МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2013
УДК 532.529:534.2
© 2013 г. Д. А. ГУБАЙДУЛЛИН, Д. Д. ГУБАЙДУЛЛИНА, Ю. В. ФЕДОРОВ
АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ЖИДКОСТЯХ С ПОЛИДИСПЕРСНЫМИ ПУЗЫРЬКАМИ ГАЗА. СРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
Представлена математическая модель, определяющая распространение акустических волн разной геометрии в двухфракционных смесях жидкости с полидисперсными газовыми пузырьками разного состава. Записана система дифференциальных уравнений возмущенного движения двухфазной смеси, получено дисперсионное соотношение. Выполнено сравнение развитой теории с известными экспериментальными данными, в том числе и около резонансной частоты пузырьков.
Ключевые слова: акустические волны, дисперсионное соотношение, пузырьковая жидкость, полидисперсность, резонансная частота.
Известно, что присутствие пузырьков газа в жидкости существенно меняет ее акустические свойства. Имеется значительное количество работ, посвященных теоретическому исследованию распространения гармонических возмущений в таких смесях.
Различные проблемы акустики смесей жидкостей с пузырьками газа или пара рассмотрены в известных монографиях [1, 2]. Работа [3] посвящена описанию основных особенностей двухфазных сред пузырьковой структуры. Приведен также обзор работ по распространению волн в жидкостях с пузырьками постоянной массы и работ по волновой динамике жидкостей, содержащих пузырьки пара или растворимого газа. В [4] для смеси жидкости с газовыми пузырьками получена дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз в случае плоских волн, показана необходимость учета сжимаемости несущей фазы для задач акустики пузырьковых жидкостей.
Задача о распространении малых плоских возмущений в жидкости с полидисперсными пузырьками газа рассмотрена в [5]. Получено дисперсионное соотношение, найдена равновесная скорость звука.
В работе [6] в рамках трехтемпературной модели исследовано распространение малых возмущений в двухкомпонентной двухфазной смеси. Показано, что распространение волн определяется неравновесностью тепломассопереноса, а не эффектами скольжения фаз. В [7] выполнено сравнение теории с известными экспериментальными данными по скорости распространения и затуханию волн в смесях воды с пузырьками воздуха. Показана немонотонная зависимость затухания импульсного возмущения от начального радиуса пузырьков газа. В [8] получено дисперсионное соотношение, определяющее распространение гармонических возмущений в двухфазных смесях жидкости с пузырьками пара и газа для случаев плоских, сферических и цилиндрических волн. В [9] исследовано распространение гармонических возмущений в двухфракционных смесях жидкости с монодисперсными пузырьками газа.
В работе [10] рассмотрена динамика плоских волн в двухфракционных полидисперсных пузырьковых жидкостях. Приведено сравнение теории с некоторыми экспериментальными данными. Показан дополнительный вклад очень маленьких пузырьков газа малого объемного содержания, которые могут появиться в ходе проведения эксперимента, на дисперсию и диссипацию плоских волн при высоких частотах.
В настоящей работе изучается распространение слабых возмущений разной геометрии в двухфракционных смесях жидкости с полидисперсными газовыми пузырьками разного состава.
1. Основные уравнения. В системе координат, связанной с невозмущенной средой, линеаризованные уравнения массы, числа пузырьков, импульса и давления имеют вид, обобщающий [10] на случай сферических и цилиндрических волн с использованием процедуры [11] для учета полидисперсности фракций дисперсной фазы
дР1 д1
+ Р10
ди1 + е Ц1 дг г
= 0,
дР2 + 1
17 + Р20
и . л
ди1 + еи1
дг г
= 0
(1.1)
дп; I
~дп + п0
ди+еи1
дг г
= 0,
Р10ди1+дР1 = 0
д1 дг
(1.2)
^)- »{Г], - * 2 - »(I,
Р1 = Р1а1, Р2, = Р2, а 21
V =
дТ д1
(1.3)
(1.4)
а1
+ а 2Д + а 2ъ = 1, а 2, = 4 п [ N1 (¡)1ъй1
ч ^
(1.5)
(к), | N0(1)g0,()кйI, р20 = | N0(1^0(1)<!I Р20 , . , .
go(0 = 3 п I 3Р°Ь
( = а, Ь)
Здесь и далее нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам жидкой и газовой фаз. Штрихи обозначают возмущения параметров, 0 — начальное невозмущенное состояние. Переменные с индексом a относятся к пузырькам газа радиуса a, с индексом Ь — к пузырькам газа другого сорта радиуса Ь, г — координата, t — время, р°, р — истинная и средняя плотность смеси, и — скорость, p — давление, п — число пузырьков в единице объема, у — показатель адиабаты, w — скорость радиального движения пузырьков, а — объемное содержание, 0 — параметр, определяющий геометрию волны, Ж'^) и №(Ь) — функции распределения пузырьков разных газов по размерам.
Для несущей среды используется уравнение состояния акустически сжимаемой жидкости
Р1 - Р10 = С1(Р? -Р°0)
(1.6)
где C1 — скорость звука в несущей фазе.
Для дисперсной фазы выбрано уравнение состояния совершенного газа
р2, - р°1 ^21Т21
(1.7)
где Я2, — газовая постоянная.
При описании радиального движения, согласно уточнению [4], будем полагать, что возмущение массовой радиальной скорости жидкости на поверхности раздела фаз ^ состоит из двух слагаемых: №' = +
Слагаемое описывается уравнением Релея—Ламба
Я д^А + ^ ^А = Р2 - Р' Ы 1 Я р?0
где R — радиус пузырька, V! — коэффициент кинематической вязкости жидкости.
Слагаемое ц,'А, учитывающее сжимаемость несущей фазы, определяется из решения задачи о сферической разгрузке сферического пузырька в жидкости в акустическом приближении [4]
, Р2 - Р1 о_ 1
™А _ -¡Г ' Р _ 7
РкАа во 6
Для точного учета диссипации из-за неравновесного межфазного теплообмена интенсивность теплообмена q определяем на основе решения уравнения теплопроводности для одиночного пузырька [4]
dTj = ± д_ dt Ç2 дÇ
p20cp2 ^
( \
С
+ 'dt
Х2^2 дТ
+ dPÎ, R
dT2
Ç = R, T2 = То; Ç = 0, ^ = 0; q =-X 2
дТ
2 J R
где Т2(Я, г, — температура дисперсной фазы, ср2 — удельная теплоемкость газа в пузырьках при постоянном давлении, £ — микрокоордината, определяющая расстояние до центра пузырька. Тогда, аналогично работе [4]
q = (гю)Яр2(у соШ у - 1]/у2
У =
mR 1 _ У2 , к —-
cp2p20
где ю — частота возмущений, к — коэффициент температуропроводности.
Тогда с учетом двухфракционности состава дисперсной фазы получаем следующие соотношения
w - p2i - Pi I dw'Ri + wR i - P2 - Pi (i8)
W - wAl + wRl, wAl --1 в, 1+ ---(L8)
pfoCi(a'2o)P dt 1 p°0
Соотношения (1.5)—(1.7) удобнее переписать в следующем линеаризованном виде а 1 3а i
ai = -а2а -a'2b, a2i = a£n} + i • (1.9)
«0 1
p1 = Ci2pf, & = p2L +T3L (1.10)
p10 p°i T0
Поскольку в уравнения входят переменные pf, pf, то целесообразно перейти от переменных pi, p2l к вышеуказанным переменным. Для этого линеаризуем соотношения (1.4), получим
Pi = P°0a1 + Pl°a10> P2l = P°l + P2° a 20 (1.11)
Подставим соотношения (1.11) в уравнения сохранения массы (1.1), учитывая (1.9), первое уравнение (1.2) и, проведя необходимые алгебраические преобразования, имеем
aio Spf + dUi + 0Ui - 3a2o - 3a2o db_ = 0 (1 12)
pf0 dt dr r a dt b dt
XM + 3 К = 0 (1.13)
p%¡ dt l dt
Таким образом, получили замкнутую систему уравнений: второе уравнение (1.2), (1.3), (1.8), (1.10), (1.12), (1.13). Данная система уравнений при значении параметра 9 = 0 описывает плоские волны в декартовой системе координат, 9 = 1 — цилиндрические волны в цилиндрической системе координат, 9 = 2 — сферические волны в сферической системе координат.
2. Дисперсионное соотношение. Исследуем решения этой системы уравнений, имеющие вид прогрессивных волн для возмущений ф', где ф' = u¡, p\, p'2a, p'2w'a, w\, w'Aa, wAb , wRa, wRb , Pl, P2a , P'^ T2a, T2b, a', b
Ф' = Av exp[i(K*r-ю t)] (2.1)
Ф' = A^H01)(K*r) exp[-tot] (2.2)
Ф' = — exp[i(K*r -юt)] (2.3)
r
Здесь K * = K + iK **, Cp = ю/K, i2 = —1, где K * — комплексное волновое число, K ** —
линейный коэффициент затухания, Cp — фазовая скорость, H 01)(г) — функция Ханкеля, являющаяся комбинацией функций Бесселя первого и второго рода нулевого порядка.
Решения вида (2.1), (2.2) и (2.3) соответствуют плоским, цилиндрическим и сферическим волнам соответственно.
В итоге получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд:
-;'юрю Aui + iK* Api = 0
-i®(Ap2i^ =-3y2ipi0^y^ - '«(Ф^Д
Awl = -i®Al, Awl = AwAl + AwRl
-mlAwx, + 4vi Awfi = ^^, Awai = ^^ (2.4)
l pfo pfoCi(a'o)P
a a Ap2l Ap2l , AT2l i , 3 , n Api = Ci Api, -p- =^ + -T¿L, — Ap2l + -Al = 0 p pío p°2l To p°2l T l
l
-iffl^10 Aol + (iK *)Аи1 + Y--^ mA, = 0 P°o 1
гДе Ф, = 3(y21 - 1)(y, coth y, -1)/y2, y, = Vim 12 /к,,.
Фиг. 1. Сравнение рассчитанных значений (1) коэффициента затухания К** с экспериментальными данными (2) [12]
Поскольку параметры жидкой фазы не зависят от радиуса пузырьков, справедливы следующие тождества
(^чл)! ~ Лч1 где у! = иь ^ Р!.
Следовательно, чтобы вынести неизвестные амплитуды Лр21, Л! из-под знака оператора осреднения (...)!, нужно выразить их через амплитуды параметров жидкой фазы Л^, (VI = иь р1, Р1>.
Таким образом, исключая неизвестные амплитуды и из условия существования у линейной системы (2.4) нетривиальных решений вида (2.1) — (2.3), получено следующее дисперсионное соотношение
К*]2 = ± + у За2оа1оР°о с = = Щ2р°о^;
®) С} у Зу21Р10 - ' С аю' 1 1 + н,(, .
О, = 1 -ф,' к, =-/© + 4V1 /!2' ь = !/(С1(а 2о)в)
Дисперсионное соотношение по виду совпадает с полученным ранее [10]. Для случая двухфракционной смеси жидкости с монодисперсными пузырьками [9] дисперсионная зависимость получается из (2.5) при подстановке N(!) = п 8(! - !о), где 5 — функция Дирака. В этом случае (к)1 = к(!о).
3. Сравнение теории с экспериментом. На фиг. 1 приведено сопоставление теории с экспериментальными данными [12] для зависимости линейного коэффициента затухания от частоты возмущений / = ю/(2л).
Эксперимент проведен для смеси воды с двумя фракциями пузырьков воздуха разных радиусов. Расчеты проведены с помощью дисперсионного соотношения (2.5).
Фиг. 2. Сравнение рассчитанных значений (1) коэффициента затухания К** (а) и фазовой скорости С (б) с экспериментальными данными (2) [13]: а20 = 3.3• 10 4, а1 = 0.6 • 10-3 м, 5 = 0.38 ■ 10-4 м
Теоретическая кривая 1 получена при значени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.