№ 1
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2008
УДК 532.529.5:532.135
© 2008 г. ПЕСОЧИН В.Р.
АКУСТИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ В ПАРОГАЗОВОЙ СМЕСИ
Проведено теоретическое исследование возбуждения акустических колебаний при фазовых переходах в парогазовой смеси. Принята, что газ и пар - идеальные газы, пар - влажный, капли - сферические и монодисперсные, удельная теплоемкость смеси - постоянна и не зависит от температуры и концентрации компонентов. Течение предполагалось одномерным при полном перемешивании в поперечном направлении и отсутствии перемешивания в продольном.
Введение. В настоящее время во многих промышленных процессах используются парогазовые смеси. Так, например, продукты сгорания органического топлива представляют собой парогазовую смесь [1]. В МГД-генераторах открытого цикла, использующих в качестве топлива угольную пыль, согласно термодинамическим расчетам [2], рабочее тело - гетерогенная смесь, в которой могут происходить процессы испарения и конденсации диоксида кремния. Известно, что конденсация диоксида кремния в канале МГД-генератора [3], может приводить к возбуждению акустических колебаний. В настоящей работе исследуется вопрос о возбуждении акустических колебаний при фазовых переходах (конденсация) в высокотемпературной парогазовой смеси. В работе [3], были получены условия возбуждения акустических колебаний при конденсации диоксида кремния в тракте МГД-генератора. В работе [4] исследовались условия возбуждения акустических колебаний при объемной конденсации диоксида кремния в тракте МГД-генератора. Это исследование проводилось в линейной постановке с помощью метода разделения переменных и учета соответствующих граничных условий. При этом для описания процесса нуклеации использовалась классическая теория. В настоящей работе исследованы условия возбуждения акустических колебаний в двухфазной парогазовой смеси в равновесном приближении. Это исследование проводилось в линейной постановке методом разделения переменных с учетом граничных условий.
Основные уравнения. Течение в газодинамическом тракте МГД-генератора предполагалось одномерным, при полном перемешивании в поперечном направлении и отсутствии перемешивания в продольном. При рассмотрении акустических колебаний парогазовая смесь считалась совершенным газом, наличие в ней дисперсной фазы не учитывалось. Капли считались сферическими и монодисперсными. Удельная теплоемкость cp парогазовой смеси принималась постоянной, не зависящей от концентраций компонентов и температуры смеси. Такие предположения обычны при расчетах рабочих процессов в энергетических установках [1].
Тогда уравнения неразрывности, движения и энергии можно записать в виде
дМ" (Р u) ■
dt дх
(1)
д и д и
ди _ 1др■ дх рдх'
(2)
Т" + и -г
дt дх
(3)
Здесь W - массовая скорость конденсации в единице объема; L - теплота испарения жидкости.
Далее будем считать, что в парогазовой смеси соблюдается локальное термодинамическое равновесие. Это предположение является обычным в теории испарения капель [5]. Тогда уравнение состояния можно записать в виде
р = р(p, T, а), (4)
где а - безразмерная массовая концентрация газа в парогазовой смеси а = p2/(pi + р2); индексом 1 обозначены величины, относящиеся к пару, 2 - к газу.
Из опыта создания ГТУ и ЖРД [1, 6] известно, что опасными и трудно устранимыми являются высокочастотные акустические колебания, поэтому в настоящей работе исследуется возбуждение таких колебаний при испарении и конденсации в парогазовой смеси. Высокочастотные колебания [6], характеризуются тем, что для них Sh @ 1, где Sh - число Струхаля (Sh = ю1/и; ю - круговая частота; l - длина газодинамического тракта). Линеаризуя уравнения (1)-(3), с учетом Sh @ 1, получим
Эр' д и' ,Эр „,,
-=г- + р^- + u-^ = -W; (5)
dt дх дх
ди' _ 1 дp\ dt р дx '
(6)
43 = 7
Здесь штрихами обозначены возмущения. Линеаризуя (4), получим
¿ = 4- T + 1V^ а', (8)
Р р ат т Р|Эа p, т
где ат - изотермическая скорость звука.
Для вычисления (Эр/Эа)р т запишем уравнение состояния парогазовой смеси в виде
f 1 - а а Л Р = I-+ — р^т,
где ц - молекулярный вес компонента парогазовой смеси.
Дифференцируя последнее выражение при т = const, р = const, получим
ЭрЛ = Р ( Ц2 - Ц 1) (9)
Эаур, т (1- а)ц2 + ац/
Подставляя (8) в уравнение (5), с учетом (7) и (9), имеем
i-d/p^i + ди! _ W
удtVpJ дх р
2 a ( - Ц i ) + _L_ _(1- а)ц2 + ац1 cpT_
где у - показатель адиабаты парогазовой смеси.
Дифференцируя последнее выражение по t, (6) по х и исключая возмущение скорости и', получим
^ fp_l) _ э! f+ Y
д t2 V p J дх2 V p J р
2 а(Ц2- Ц1) + L
_(1- а)ц2 + ац1 cpT_ где as - адиабатическая скорость звука.
W (Ю)
Для решения уравнения (10) необходимо иметь выражение для возмущения скорости испарения в единице объема Ж. Рассмотрим процессы, происходящие в двухфазной среде при акустических колебаниях. Повышение давления в акустической волне будет сопровождаться повышением температуры парогазовой смеси, температура капель при этом будет стремиться к температуре парогазовой смеси. Тогда процесс можно описать уравнением теплового баланса для капли
3
4/3пг р1с1йТ/йг = 4пкг(Тм - Т)/(1+ ФКп),
где г - радиус капли; р1, сх - плотность и удельная теплоемкость жидкости; к - коэффициент молекулярной теплопроводности смеси; Кп - число Кнудсена; Ф - коэффициент, являющийся функцией числа Кнудсена, Ф ~ 1, [7]; Т1, Тм - температура капли и парогазовой смеси.
Из этого уравнения видно, что характерное время релаксации температуры капли к температуре парогазовой смеси имеет вид
т * = г2 р1 с1 (1 + Ф Кп)/3к.
Уравнение теплового баланса для капли записано для случая однородного поля температур внутри капли. Это имеет место для к(1 + ФКп)/кг ! 1 (кг - коэффициент теплопроводности жидкости), что обычно выполняется для газов и жидкостей. В настоящей работе рассматривается возникновение в системе акустических колебаний, частота которых/удовлетворяет неравенству / ! 1/т*. В этом случае фазовые переходы можно считать равновесными. Например, для водяных капель с г = 5 мк можно получить т* = 6 ■ 10 с, тогда для / ! 1,5 ■ 10-3 с-1 фазовые превращения в двухфазной смеси можно считать равновесными. Если имеется полидисперсная система капель, то ей будет соответствовать спектр времен релаксации температуры капель. В этом случае определение частот акустических колебаний, при которых фазовые превращения могут считаться равновесными, сводится к определению т* для максимального размера капель.
При изоэнтропном процессе влажного пара степень сухости хь подчиняется уравнению [8]
Ьхь/Т = с11п (А/Т),
где А - константа.
Дифференцируя последнее уравнение по времени, получим
<х = 1 ( -СТ<Т
йт = Т 1Хи Л ) <<т.
Здесь т - время изоэнтропного процесса.
Используя уравнение Клайперона-Клаузиуса, это соотношение можно записать в виде
<Хи = ±(х - сц 2 <Р (11)
йт Лр1. и Л уц2( 1-а) + аЦ1 <т'
В выражении (11) учтено, что парогазовая смесь подчиняется закону Дальтона, поэтому
р1/р = ц2( 1-а)/[ц: а + ц2 (1-а)].
Будем считать, что суммарная масса пара и его конденсата в единице объема остается постоянной величиной. Это допущение является обычным при небольших скоростях парогазовой смеси, когда отставанием капель конденсата можно пренебречь [7]. При этом допущении из (11) с помощью выражений для а и хь получим приближенную формулу для Ж
Ж = МСЕ - х ^ (1- а)^2 йр
Ьхьу Л иУЦ2( 1- а) + а^йт'
Будем считать, что время изоэнтропного процесса т существенно больше периода акустических колебаний, тогда выражение для можно записать в виде
^ = _и_(СТ_ х ^ ( 1 - а ) ^ р ' ¿р
Ьхь\ Ь иУЦ2( 1- а) + ац1 ур^х' подставляя это выражение в уравнение (10), получим
э! (рЛ = а э! (л+2
21 I - 21 +28^1- ' (12>
дДР J д x ^ p J dtVP J
где 5 = J^fCT- x Jdp • ß = Г 2 a ( - ц 1 ) + L_ 1 ( 1 - g )Ц2
2pLx^l. L vJdx L( 1- а)ц2 + ац1 cpTJ (1- а)ц2 + ац1'
Для определения частот акустических колебаний при их возбуждении необходимо задать граничные условия к уравнению (12). В данной работе делается простейшее предположение о том, что в акустическом смысле канал МГД-генератора можно рассматривать как трубу, открытую с одной стороны. Это предположение можно считать справедливым, так как площадь поперечного сечения сопла существенно меньше площади поперечного сечения диффузора канала МГД-генератора
dp'/dx = 0 при x = 0; p = 0 при x = l.
Здесь l - длина МГД-канала с диффузором.
Решая уравнение (12) методом разделения переменных с учетом граничных условий, получим
Р' 5t n rf2k - 1Jnx"| , Г~2 ч
Р - e X Bkcos [ —— J — cos W®k - 5 t + Фк). (13)
к - 1
где к = 1, 2, 3...
Величины Вк, фк определяются из начальных условий. Собственная частота канала МГД-генератора с диффузором, определяемая из граничных условий, будет равна
юк = (к -1/2)(па,/1).
Обсуждение результатов. Из (13) видно, что при 5 > 0 будет происходить возбуждение акустических колебаний, вызванных фазовым переходом в парогазовой смеси с инкрементом
X - 2^8/,/% - 82.
Также из (13) следует, что при 5 > 0 и t ^ «> амплитуды колебаний давления неограниченно возрастают. В действительности этого не происходит по причине нелинейных эффектов [8], и в результате возбуждения устанавливаются малые, но конечные амплитуды колебаний (режим, аналогичный вибрационному горению). Для определения амплитуд колебаний необходимо решить нелинейные уравнения, описывающие автоколебательный процесс с учетом упругих свойств канала МГД-генератора с диффузором и всей установки в целом. Но такой режим для МГД-генераторов недопустим из-за существенного ухудшения качества электроэнергии, поэтому при исследовании условий возбуждения акустических колебаний используется линеаризованная система уравнений, решение которой позволяет установить частоту колебаний и инкремент.
Необходимо отметить, что и при других граничных условиях р'/р ~ еь>. Поэтому представляет интерес исследование условий возбуждения акустических колебаний в зависимости от величины 5. Для этого запишем 5 в развернутом виде
5 = u (1- а)Ц2
2 pLx^( 1 - а)ц2 + ац
2 а ( ц2 - Ц 1 ) + _L_' _(1- а)ц2 + ац cpT_
CT - x J dp
L xVdx'
Из этого выражения сл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.