ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2013, том 450, № 6, с. 665-669
МЕХАНИКА
УДК 532.529:534.2
АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ РАЗНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЯХ. ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ
© 2013 г. Академик Р.И. Нигматулин, член-корреспондент РАН Д.А. Губайдуллин,
Ю.В. Федоров
Поступило 04.02.2013 г.
DOI: 10.7868/S0869565213180126
Известно, что присутствие пузырьков газа в жидкости существенно меняет ее акустические свойства. Имеется значительное количество работ, посвященных теоретическому исследованию распространения гармонических возмущений в таких смесях. Различные проблемы акустики смесей жидкостей с пузырьками газа или пара рассмотрены в известных монографиях [1, 2]. В настоящей работе изучается распространение слабых возмущений разной геометрии в двухфракционных смесях жидкости с полидисперсными пузырьками газа разного состава.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В системе координат, связанной с невозмущенной средой, линеаризованные уравнения массы, числа пузырьков, импульса и давления имеют вид, обобщающий [3] на случай сферических и цилиндрических волн с использованием процедуры [4] для учета полидисперсности фракций дисперсной фазы:
\ г
dp ♦■>»
dvj dr
+ Н —
= 0 dp2a ' dt
+ Р20
dv1 dr
+ Н —
ÖP2i dt
dna dt
b
+ P20
(
+ П0
dnb , b +n0
dv I dr
dv1 dr
dv1 dr
+
r
= 0,
= 0,
= 0,
(1)
(2)
+ Ü-1
= 0,
Институт океанологии им. П.П. Ширшова Российской Академии наук, Москва Институт механики и машиностроения Казанского научного центра Российской Академии наук, Казань
Р10
dvI + М = 0
dt dr
'dPi a \ dt
ü
"ЗУ2aP0 \ ^ - 3(Y2a - 1) "
i a
Wa
dO_
dt '
dt '
Wb =
(3)
(4)
'm =-3Y W fl - 3Y 2. - Mq) .
(5)
P1 =P°a1, p2a =p2La2a, p2b = pfb«2b > (6)
«1 +a 2a +a2b = 1,
amax bmax
a2a = 4 n [ Na(a)a3da, a2b = 4n [ Nb(b)b3db, (7) 3 J 3 J
h, =JT f N0(l)g0(l)hdl, p20 = f N0(l)g0(l)dl,
p20 m ,j
'min 'min
g0© = 3 n 13P°,' l = a,b-
Здесь и далее нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам жидкой и газовой фаз. Штрихи обозначают возмущения параметров, 0 — начальное невозмущенное состояние. Переменные с индексом a относятся к пузырькам газа радиуса a, с индексом b — к пузырькам газа другого сорта радиуса b, r — координата, t — время, р0, р — истинная и средняя плотность смеси, v — скорость, p — давление, n — число пузырьков в единице объема, у — показатель адиабаты, w — скорость радиального движения пузырьков, а — объемное содержание, 0 — параметр, определяющий геометрию волны,
Na (a) и Nb(b) — функции распределения пузырьков разных газов по размерам.
Для несущей среды используется уравнение состояния акустически сжимаемой жидкости
Pi - Р10 = QV -р°о), где C1 — скорость звука в несущей фазе.
(8)
Для дисперсной фазы выбраны уравнения состояния совершенного газа
Pla — P2aR2aT2a' p2b = P2bR2bT2b' где R2 — газовая постоянная.
(9)
Тогда с учетом двухфракционности состава дисперсной фазы получаем следующие соотношения:
Wa = WAa + W r
a
dw'üa + 4 wRa =
Wb = WAb + WRb P2a - Pi
dt
2
Pl2
dw\
Rb + 4V WRb = p2b pi
WAa =
dt
_ P2a - Pi
"Aa 2^, a 4R' WAb 2^, b 4R'
Соотношения (7)—(9) удобнее переписать в следующем линеаризованном виде:
о '
Pió
_ p2 ь - Pi
(10) (11)
(12)
При описании радиального движения, согласно уточнению, приведенному в [5], будем полагать, что возмущение массовой радиальной скорости жидкости на поверхности раздела фаз w' состоит из двух слагаемых: w' = + w А. Слагаемое описывается уравнением Рэлея—Ламба:
ai — a 2a a
L2b >
a2a — '
a 2
-na +■
3a 2
a 2b =■
a
3a b
20„. + b ', (13)
'-nh +-
r M + 4vi & = P^LPi, dt R p22
где R — радиус пузырька, v1 — коэффициент кинематической вязкости жидкости.
Слагаемое w'A, учитывающее сжимаемость несущей фазы, определяется из решения задачи о сферической разгрузке сферического пузырька в жидкости в акустическом приближении [5]
WA =
P2- Pi , pióCia 20
Р =
i
о дТ2'
p20CP2 ^ д t
± А -2
\2^2 дТ2Л
Т' = T0, \ = R;
+ дP2, R,
дТ2'
= 0, \ = 0; q = -Х 2
д t
i \ дТ2
где Т2(Я, £) — температура дисперсной фазы, ср2 — удельная теплоемкость газа в пузырьках при постоянном давлении, 2, — микрокоордината, определяющая расстояние до центра пузырька. Аналогично работе [5]
,. ч D , y coth y - i
q = (m)RP2¿-y-' У =
y
i л R
к
i/2
К =
0 '
CP2p20
'0
Pi = Ci Pi ,
. '0 rp,
P2a _ 92a + T2a 0 +
P2a
(14)
(15)
'2д £2* —РЖ | 2Ь
р10 Р2а Т0 р10 Р2* Т0 Поскольку в уравнения входят переменные
Р10, Р2°>, Р* то целесообразно перейти от переменных р1, р2а, р2ь к указанным выше переменным. Для этого линеаризуем соотношения (6). Получим
Для точного учета диссипации из-за неравновесного межфазного теплообмена интенсивность теплообмена д определяем на основе решения уравнения теплопроводности для одиночного пузырька [5]
Pi = P00ai + Pi0ai0,
. _ 0 . '0 a
p2a = P 2aa 2a + P 2aa 20,
0 . , '0 b P 2b = P 2ba 2b + P 2ba 20.
(16)
(17)
(18)
Подставим соотношения (16)—(18) в уравнения сохранения массы (1), учитывая (13), (2) и проведя необходимые алгебраические преобразования, получим
aic 3pi_ + dvi + |
vi 3a 20 da' 3a 20 db'
P00 dt
_L dpi
p2a dt
dr r
+ 3 ^ = 0,
a dt
a dt i dp20b
P2b
dt
b dt
+ 3 db- = 0. b dt
= 0, (19)
(20)
где ю — частота возмущений, к — коэффициент температуропроводности.
Таким образом, получили замкнутую систему уравнений (3)-(5), (10)-(12), (14), (15), (19), (20). Данная система уравнений при значении параметра 8 = 0 описывает плоские волны в декартовой системе координат, 0 = 1 — цилиндрические волны в цилиндрической системе координат, 8 = 2 — сферические волны в сферической системе координат.
ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
Исследуем решения этой системы уравнений, имеющие вид прогрессивных волн для возмущений ф', где ф' = V, р1, р1, ...:
Ф' = А ехр[/(К*г - ю?)], (21)
0
0
АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ РАЗНОЙ ГЕОМЕТРИИ
667
К**, 1/м
102_I_I_I_I_I.
Рис. 1. Сравнение коэффициента затухания К** и фазовой скорости С с экспериментальными данными [7]; аго = 3.3 • 10-4, а1 = 0.6 • 10-3 м, 5 = 0.38 ■ 10-4 м.
Ф' = AфH01)(K*r) ехр [-/ю I], A
ф' = —-ехр[/(К*г - ю?)], г
Ю ;2
(22) (23)
К* = К + /К**, Ср = —, г = -1, где К* — комплекс-К
ное волновое число, К** — линейный коэффициент
затухания, Ср — фазовая скорость, н01)(г) — функция Ханкеля, являющаяся комбинацией функций Бесселя первого и второго рода нулевого порядка. Решения вида (21), (22) и (23) соответствуют плоским, цилиндрическим и сферическим волнам соответственно.
Из условия существования у системы линейных алгебраических уравнений (3)—(5), (10)—(12), (14), (15), (19), (20) нетривиальных решений вида (21)—(23) получено следующее дисперсионное соотношение:
с V \2
Л*
1 3а2ра10р°0 {Оа)а С/ 3У2аР10 - (ОаЯа)а
3а 2ра10р5;)0 (0ъ)ъ 3у2ьРю - (0Л)Ъ'
+
+
(24)
С/ =
С1
а
10
й = 1 -ф,, = , 1 +
3
Ф, 21 - 1) (у, соШ у, - 1), у, =
У,
, . 4у1
к, = -гю + —т1, ,2
/ю,
К 2
^ =
С1(а!20)в
, = а, Ъ.
Дисперсионное соотношение по виду совпадает с полученным ранее соотношением [3]. Для случая двухфракционной смеси жидкости с монодисперсными пузырьками [6] дисперсионная зависимость получается из дисперсионного уравнения (24) при
подстановке N0^(0) = п0 5(а - а0), №"(Ъ) = п0 5(Ъ - Ъ0), где 5 — функция Дирака. В этом случае (к) = к(а0),
кь = КО). а
СРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
В работе [7] содержатся результаты экспериментальных измерений для коэффициента затухания и скорости распространения плоской звуковой волны в смеси воды с пузырьками воздуха в диапазоне резонансных частот. Рисунки 1, 2 поз-
К**, 1/м 150
100
50
0 3
С, м/с 104
103 -
10
/, кГц
/, кГц
Рис. 2. Сравнение коэффициента затухания К** и фазовой скорости С с экспериментальными данными [7]; аа20 = 4.1 • 10-4, а1 = 0.62 • 10-3 м, 5 = 0.4 ■ 10-4 м.
6
4
5
7
8
воляют сравнить результаты теории с данными измерений [7]; предполагается, что нет второй
фракции пузырьков (а20 = 0). Радиус а пузырьков в ходе экспериментов и в расчетах изменялся в
интервале [0.58
С, м/с 90
■ 10-3, 0.75 ■
10 3] м. Была выбрана
60
30
20
40
60
/, Гц
Рис. 3. Сравнение фазовой скорости С с экспериментальными данными [8].
нормальная функция распределения пузырьков газа по размерам
N 0"(а) = —^ехр ял/ 2п
(а - а1)
27"
атт < а < аmax,
где а1, s — параметры распределения. Объемное содержание и параметры распределения размеров пузырьков были получены авторами эксперимента также путем вторичных измерений, сделанных после опыта. Оказалось, что статистические данные распределения размеров пузырьков не были постоянны во времени. Они изменялись во время экспериментов. Несмотря на это обстоятельство теоретическая модель достаточно хорошо описывает экспериментальные измерения.
Необычный эксперимент описан в статье [8]. Для изучения скорости распространения низкочастотных звуковых волн были погружены и зафиксированы в воде большие латексные воздушные шары, которые использовались в качестве пузырей. Рисунок 3 позволяет сравнить скорость звука с экспериментальными данными, полученными для пяти таких шаров. Объемное содержание воздуха а20 = 0.04, радиус шаров а0 = 4.92 • 10-2 м. Видно не только качественное совпадение, но и количественное. Экспериментаторы указывают
0
АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ РАЗНОЙ ГЕОМЕТРИИ
бб9
на погрешность в определении размеров шаров и на погрешность в определении газосодежания. Не исключено и влияние стенок установки на полученные значения. Приведенная же теория описывает динамику распространения волн в неограниченной среде. Как следствие, максимальное отклонение теоретических значений от экспериментальных данных находится в пределах 10%. Итак, наличие в воде всего несколько таких больших шаров-пузырей уменьшает скорость распространения звуковой волны при низких частотах в 30 раз по сравнению со скоростью звука в чистой жидкости. Таким образом, возможно существенное уменьшение скорости распространения низкочастотных возмущений с помощью больших искусственных пузырей.
В заключение следует отметить необходимость исследования резонансных явлений в пузырьковых жидкостях для расширения знаний о волновых и колебательных процессах в многофазных системах, а также для развития мето
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.