ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 461, № 2, с. 143-145
МАТЕМАТИКА
УДК 512.554.32
АЛГЕБРЫ ОПЕРАТОРОВ ЛАКСА И ГРАДУИРОВКИ НА ПОЛУПРОСТЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
© 2015 г. О. К. Шейнман
Представлено академиком РАН С.П. Новиковым 30.07.2014 г. Поступило 29.08.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215080071
Алгебры операторов Лакса (АОЛ) введены в [3]. Наиболее полное в настоящий момент изложение их теории и приложений для случая классических систем корней, а также библиография даны в [8]. В [9] построены АОЛ для особой системы корней типа 02. АОЛ относятся к почти градуированным алгебрам токов на римановых поверхностях с отмеченными точками. Как таковые они обобщают алгебры петель и аффинные алгебры Кричевера—Новикова. АОЛ тесно связаны с теорией интегрируемых систем.
В настоящей работе предлагается общая конструкция АОЛ для всех конечных неприводимых приведенных систем корней. Тем самым решена задача, поставленная автором в [9] и в более ранних работах. Новая конструкция позволяет дать единое доказательство наличия у каждой АОЛ почти градуированной структуры, центральных расширений, построить и классифицировать последние. Следует отметить, что до настоящего момента эти задачи решались для каждого типа АОЛ отдельно, а для систем корней Е4, Е6, Е7, Е8 не существовало даже конструкции АОЛ. Представляется важным, что прежний подход к АОЛ был основан на параметрах Тюрина голоморфных расслоений на римановых поверхностях, тогда как настоящий — на структурной теории полупростых алгебр Ли. Это обстоятельство указывает на возможность фундаментальной связи между этими теориями.
1. АЛГЕБРА ТОКОВ И ПОЧТИ ГРАДУИРОВАННЫЕ СТРУКТУРЫ НА НЕЙ
Пусть g — полупростая алгебра Ли над С, ^ — ее картановская подалгебра, h е ^ — такой элемент, что a;(h) е Z+ и {0} для любого простого корня а; алгебры g. Пусть gp = {X е g| (adh)X = pX} и к =
k
= max{p| gp Ф 0}. Тогда g =0 gp задает Z-градуи-
i = -k
ровку на g. За фактами о градуировках такого вида мы отсылаем к [11, Sect. 2, §3.5]. Назовем к глубиной градуировки. Очевидно, gp = 0 ga , где
a е R a(h) = p
R — система корней алгебры g. Определим также следующую фильтрацию алгебры g: gp =
gp+1 (p > -к), g_k = g-к, ..., g k = g,
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской Академии наук, Москва
Независимый московский университет E-mail: sheinman@mi.ras.ru
= © б?, б. # = -к 0Р = б,Р > к.
Пусть Е — комплексная компактная риманова поверхность с двумя множествами отмеченных точек: П и Г, X — мероморфное отображение Е ^ б, голоморфное вне отмеченных точек, которое может иметь полюса произвольного порядка в точках П, и имеет разложения следующего вида в окрестности точек у е Г:
Ь (I) = ^ , 1р 6 бр, (1)
р > -к
где г — локальная координата в окрестности у. Градуирующий элемент к может меняться от точки к точке множества Г, но ниже для простоты мы полагаем его неизменным.
Обозначим линейное пространство всех таких отображений Поскольку соотношение (1) сохраняется при коммутировании, ^ является алгеброй Ли. Мы фиксируем этот простой, но важный факт как предложение 1) нижеследующей теоремы 1. Алгебра Ли ее почти градуирован-
143
2*
ШЕЙНМАН
144
ная структура и центральные расширения составляют главную тему настоящего сообщения. Мы сохраняем название алгебры операторов Лакса за этим классом алгебр токов, чтобы подчеркнуть их преемственность по отношению к алгебрам, рассмотренным в [3, 8].
Определение 1. Если задана алгебра Ли Щ, под ее почти градуированной структурой мы понимаем систему ее конечномерных подпространств Щт, и два неотрицательных
да
целых числа R, S, таких что Щ = ф Щт, и
т = -да
т + п + S
[Щт, Щ„] с ф Щ Sнезависимы от т, п).
г = т + п - К
Почти градуированная структура на ассоциативных алгебрах и алгебрах Ли введена в [2], а для алгебр операторов Лакса — в [3]. Подход для произвольного числа точек в П для алгебр Кричеве-ра—Новикова, равно как и для алгебр операторов Лакса, развит в [5, 6]. Ниже мы следуем этому наиболее общему подходу.
Введенная выше алгебра Ли Щ допускает несколько почти градуированных структур. Каждая задается разбиением множества П в объединение двух подмножеств: П = {Р(| - = 1, 2, ..., N и {0у|] = = 1, 2, ..., М}. Следуя [4—6], для каждого т е / рассмотрим три дивизора:
N М
°Рт = -т ф Рп Бт = ф (ат + Ъщ;)Qy.,
I = 1 1 = 1
БГ = к ф у,
у е Г
где а, Ьт,, е О, а, > 0, а,т + Ьт,, — возрастающая /-значная функция от т, и существует В е 1К+, такое, что |Ьт,< В, Ут е ] = 1, 2, ..., М. Мы требуем, чтобы выполнялись соотношения
ММ
ф = N, ф V; = N + g - 1. (2)
1 = 1 I = 1
Пусть
Бт = Б'т + Б°т + Б (3)
и
Щ = {Ь е Щ(Ь) + Бт > 0}, (4)
где (Ь) — дивизор д-значной функции Ь. По поводу (Ь) уточним, что порядком мероморфной век-торнозначной функции в точке мы называем минимальный порядок ее координат.
Мы называем Щт (однородным, градуирующим) подпространством степени т алгебры Ли Щ.
Тео р ема 1.
1) Щ замкнуто относительно поточечного коммутатора [Ь, Ь'](Р) = [Ь(Р), Ь'(Р)] (Р е Е);
2) ё1тЩт = N ё1т д;
да
3) Щ = ф Щт;
т = -да
т + п + g
4) [Щт, Щи] С ф Щ .
г = т + п
Доказательство предложения 1) теоремы очевидно, как это уже отмечалось выше. За доказательством 3) и 4) мы отсылаем к [6] (где оно дано для классических алгебр, но сохраняет силу и в предположениях настоящего сообщения). Единственное, что требует особого доказательства — это предложение 2). Ввиду его простоты и важности мы наметим это доказательство здесь. По теореме Римана—Роха, с учетом соотношений (2), размерность всех д-значных отображений {Ь: (Ь) + Бт > 0} с полюсами порядка к в точках множества {Г} равна 1т = (Штд)^ + к|Г|). Условия Щ- е д^ имеют суммарную коразмерность кё1тд в каждой точке множества Г, что дает размерность (ё1тд^ для Щт. За подробными доказательствами здесь и ниже мы отсылаем к [10].
2. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
В этом разделе мы строим почти градуированные центральные расширения алгебры Ли Щ. Мы называем центральное расширение почти градуированным, если оно наследует от исходной алгебры почти градуированную структуру при условии, что центру присвоена степень 0.
Почти градуированные центральные расширения задаются локальными коциклами. Напомним [2, 3, 6—8], что 2-коцикл п на Щ называется локальным, если ЗМ е /+, такое, что для любых т, и е |т + и| > М, и любых Ь е Щт, Ь' е Щп мы имеем п(Ь, Ь') = 0.
Те о р е ма 2.
1) Для любых Ь, Ь' е Щ 1-форма (Ь, (^ — аёю)Ь') голоморфна за исключением точек из П, где ю — это д0-значная 1-форма на Е, имеющая разложение вида
ю( г) = + ю0 + .. йг
в любой точке у е Г, где Н е ^ — элемент, задающий градуировку на д в точке у;
2) для любой инвариантной квадратичной формы (■, ■) на д выражение
N
П(Ь, Ь) = фгевР.(Ь, (й- аёю)Ь')
г = 1
дает локальный коцикл на Щ;
АЛГЕБРЫ ОПЕРАТОРОВ ЛАКСА И ГРАДУИРОВКИ
3) с точностью до эквивалентности почти градуированные центральные расширения ^ находятся во взаимно-однозначном соответствии с инвариантными квадратичными формами на д. В частности, если д проста, то ее центральное расширение единственно (в классе почти градуированных центральных расширений) с точностью до эквивалентности и нормировки центральной образующей.
Замечание. Поскольку аё ю является внутренним дифференцированием алгебры Ли д, часть {Ь, (аёю)Ь') коцикла п является кограницей. Таким образом, согласно утверждению 2) теоремы 2 стандартный коцикл {Ь, йЬ') локален с точностью до кограницы.
3. СВЯЗЬ С ПАРАМЕТРАМИ ТЮРИНА
В случае, когда д — классическая алгебра Ли или д = 02, в рамках настоящей конструкции могут быть получены возникшие ранее [1, 3, 8, 9] локальные представления элементов АОЛ через параметры Тюрина. Мы даем здесь простейший пример такого рода, д = §!(«), отсылая за остальными к [10]. Рассмотрим градуировку, заданную простым корнем а1. Соответствующий элемент к е ^ задан условиями а1(к) = 1, аДк) = 0 (/ Ф 1), а градуировка в матричной модели изображена на рис. 1. Матрицы, соответствующие подпространству д-1, могут быть представлены в виде арт, где ат = (1, 0, ..., 0), а р е С" произвольно. Такие матрицы принадлежат §!(«), если рта = 0. Элемент Ь0 е д принадлежит подпространству д0 = д-1 © д0 фильтрации тогда и только тогда, когда а — его собственный вектор. Таким образом, мы получаем следующее разложение в у-точках для операторов Лакса, соответствующих §!(«) [1, 3, 8]:
Ь (I) = арт I'1 + Ь0 + ...,
где рта = 0, и Ь0а = ка (для некоторого к е С). За счет внутренних автоморфизмов а может быть сделано произвольным.
Автор глубоко благодарен Э.Б. Винбергу, обсуждения с которым сделали возможным появле-
145
О 9-1 9о 191
Рис. 1.
ние этой работы. Именно он указал на связь между локальным поведением элементов алгебр операторов Лакса и градуировками полупростых алгебр Ли.
Работа частично поддержана грантом РФФИ 13-01-12469_офи-м2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Krichever I.M. // Comm. Math. Phys. 2002. V. 229. P. 229-269.
2. Кричевер И.М., Новиков С.П. // Функцион. анализ и его прил. 1987. Т. 21. № 2. С. 46-63.
3. Кричевер И.М., Шейнман О.К. // Функцион. анализ и его прил. 2007. Т. 41. № 4. С. 46-49. Math.RT/0701648.
4. Schlichenmaier M. // Lett. Math. Phys. 1990. V 19. P. 151-165.
5. Schlichenmaier M. // Lett. Math. Phys. 1990. V 19. P. 327-336.
6. Шлихенмайер М. // Мат. сб. 2014. Т. 205. № 5. С. 117-160. ArXiv:1304.3902.
7. Шлихенмайер М., Шейнман О.К. // УМН. 2008. T. 63. № 4(382). С. 131-172. ArXiv:0711.4688.
8. Sheinman O.K. Current Algebras on Riemann Surfaces.
B.: Walter de Gruyter, 2012. 150 p.
9. Шейнман О.К. // ДАН. 2014. Т. 455. № 1. С. 23-25.
10. Sheinman O.K. ArXiv: 1406.5017.
11. Винберг Э.Б., Горбацевич В.В., Онищик А.Л. В сб.: Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1990. Т. 41.
C. 5-258.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.