АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 4, с. 347-355
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.21
АКУСТИЧЕСКИЙ МЕТАМАТЕРИАЛ С НЕОБЫЧНЫМИ ВОЛНОВЫМИ СВОЙСТВАМИ
© 2014 г. Ю. И. Бобровницкий
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН 101990Москва, Малый Харитоньевский пер. 4 E-mail: yuri@imash.ac.ru Поступила в редакцию 24.02.2014 г.
Предложено несколько вариантов конструкции нового акустического метаматериала с необычными волновыми свойствами, исследована дисперсия нормальных волн. Одним из вариантов является полосовой фильтр, в полосе пропускания которого фазовая скорость нормальной волны отрицательна. В другом варианте имеется две полосы пропускания: в одной полосе фазовая скорость положительна, в другой — отрицательна. Как следствие, в нем могут наблюдаться необычные физические явления, в частности двойное лучепреломление особого вида и комбинированный эффект Доплера. В длинноволновом диапазоне, где метаматериал ведет себя как непрерывная среда, выведены соответственные уравнения в частных производных. Отмечены существенные отличия от обычного волнового уравнения.
Ключевые слова: акустические метаматериалы, эффективные параметры, дисперсия нормальных волн, отрицательные акустические среды, "волновое" уравнение отрицательной среды, двойное лучепреломление, комбинированный эффект Доплера.
DOI: 10.7868/S0320791914040017
Последние годы большое внимание в литературе уделяется одному из обобщений акустических сред — акустическим метаматериалам (АММ). Они представляют собой искусственно создаваемые периодические структуры из ячеек достаточно сложного устройства. В длинноволновом диапазоне эти структуры ведут себя как непрерывные акустические среды и демонстрируют, в зависимости от типа и сложности ячейки периодичности, нестандартные волновые свойства, позволяющие ставить и решать новые практические задачи [1—4]. Большинство имеющихся публикаций на эту тему посвящено теории. Что касается конкретных конструкций АММ, то их создано немного, и они пока не вышли из стадии лабораторных исследований. Поэтому конструирование акустических материалов и сред с заданными волновыми (дисперсионными) свойствами и их исследование является одной из наиболее актуальных среди нерешенных задач этой новой области акустики.
В данной работе предложена схема новой конструкции АММ, обладающего волновыми свойствами, которые ранее в АММ и средах не встречались. Будет показано, например, что одна из модификаций этого метаматериала является полосовым фильтром с двумя полосами пропускания, причем в одной полосе пропускания она ведет себя как дважды отрицательная среда, а в другой полосе пропускания — как обычная "положительная"
среда. Благодаря этому здесь можно наблюдать необычные физические эффекты, в частности особого вида двойное лучепреломление и комбинированный эффект Доплера. Рассмотрено несколько вариантов конструкции, изучены дисперсионные свойства их нормальных волн.
При исследовании предложенного АММ ниже используется подход, разработанный в работе [5] специально для анализа метаматериалов. Суть его составляет метод вычисления эффективных параметров АММ, названный волновым усреднением. Он заключается в том, что АММ, как сложная периодическая структура, моделируется, т.е. заменяется периодической же структурой, но простейшего вида, параметры которой принимаются в качестве эффективных параметров АММ. Критерием эквивалентности АММ и модели является равенство дисперсии их нормальных волн. В одномерном случае, который имеется в виду в статье, моделью АММ является цепочка Ньютона из одинаковых частиц, соединенных одинаковыми пружинками, два параметра которой — масса частиц и жесткость пружинок — являются двумя эффективными параметрами моделируемого АММ. Их равномерное распределение по длине ячейки периодичности дает эффективную плотность и эффективный объемный модуль упругости соответственной непрерывной эффективной акустической среды. Как показано в [5], все волновые характеристики
/1
Рис. 1. МС-структура с двумя входами. Прямыми линиями изображены невесомые абсолютно жесткие стержни, кружками — невесомые шарниры. Входы 1 и 2 могут смещаться только в горизонтальном направлении (по оси X), массы т могут смещаться и по X, и по У.
АММ, например, групповая и фазовая скорости, а также его энергетические характеристики точно вычисляются через определенные таким образом эффективные параметры. Кроме того, знание одних только знаков эффективных параметров позволяет производить экспресс-анализ волновых свойств АММ: частотные области, где они имеют разные знаки, являются полосами непропускания, а области с одинаковыми знаками — полосами пропускания. При этом если оба знака отрицательны, то фазовая скорость нормальной волны отрицательна и АММ является дважды отрицательной средой, а если оба знака положительны, то фазовая скорость положительна и АММ является обычной "положительной" средой.
Основным элементом предложенных здесь конструкций АММ является структура, изображенная на рис. 1. Она состоит из четырех абсолютно жестких невесомых стержней одинаковой длины, соединенных в виде ромба с углом 2а четырьмя невесомыми шарнирами. К двум противолежащим шарнирам жестко присоединены массы т, а два других шарнира являются входами структуры, посредством которых она может соединяться с другими элементами и на которые могут действовать внешние силы. Предполагается, что как силы, так и смещения обоих входов имеют одно направление — горизонтальное, по оси X. В то же время массы т могут двигаться и по X, и по У. Идея этой структуры принадлежит Г. Милтону и П. Сеппешеру [6], которые назвали ее "пружиной с частотно зависимым коэффициентом жесткости". Хотя структура на рис. 1 заметно отличается от структуры в [6] (в оригинале вместо стержней использованы обычные пружины, там нет шарниров и фиксирован угол а = = я/4), особенности их колебательного поведения во многом идентичны. Поэтому ниже структуру на рис. 1 будем называть по имени изобрета-
телей или, для краткости, МС-структурой. Трение в шарнирах и при движении масс не учитывается.
Рассмотрим подробнее гармонические колебания частоты ю МС-структуры под действием внешних сил с амплитудами/1 и/2 , приложенным к двум ее входам. Так как структура зеркально симметрична, ее симметричные и антисимметричные колебания независимы. Поэтому если возбуждение
на входах антисимметрично, /а = /, то отклик структуры (смещения на входах) также является ан-
а а -п
тисимметричным, и2 = и 1. При таком движении структура ведет себя как масса 2т и для нее можно записать
/ = Саи1, 1 = 1, 2; (1)
2
Са = Ст = -Ий .
Буквой с обозначены динамические жесткости, связывающие комплексные амплитуды сил и смещений.
Если возбуждение зеркально симметрично, /2 = —/1, отклик МС-структуры также симмет-
* * Г)
ричен, и2 = — и 1. В этом случае, как нетрудно проверить, имеют место соотношения
/В] = С*и*, 1 = 1 2;
с* = ст ^ 2(а) = — тй2 ^ 2(а).
(2)
Эти соотношения показывают, что при симметричном возбуждении структура ведет себя как "отрицательная пружина", т.е. как пружина, коэффициент жесткости которой меньше нуля и зависит от частоты как ю2. Именно эта особенность МС-структуры лежит в основе необычных волновых свойств периодических структур, в которых она является составным элементом и которые будут исследованы ниже.
Для произвольного возбуждения связь между амплитудами сил и смещений на входах МС-струк-туры имеет матричный вид
(3)
С = СаС*,
где С — матрица динамических жесткостей, с1 = = (са + с)/2, с2 = (са — с)/2. Далее нам понадобится матрица динамических податливостей МС-струк-туры, являющаяся обратной матрице (3):
/ = Си или /1 = С1 С2 и1
/ _С2 С1 М2_
Б = С =
йх
Б = dads,
и
с элементами
йа + й,
й1 =
= 0йт, й2 = ^ = Мт,
йа =
=
йт =
д =
1 - Т
тю
2
2
0=
1 + т2
(5)
т = (а).
Б =
й1 + й2к й2
й2 й1 + й2к
(6)
meff = - -
ю2й2
2-2
1 - Т
2
=
1
(7)
к
2 (й1 - + й2к)
1 - (2т2/62)
т т т
(а)
т т т
Следует заметить, что МС-структура не может самостоятельно поддерживать свою геометрическую форму и поэтому может использоваться только в качестве составного элемента более сложных конструкций вместе с другими элементами, способными фиксировать в положении равновесия геометрическую форму всей конструкции.
Рассмотрим один из простейших вариантов такой конструкции, который изображен на рис. 2а. Это бесконечная периодическая структура (цепочка), представляющая собой последовательное соединение чередующихся идентичных МС-струк-тур и обычных пружин с коэффициентом жесткости к. Для упрощения выкладок ячейку периодичности этой цепочки удобно выбрать зеркально симметричной, как показано на рис. 2б. Тогда, как нетрудно убедиться, матрица динамических податливостей ячейки равна
где и А2 даны в (5) и А2к = 1/2к. Как показано в работе [5], матрица (6) является основой для получения всех волновых параметров и соотношений для нормальных волн периодической МС-цепочки на рис. 2а. В частности, ее "волновые" эффективные параметры равны
1
(б)
Рис. 2. Периодическая МС-цепочка (а) и ее симметричная ячейка периодичности (б).
рис. 2а является, следовательно, низкочастотной дважды отрицательной акустической средой. Рассмотрим подробнее дисперсионные свойства ее нормальной волны. Напомним, что, согласно [5], если ячейка периодичности периодической цепочки имеет два входа, то в ней существует только один тип нормальных волн и она представляет собой чисто акустическую среду.
Пусть, в соответствии с теоремой Флоке [7], в МС-цепочке (рис. 2а) существует нормальная волна вида
и1 (п) = и1(0) ехр(Iцп - Iю¿). (8)
Здесь п — порядковый номер ячейки периодичности, и1(п) — комплексная амплитуда смещения первого входа п-й ячейки, ц — безразмерная постоянная распространения, которая удовлетворяет следующему дисперсионному уравнению (см. [5]):
= —
или в другой записи
2(й1 - й2 + й2к) _ те{{ю
К
еГГ
т 2 , 1 - Т = 2 т +-
(9а)
(9б)
где е = ю/ю0 — относительная частота, ю0 = к/т. Как видно из (7), эффективная масса зависит только от угла а МС-элемента: при я/4 > а она положительна, для
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.