачи для системы 5* находятся состояния х*(^) и х*^2), в определенном смысле соответствующие состояниям х(1) = х(^) и х(2) = х^). Далее для системы 5* решается задача терминального управления, т.е. находится управление и*(£), на основе которого затем согласно (1.2) с помощью системы 5о определяется управление для исходной системы (1.1).
В общем случае размерность вектора состояния х* меньше размерности вектора х, в результате чего перевод исходной системы в состояние х(2) может осуществляться только с определенной степенью точности, о чем более детально будет сказано далее. При этом можно сказать, что указанная степень точности будет определять качество функционирования системы (1.1) в присутствии дефектов, т.е. качество аккомодации. Структурная интерпретация описанного способа управления исходной системой приведена на рис. 1.
Рис. 1. Схема реализации предлагаемого решения.
Требуется построить модели (1.3) и (1.4), описывающие системы So и а также найти функцию д в законе (1.2). Основные теоретические результаты, связанные с общими свойствами явления аккомодации, были получены в [6-9]. В настоящей работе предложена новая последовательность операций на основе вспомогательной системы, что позволяет устранить этап построения автономной подсистемы и сделать процедуру решения задачи аккомодации более прозрачной. Кроме того, детально проработан алгоритм построения искомых объектов, что позволит расширить класс систем, для которых задача аккомодации может быть решена, а также упростить получаемое решение, в частности реализовать статическую развязку, когда она существует, т.е. найти закон (1.2) в виде п(Ь) = д(у(Ь),п*(£)), и система £0 в этом случае не требуется. Подробно это описано в разделе 6 при сравнении предложенного подхода с известным. Отметим, что настоящая работа частично основана на результатах, полученных в [10].
Для решения поставленной задачи будет использоваться специальный математический аппарат - алгебра функций, разработанная в [11] для решения задач анализа нелинейных динамических систем.
2. Алгебра функций
Рассматриваемый математический аппарат содержит четыре основные конструкции: отношение частичного предпорядка, обозначаемое две бинарные операции х и ф, бинарное отношение А и операторы ш и М. Первые два элемента определены на множестве Ущ векторных функций с произвольной областью определения Ш, в то время как два последних - на множестве Ух векторных функций с областью определения X. Рассмотрим эти элементы более подробно.
1. Отношение частичного предпорядка. Для заданных функций а, в € Ущ записывается а ^ в, если существует функция 7 такая, что
в(ш) = 7(а(ш)) Уш € Ш.
Определение означает, что каждая компонента функции в может быть выражена через компоненты функции а. Очевидно, а ^ в тогда и только тогда, когда
( да/дш \ гапк(да/д-ш) = гапк .
\ дв/дш )
Если а ^ в и в ^ а, то функции а и в называются эквивалентными, что обозначается а = в.
2. Бинарные операции. Для заданных функций а, в € Ущ вводятся бинарные операции х и ф, определяемые следующим образом:
Из определения следует, что функция а х в - это наибольшая нижняя грань для функций а и в, в то время как а ф в - наименьшая верхняя грань. Правило вычисления операции х выглядит просто:
Операция ф может быть вычислена с использованием средств дифференциальной геометрии [11]. В простейших случаях может быть использовано определение операции а ф в как наименьшей верхней грани функций а и в. Рассмотрим пример вычисления функций а х в и а ф в. Пусть Ш = М3,
для всех (х,и) € X х и и некоторой функции /*. Бинарное отношение А самостоятельного значения не имеет и используется для определения операторов.
4. Операторы т и М. Для заданных функций а, в € Ух определяются операторы:
Оператор т может быть вычислен следующим образом. Пусть функция 7 удовлетворяет условию (а х и) ф / = 7(/). Тогда т(а) = 7. Можно показать, что функция 7 всегда существует.
В типичных случаях оператор М может быть вычислен так: если композицию в(/(х,и)) можно представить в виде
Уа, в, 7 € Ущ {(а х в € Ущ) & & (а х в < а, а х в < в) & (7 < а, 7 < в ^ 7 < а х в)},
Уа, в, 7 € Ущ {(а ф в € Ущ) & & (а ^ а ф в, в ^ а ф в) & (а ^ 7, в ^ 7 ^ а ф в ^ 7)}-
Тогда (а х в)(ад) = + -ш2, -ш3, -ш1-ш3)т, (а ф в)(ад) = + -ш2).
3. Бинарное отношение А. Для заданных функций а, в € Ух
(а, в) € А ^^ а(/(х, и)) = /*(в(х),и)
Уа,в € Ух {[(а, т(а)) € А]&[(а,в) € А ^ т(а) < в]}, Уа,в € Ух {[(М(в),в) € А] & [(а,в) € А ^ М(в) < а]}.
а
в(/(х, и)) = ^ Ог(х)Ьг(и),
г=1
где а1(х), а2(х),..., аа(х) - произвольные функции и Ъ1(и), Ъ2(и),..., Ъа(и) -линейно независимые функции, то
М(в) := а1 х а2 х ••• х аа.
Операторы ш и М обладают рядом свойств, которые описаны в [11].
Отметим, что стандартные математические пакеты программ нельзя использовать для вычисления операций и операторов алгебры функций, а также для выполнения рассматриваемых далее алгоритмов 1 и 3, использующих предлагаемый математический аппарат. Поэтому на основе пакета МаЛеша-^са была разработана вычислительная среда, доступная на сайте [12] и позволяющая организовать облачные вычисления для нахождения упомянутых операций и операторов. Характерной особенностью таких вычислений является возможность их выполнения без наличия пакета МаЛеша^са у пользователя сайта.
3. Построение вспомогательной системы £'
Как сказано в разделе 1, предложенный подход предполагает формирование управления, при котором достигается полная развязка от воздействий, вызываемых дефектами. Под полной развязкой понимается независимость значений некоторой функции с аргументом х(г) от неизвестного вектора $(Ь). Для определения этой функции и использования ее в качестве средства построения отказоустойчивого управления введем вспомогательную систему Б', описываемую моделью
(3.1) х'(г + 1) = /'(х'(г),у(г),п(г)), вектор состояния х' (г) € Кр которой удовлетворяет условию
(3.2) х' (г) = р(х(г)),
р - некоторая векторная функция. Система Б' будет использована для построения систем Б0 и Б* и для закона управления (1.2).
Для построени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.