научная статья по теме АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ В СЛОЕ ЖИДКОСТИ НА ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОДЛОЖКЕ Физика

Текст научной статьи на тему «АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ В СЛОЕ ЖИДКОСТИ НА ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОДЛОЖКЕ»

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2013, том 59, № 6, с. 693-697

КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕИНОИ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН

УДК 534.222

АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ В СЛОЕ ЖИДКОСТИ НА ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОДЛОЖКЕ

© 2013 г. П. В. Лебедев-Степанов*, ******* о. В. Руденко**, ***, ****, *****, ******

*Центр фотохимии РАН **Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова ***Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН ****Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН *****School of Engineering, Blekinge Institute of Technology, 371 79 Karlskrona, Sweden ******Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского *******Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ

E-mail: petrls@mail.ru Поступила в редакцию 23.05.2013 г.

Рассчитано поле радиационных сил в жидком слое на твердой подложке, формирующееся при распространении поверхностной капиллярной волны вдоль свободной поверхности. Волна возбуждается вибрациями подложки в результате развития неустойчивости. Изучена структура акустических течений. Обсуждено их воздействие на частицы малого размера и возможности формирования упорядоченных структур из этих частиц.

Ключевые слова: капиллярные волны, радиационная сила, акустические течения, вибрации, управляемая самосборка.

DOI: 10.7868/S0320791913060142

ВВЕДЕНИЕ

Исследуются медленные вихревые течения в слое вязкой жидкости. Течения порождаются капиллярными волнами на свободной поверхности слоя, которые, в свою очередь, инициируются вибрациями подложки. Эффект аналогичен акустическим течениям, возникающим при поглощении ультразвуковых волн [1]. Это явление в настоящее время хорошо изучено и находит приложения в ряде технологий. В частности, биомедицинским приложениям акустических течений посвящен обзор [2].

Течения внутри тонких слоев и капель жидкости используются в нанотехнологиях для формирования упорядоченных структур наночастиц [3, 4]. С этой целью в работе [5] рассчитано течение в слое, возбуждаемое поверхностными волнами, бегущими вдоль границы раздела твердое тело— жидкость.

ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим плоский слой жидкости, —Н < г < 0, расположенный на горизонтальной пластине, верхняя поверхность которой (плоскость г = —Н) образует "дно". Декартовы координаты введены так, как показано на рис. 1.

Оба типа движения — волна и медленное течение — могут быть описаны системой уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости:

— + (иУ)и = + vДи + £(?), ШУи = 0. (1) д? р

Здесь и — скорость жидкости, р — давление, р — плотность, V — кинематическая вязкость, § — приложенная сила, которая связана с вибрацией слоя. Уравнения (1) записаны в неинерциальной системе координат, в которой вертикально вибрирующий слой является неподвижным.

Рис. 1. Слой жидкости и привязанная к нему декартова система координат. Капиллярные волны на свободной поверхности показаны пунктирной линией.

г

X

МОДЕЛЬ

Разделим в уравнениях (1) быстрое колебательное движение и медленное течение, для чего положим [1]:

и = и + и, р = р + Р. (2)

Штрихом помечены осциллирующие составляющие. Для периодических колебаний считаем, что значения, средние по периоду, равны нулю:

(и) = (р) = (*) = 0. (3)

Подставляя (2) в систему уравнений (1) и проводя усреднение, получим систему уравнений для медленного течения:

— + (иУ)и = -^р + + Р, <\Ъ/и = 0. (4) дг к ' р

Здесь

Р = {(и У) и) (5)

— "радиационная сила", вызывающая течение благодаря наличию капиллярных волн на свободной поверхности жидкости.

Вычитая из каждого уравнения системы (1) соответствующее ему уравнение системы (4), придем к уравнениям для капиллярных волн:

VP

— = + уДЙ' + g(t), divU = 0. dt р w

(6)

iPok,

(7)

(

dp' d 2uz

dt

■ + a

dx

= 0.

(8)

y z=0

Здесь а — коэффициент поверхностного натяжения. Подстановка решения (7) в граничное условие (8) приводит к дисперсионному соотношению:

ю2 =- k3 th (kH),

(9)

Р

пластины ограничена стенками, 0 < х < Ь, граничные условия их (х = 0) = их( х = Ь) = 0 приводят к появлению набора дискретных мод кЬ = пп, п = 1, 2, 3, ... . Соответствующий набор собственных частот таков:

Ю„

n) th(nnH

(10)

р \Ь ) \ Ь Для очень тонкого слоя получается простая фор мула:

Волны считаются слабыми и поэтому нелинейные члены в системе (6) опущены. Напомним вначале результат простейшей задачи для свободных капиллярных волн на поверхности невязкой жидкости [6]. Полагая в (6) v = g = 0, для гармонических во времени колебаний найдем:

их = ip0k sin (kx )ch (k (z + H ))exp (-iat), юр

иг = -/^-^соб (кх^И (к (г + Н))ехр (-/юг), юр

р = р0 соб (кх)сИ к (к (г + Н))ехр (-/юг).

Видно, что граничное условие и\(г = -Н, г) = 0, соответствующее непроницаемому для жидкости дну, выполняется. Граничное условие на свободной поверхности, где давление на жидкость формируется силами поверхностного натяжения искривленной границы, таково:

Шп = H(Ln) , Юп ~ n2. (11)

При равномерно распределенной по объему слоя амплитуде вибрационного воздействия будут возбуждаться все моды, однако наиболее заметными окажутся те, добротность которых выше. Например, действие вязкости сильнее проявится для высоких частот, поэтому лучше всего будут возбуждаться низкочастотные моды. Если выбрать частоту вибрации близкой к одной из собственных частот юп, можно селективно возбудить только одну моду с волновым числом кп.

РАСЧЕТ СТРУКТУРЫ ТЕЧЕНИЯ

Конкретные механизмы неустойчивости поверхности и возбуждения волн под действием вибраций рассмотрены в ряде работ (см., например, [7, 8] и приведенную в них библиографию). В частности, хорошо изучено параметрическое возбуждение "фарадеевских волн" на поверхности колеблющегося жидкого полупространства [7], когда выделенных частот (11) не возникает. При этом наименьшее пороговое значение амплитуды колебаний соответствует частоте ю/2 основной субгармоники.

Зная поле скоростей капиллярных волн, можно по формуле (5) рассчитать радиационную силу:

Fx = к fPokl sin (2kx),

4 lT (12)

Fz = kÍM] sh(2k(z + H)). 4 ^юрУ

Следующий шаг — это расчет вихревого течения, вызванного радиационной силой (12). Запишем систему (4) в проекциях на оси координат:

dUx 1 dP AJT r-, —x = —— + vAUx + Fx,

dt p dx

U dt

1 dP

p dz

+ vAUz + Fz,

(13)

dUx . dUz

■ + -

= 0.

которое связывает частоту колебаний ю и волновое число к. Если длина слоя вдоль поверхности

дх дг

Здесь числа Рейнольдса предполагаются малыми, поэтому конвективный член в уравнении движения (4) опущен.

АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ В СЛОЕ ЖИДКОСТИ

695

Введем функцию тока через которую компоненты скорости выразим следующим образом:

Ux =

U

dz ' z dx

(14)

При этом уравнение непрерывности (третье уравнение в системе (13)) тождественно удовлетворяется. Ротор скорости течения выражается через лапласиан от функции тока. Он имеет единственную ненулевую проекцию на ось у, нормальную к плоскости рис. 1:

(rot U) = +

v 'y dx2 dz

(15)

Теперь применим операцию ротора к обеим частям уравнения движения (4), чтобы исключить давление P. Заменяя ротор скорости на лапласиан функции тока, придем к уравнению:

-dA^ = vAA^ + (rot F) . (16)

dt v 'y

Вычислим ротор радиационной силы, присутствующий в этом уравнении, используя выражения (12):

(rot F) = 0.

v )y dx dz

(17)

Нулевое значение ротора означает, что радиационная сила (12), вычисленная на основе решения (7) для капиллярных волн на поверхности невязкой жидкости, не войдет в уравнение (16) для функции тока. Форма "вынужденного" и "свободного" течений будет одинаковой. Однако, определив скорость потока, нужно будет связать ее с характерным значением радиационной силы.

Рассчитаем установившееся "свободное" течение, которое описывается однородным бигармо-ническим уравнением, следующим из (16):

= + 2-^Х + = 0.

dx

dx2dz2 dz4

(18)

Запишем решение уравнения (18) в форме, удобной для того, чтобы удовлетворить нужным граничным условиям:

¥ = Со вш (р х) ^ (в (г + Н)) +

+ Схр (г + Н) (в (г + Н))+ (19)

+ С 2р (г + Н (в (г + Н))]

или

д4 Y + 2 д4 Y

д 4 Y

--+ = 0

dX2dZ2 dZ4 '

dx4 ax2dZ2 az4 ' (20)

Y = C0 sin (X )[sh Z + C1Z ch Z + C2 Z sh Z ] где для упрощения записи формул принято обозначение X = вх, Z = в (z + H). Компоненты скорости, согласно (14), имеют вид:

Ux =-в C0sin X [ch Z + C1(ch Z + Z sh Z) +

+ C 2(sh Z + Z ch Z)], (21)

Uz = -p C0 cos X [sh Z + C1Z ch Z + C2 Z sh Z].

z/H 0

-0.2

-0.4

-0.8

-1.0

Рис. 2. Линии тока для разных значений константы С (уравнение (24)) при в = —.

Константы определим из граничных условий:

Uz\z=-H = Uz\z=0 = 0 Uz\z=0 = Uz\z=eH = 0

Uxl-_-H = Ux|z=0 = 0.

(22)

Первые два условия соответствуют "непротеканию" жидкости через дно и свободную поверхность, третье — "прилипанию" горизонтальной компоненты к дну из-за вязкости. Определив константы, запишем выражения для компонент скорости течения:

(23)

Ux = U0 sin X [ Z sh Z - D(sh Z + Z ch Z)], Uz = -U0 cos X [sh Z - Z ch Z + DZ sh Z],

D = cth (pH) - (PHU0 =PC0.

Структура течения (23) описывается формой линий тока, которые даются уравнением

= const,

sin X [sh Z - Z ch Z + DZ sh Z] = C = const.

Линии тока течения (24) изображены на рис. 2.

Для оценки характерной скорости течения U0 вернемся к стационарной версии системы (13) с учетом выражений (12) для компонент радиационной силы:

(24)

0

2

1

1 — = vAUx + F0sin (2kx), p dx

i dp

p dz

dUx

= vÁUz + F0sh (2k (z + H)),

(25)

■ + -

3U7

= 0,

Fo =

k (Pok

дх дг " 4 ^юр,

Из первых двух уравнений системы с учетом условия несжимаемости получим уравнение Пуассона для давления:

A^J = 2kF0 [cos (2kx) + ch (2k (z + H))]. Решение (26) запишем в виде:

(26)

p = cos(2kx)

- F + Qch (2k (z + H)) 2k

+ C2sh (2k (z + H)) + ch (2k (z + H ))x (27)

F

+ A cos (2kx) + D2 sin (2kx)

2k

Здесь C1, C2, D1, D2 — константы, подлежащие определению. Подставляя (27) в систему (25), получим пару уравнений Пуассона для компонент скорости течения:

—AUx =- sin (2kx )х 2k

х [ ch (2k (z + H)) + C2 sh (2k (z + H))] + + ch (2k (z + H)) [-D1 sin (2kx) + D2 cos (2kx)],

2k

AUz = cos (2kx) x

(28)

x [C sh (2k (z + H)) + C2 ch (2k (z + H))] + + sh (2k (z + H)) [[ cos (2kx) + D2 sin (2kx)]. Сравнивая правые части уравнений (28) с

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком