научная статья по теме АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ПОЛИНОМОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ПОЛИНОМОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 7, с. 731-741

ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

УДК 621.373

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ПОЛИНОМОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ © 2015 г. В. М. Богачев

Национальный исследовательский университет "Московский энергетический институт" Российская Федерация, 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 14 E-mail: BogachevVM@mpei.ru Поступила в редакцию 18.07.2013 г.

Предложен новый подход к обоснованию ряда алгебраических критериев устойчивости и теорем о локализации корней комплексного полинома на комплексной плоскости. Решение основано на теоремах о связи комплексных полиномов с методами синтеза реактивных и квазиреактивных двухполюсников. Рассмотрены аналоги табличного критерия Рауса и детерминантный критерий Эрми-та—Гурвица, включая критические случаи. Показано, что непревзойденным по простоте и точности вычислений является алгоритм Рауса. Применение критериев проиллюстрировано на моделях реальных динамических систем: двух- и трехконтурных генераторов с близкими собственными частотами.

DOI: 10.7868/S0033849415060029

ВВЕДЕНИЕ

Алгебраические критерии устойчивости полиномов с комплексными коэффициентами разработаны Эрмитом (1856 г.) и адаптированы для инженерных приложений Гурвицем (1895 г.). Наиболее известны детерминантный критерий Эрмита— Гурвица [1—3] и его иннорное представление, предложенное Э. Джури [4]. Однако для решения технических задач упомянутые критерии, как правило, не применяют, поскольку полученные строгими методами характеристические уравнения линеаризованных динамических систем имеют вещественные коэффициенты. В то же время комплексные характеристические уравнения получаются при анализе методом укороченных операторных уравнений [5—8] устойчивости положений равновесия и периодических режимов узкополосных динамических систем [8—15], при исследовании стационарных режимов автоматических систем [16] и в ряде других случаев, связанных со специальным преобразованием исходных уравнений системы или изменением области локализации корней [2—4]. Область приложения рассматриваемых методов существенно расширилась в связи с открытием нового направления радиоэлектроники — проектирования "комплексных" цифровых и активных ^С-фильтров, для которых точные характеристические уравнения являются комплексными [17—19]. Таким образом, перед критериями устойчивости и локализации корней комплексных полиномов открыта широкая область технических приложений.

Цель работы — привести новое, базирующееся на теории цепей, обоснование группы алгебраических критериев устойчивости для комплексных полиномов, проиллюстрировать их применение на моделях реальных радиоэлектронных устройств, а также изучение эффективности рассматриваемых критериев, включая критические случаи.

1. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ТИПА РАУСА-КАУЭРА

Критерий основан на разложении ассоциированной с комплексным характеристическим полиномом H(p) обобщенной реактивной функции в цепную дробь по методу типа Кауэра. Аналогичный критерий, известный в теории цепей для вещественных полиномов, условимся называть критерием Рауса-Кауэра, а его обобщение — критерием типа Рауса—Кауэра.

По определению цепь с входным иммитансом W(p) является реактивной, если W(p) — рациональная неприводимая функция с комплексными (в общем случае) коэффициентами и выполняются два условия: цепь устойчива при подключении единичного резистора и Re W (j ю) = 0 при всех ю. Цепь, удовлетворяющую второму, но не удовлетворяющую первому условию, назовем квазиреактивной.

Для доказательства критерия используем теорему о связи комплексных полиномов Гурвица с обобщенными реактивными функциями [11].

Xi/j X/J Xn/j

—ПИ— -пп— — ГШ—

C1 = = Ci = Cn

Форма 1А

(а)

L: Ln

Форма 1В

Форма 1С

(б)

Ci C:

HI"" Т-II'"

JBift jBi 0 jBn

Cn

jX1

•-ГГП-

Li

C2 JX3

HI—tm-i

JB2

Форма 2А Форма 2В Форма 2С

Рис. 1. Канонические формы типа Кауэра: аналоги 1-й и 2-й форм Кауэра.

Ln

Теорема 1. Комплексный полином Н(р) тогда и только тогда асимптотически устойчив (т.е. является полиномом Гурвица), когда ассоциированный с H(jю) = Нв(ю) + у'Нм(ю) иммитанс W(jю) = = Нв(ю)/у'Нм(ю) является обобщенной реактивной функцией, причем вещественная и мнимая части полинома Н(jю) не имеют общего множителя, т.е. дробь Нв/ jHM не может быть сокращена.

Относительно теоремы сделаем следующие замечания.

Если вещественная и мнимая части полинома Н (j ю) имеют общий множитель, то он может быть только вещественной функцией частоты: F (ю). В этом случае Н (j ю) можно представить в виде произведения двух полиномов: Н(jю) = Н(jra)F(ra), где Н(jю) — гурвицева часть полинома порядка m< n, F(ю) — вещественный множитель порядка v = n — m.

Вещественный полином, в частности F (ю), может иметь только вещественные и комплексно -сопряженные корни. Вещественный по переменной ю корень располагается на мнимой оси p-плоскости, а каждой комплексно-сопряженной паре = а ± ур соответствует пара корней pk i = ±р - ja, один из которых расположен в левой, а другой — в правой части плоскости p. Таким образом, для решения задачи о типе корней полинома F(p) достаточно определить число вещественных корней Ув (с учетом кратности) полинома F (ю), остальные распределятся поровну слева и справа от мнимой оси: L = R = (v - VJ/2. Полином Н(p) устойчив, но не асимптотически, если Н(р) —

полином Гурвица и все корни Р (ю) вещественные простые, иначе полином Н(р) неустойчив.

Рассмотрим сначала комплексный полином Н(р), не имеющий общего вещественного множителя. Проведем замену переменной р = у ю и, разделив Н (у ю) на вещественную и мнимую части, получим импеданс

Z(jЮ) = - aom" + a1®" +••• + an

Н м j(bo®" + ¿1®" + • • ■ + bn)

(1)

Для проверки реактивности импеданса 2 (у ю) можно воспользоваться одним из методов синтеза обобщенных реактивных цепей 1-й или 2-й формы типа Кауэра, каждая имеет три разновидности: А, В и С [11, 15]. Соответствующие цепи показаны на рис. 1. Они содержат "обычные" реактивные элементы Ь, С(- и "псевдореактансы" уХк, ]В1 — частотно независимые реактивные элементы.

Используем форму 1А и проследим процедуру синтеза шаг за шагом. Математически процедура соответствует записи 2 (у ю) в виде цепной дроби.

На первом шаге, выполнив в соответствии с алгоритмом Евклида деление числителя на знаменатель: Нв/ уНм, выделим псевдореактанс Х1 = а0/Ь0 и запишем результат в виде суммы 2 (у ю) = Х1/у + 21(у ю). Здесь 21(ую) — "остаток" от деления Н„/]Нм :

п-1 , п-2 ,

7(. ч_ао® + а1ю +... + ап-1 21(у ®) — ■

j(b0&" + ¿1ю

n—1

• + bn)

где ak = ak+1 — X1bk+1 — коэффициенты числителя (k = 0,...,n - 1).

На втором шаге обращаем "остаток" и вновь выполняем деление. В результате выделяем емкостный элемент С1 = а0/Ь0, тогда можем записать

2 М = ^ + >

у уш С! + 1/ 22

где

Z2(j Ю) =

n-1 , n-2 ,

а 0ю + а^ + ... + а n-i yXp0®n-1 + pi®"-2 +^ + P„-i)'

(2)

Рк = рк+1 — С$к+1 — коэффициенты, определяемые по схеме, аналогичной ак.

Выражение для Z2 имеет тот же вид, что и (1), но его порядок на единицу ниже. В регулярном случае, когда все коэффициенты с нулевыми индексами не равны нулю, разложение можно довести до конца и представить 2 (у ю) в форме цепной дроби:

2 (ую) = -у'Х 1 + 1

+

j ю Ci + -

1

(3)

-jX 2 +■

1

j ЮС2 + ... + ll(-jXn + 1/j юС„)

Выражению (3) соответствует лестничная цепь (рис. 1а), содержащая псевдореактансы Xjj и емкостные элементы Ck. Для пассивной (реактивной) цепи знаки X могут быть любыми, но все величины Ck, к = 1,2,..., п, должны быть положительные. Согласно доказанной в [15] теореме разложение (3) справедливо и для квазиреактивных цепей с тем лишь отличием, что теперь часть элементов Ck становится отрицательной и их число определяет число правых корней характеристического полинома. Сформулируем полученный результат как теорему типа Рауса—Кауэра.

Теорема 2. Комплексный полином H(p) порядка п асимптотически устойчив тогда и только тогда, когда все коэффициенты Ck (к = 1,2,..., n) в разложении ассоциированного с Н(ую) иммитанса W(ую) = = Нв(ю)/jHH(®) в цепную дробь вида (3) положительные. Число правых корней равно числу отрицательных коэффициентов Ck. Знаки псевдореактансов X на устойчивость цепи не влияют.

Теорема верна для регулярного случая, когда все элементы с нулевым индексом (a0,b0, а0,..) отличны от нуля и число коэффициентов Ck равно порядку полинома. Нарушение этих условий принято классифицировать как критические или особые случаи 1-го и 2-го типов [1—4].

В особом случае типа 1, как и в схеме Рауса для вещественного полинома, нулевой коэффициент (например, у0) можно заменить малой величиной s и продолжить разложение. Однако такой подход может не дать правильного решения, если оба усло-

вия регулярности нарушаются одновременно [1]. Мы предлагаем новый более радикальный метод, применимый как для вещественных, так и комплексных полиномов. Его идея заключается в смене формы разложения импеданса 2 (у ю) в цепную дробь, начиная со строки, предшествующей появлению нулевого коэффициента, и возможно на более ранней стадии. Для вещественного полинома это означает переход от 1-й формы Кауэ-ра ко 2-й, а для комплексного полинома — от формы 1А к одной из оставшихся (подходящих) форм типа Кауэра (см. рис. 1). Эта вариативность метода Кауэра становится очевидной, если учесть, что "остаточный" иммитанс на каждом шаге реализации является реактивной или квазиреактивной цепью, и для ее реализации, кроме критического, остается несколько (возможно, один) реализуемых вариантов. Обсудим этот прием в Приложении; заметим, что он применим и для табличной формулировки критерия.

2. ТАБЛИЧНЫЙ КРИТЕРИЙ ТИПА РАУСА

Оформим вычисление коэффициентов X,, Ск при разложении импеданса 2 (у ю) в цепную дробь (3) в виде табл. 1. Назовем ее таблицей типа Рауса. В первые две строки таблицы входят коэффициенты вещественной и мнимой частей полинома Н (у ю), остальные заполняются по схеме Рауса для вещественных полиномов — по правилу перекрестного перемножения. В дополнительном левом столбце рассчитываются элементы X, Ск цепи, синтезированной по форме 1А. Признаком физической реализуемости цепи (т.е. у

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Электроника. Радиотехника»