ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 455, № 1, с. 23-25
МАТЕМАТИКА
УДК 512.554.32
АЛГЕБРЫ ОПЕРАТОРОВ ЛАКСА ТИПА в2 © 2014 г. О. К. Шейнман
Представлено академиком С.П. Новиковым 17.07.2013 г.
Поступило 15.08.2013 г.
БОТ: 10.7868/80869565214070056
Алгебры операторов Лакса (АОЛ) введены в [4]. Наиболее полное в настоящий момент изложение их теории и библиография даны в [8].
АОЛ относятся к почти градуированным алгебрам токов на римановых поверхностях с отмеченными точками. Как таковые, они обобщают алгебры петель и аффинные алгебры Кричевера— Новикова. АОЛ тесно связаны с теорией интегрируемых систем.
До сего момента АОЛ были построены только для классических простых и некоторых редуктив-ных алгебр Ли над С. В настоящей работе они строятся для исключительной простой алгебры Ли 62. Мы также строим почти градуированную структуру и центральные расширения на полученных алгебрах токов и доказываем для них теорему единственности. За доказательствами и подробностями мы отсылаем к [9]. Хотелось бы подчеркнуть, что хотя для различных простых алгебр Ли аналогия между результатами (и их доказательствами) очевидна, не существует никакого общего доказательства, и даже неясно, почему оно могло бы существовать (подробнее см. в конце). Важная задача — прояснить этот вопрос.
1. АЛГЕБРЫ ОПЕРАТОРОВ ЛАКСА ТИПА 62
Согласно [10] д = 62 может быть представлена
как алгебра Ли матриц 7 х 7 вида
А =
0 -42 а 42 а 1 А 42а2 [а1 ]
-42 а ^
[ а 2 ]
л
(1)
где аъ а2 е С3 — вектор-столбцы, Т — обозначает транспонирование, А — бесследовая матрица 3 х 3. Для х е С3, хТ = (хь х2, х3), через [х] мы обозначаем
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской Академии наук, Москва Независимый московский университет
соответствующую кососимметрическую матрицу 3 х 3:
[х ] =
0 х3 -х -х3 0 х 1 V х2 -х1 0 )
Пусть 2 — риманова поверхность рода g с отмеченными точками Р1, Р2, ..., Рм, ¿1, 02, ..., ¿м, уь 72, •••, 7к, и пусть каждой точке у соответствует 7-
мерный вектор а = (0, аТ, аТ), где аь а2 е С3 — вектор-столбцы (рис. 1). Следуя [1, 4, 8], рассмотрим 62-значную функцию Ь на 2, голоморфную вне Р1, Р2, ..., Рм, ¿1, 02, •••, Ом и Ух, 72,..., 7к, и имеющую не более чем двойные полюса в точках последнего множества. Предположим, что в каждой у-точке Ь допускает разложение вида
I 2 I
I (I) = —2 + —1 +10 +11 г +12z + ...,
(2)
где г — локальная координата в окрестности у, с центром в у.
Пусть а!, а2 е С3 фиксированы, рь в2 е С3 и Р01, Р02 е С — переменные, удовлетворяющие соотношениям ортогональности
а 1 в 2 = 0,
а2 в 1 = 0, а! а2 = 0.
(3)
Рис. 1. Риманова поверхность и данные Тюрина.
г
24
ШЕЙНМАН
В (2) возьмем Ь0 в виде (1), где
а2 = 0, а^ а1 = 0, Ла1 = к а!,
-Л а2 = к2 а2. Эти условия мы называем условиями на собственные значения.
Возьмем в (2) вычет Ь в виде
L-i =
о -J2 рог aT -72 р
72poiai ai pi - piа^
72 Рог аг Poi [ai ]
и коэффициент при z 2 в виде
(
L-2 = И
о о
T
о aia2
о1 ai Ро2^2 ] a2PT - p2aT
С.
(5)
(6)
v о о -a2a! J
N
Теорема 1. Пространство д-значных меро-морфных функций, голоморфных вне Р1, Р2, ..., Р б1, 02, • •, бм, У1, У2, .••, Ук, допускающих разложения
вида (2) в у-точках и удовлетворяющих в них соот-
т
ношениям (3)—(6), а также соотношению а2 Ва1 = 0, является алгеброй Ли по отношению к поточечному матричному коммутатору (В играет ту же роль
для Ь1, что А для Л в (1)).
2. ПОЧТИ ГРАДУИРОВАННАЯ СТРУКТУРА
Почти градуированная структура на ассоциативных алгебрах и алгебрах Ли введена в [2], а для алгебр операторов Лакса — в [4]. Подход для произвольного числа входящих и исходящих точек для алгебр Кричевера—Новикова, равно как и для алгебр операторов Лакса, развит в [5, 6]. Ниже мы следуем этому наиболее общему подходу.
Для произвольного т е / рассмотрим дивизор
N М К
Бт = - т £ Р, + £ (ар + Ъщ])+ 2 £ у,, (7)
I = 1 1 = 1 , = 1
где а, Ьт,, е О, а, > 0, а,т + Ьт,, — возрастающая /-значная функция т, и существует В е 1К+, такое что |Ьт,< В, Ут е ] = 1, 2, ..., М. Потребуем, чтобы
м
м
X a = N, X= N+g -1.
(8)
1 = 1 I =1
Определим в Щ однородное подпространство степени т:
Щ = {Ь е Щ(Ь) + Вт > 0}, (9)
где (Ь) — дивизор б^-значной функции Ь. Поясним, что порядком мероморфной матрично-значной
функции в точке мы называем минимум порядков ее матричных элементов.
Тео р е ма 2. 1. dimXm = (dimQ)N.
от k + i+g
2. X = © X , и [Xb X,] с © X„.
m = m = k + I
Теорема 2 определяет почти градуированную структуру на X.
3. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Напомним [2, 4, 8], что 2-коцикл у на X называется локальным, если 3M е Z+ такое, что для любых m, n е Z, удовлетворяющих условию |m + n| > M, и любых L е Xm, L е Xn выполняется y(L, L') = 0.
Пусть ю — это g-значная 1-форма, допускающая разложения следующего вида в у-точках:
~ dz ~ ~ ю = L-i— + Lo dz + Li zdz + ..., z
где Li — того же вида, что и Li (i = —1, 0, 1) (соответствующие элементы этих матриц обозначаются одинаково, но для первой из них — с "тильдой"), и
aTp2 = 1, a^pi = 1, aT p2 = о, aY1a1 = о, A a1 = Kp1a1,
pT
-A a2 = к2 a2, Tp
a2 Ba1 = о.
Теорема 3. 1. Для любых L, L е X 1-форма tr(LdL' — ю^, L']) голоморфна за исключением P- и Q-точек.
N
I является
2. у(Ь, Ь') = £гер\х(ЫЬ' — ю[Ь, Ь'])
г = 1
локальным коциклом на Щ.
3. Почти градуированное центральное расширение алгебры Щ, задаваемое коциклом у, единственно с точностью до эквивалентности и нормировки центрального элемента.
4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Алгебра 02 — второй пример простой алгебры Ли, для которой элементы соответствующей алгебры операторов Лакса имеют двойные полюса в у-точках. Первым была алгебра д = §р(2п) [4, 8].
В случае §р(2п) имеется и аналог соотношения
т
а2 Ва1 = 0 теоремы 1. Причина различного аналитического поведения элементов алгебр операторов Лакса непонятна. Оно не определяется графом Дынкина алгебры д. В самом деле, Вп и Сп имеют одинаковые графы Дынкина, но различные порядки в у-точках.
АЛГЕБРЫ ОПЕРАТОРОВ ЛАКСА
25
Мы не затрагивали здесь связи между алгебрами операторов Лакса для 02 и интегрируемыми системами, которая несомненно существует. Для классических алгебр Ли имеется двойственность между а и в, У и к: они являются двойственными каноническими переменными симплектической формы Кричевера—Фонга [1, 3, 8]. Для д = 02 эта двойственность разрушается: есть две переменные во1, в02 вместо одной, которая должна быть двойственна к а0, и две переменных к1, к2, которые должны быть двойственны к у. Мы предполагаем, что симплектическая структура Кричевера— Фонга в данном случае должна определяться на подмногообразии к1 = к2, в01 = в02. Тогда двойственность между а и в, у и к восстановится.
Автор благодарен Н.А. Вавилову и М. Шли-хенмайеру (М. $сЫ1сИепта1ег) за их интерес, послуживший дополнительным стимулом к работе, и И.М. Парамоновой (Щепочкиной) за обсуждение.
Работа частично поддержана грантом РФФИ 11—01—00197-а и программой "Фундаментальные проблемы нелинейной динамики" Президиума РАН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Krichever I.M. // Commun. Math. Phys. 2002.V. 229. P. 229-269.
2. КричеверИ.М., Новиков С.П. // Функц. анализ и его прил. 1987. Т. 21. № 2. С. 46-63.
3. Krichever I.M., Phong D.H. In: Surveys in Differential Geometry IV. L.: Intern. press, 1998. P. 239-313.
4. Кричевер И.М., Шейнман О.К. // Функцион. анализ и прил. 2007. Т. 41. № 4. С. 46-59.
5. Schlichenmaier M. // Lett. Math. Phys. 1990. V 19. P. 327-336.
6. Schlichenmaier M. Multipoint Lax operator algebras: almost graded structure and central extensions. ArXiv:1304.3902.
7. Schlichenmaier M., Sheinman O.K. // Russ. Math. Surv. 2008. V. 63. № 4. P. 131-172. ArXiv:0711.4688.
8. Sheinman O.K. Current algebras on Riemann surfaces. B.; Boston: Walter de Gruyter, 2012. V. 58. 150 p.
9. Sheinman O.K. Lax Operator Algebras of Type G2. arX-iv: 1304.2510.
10. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. М.: Наука, 1983. 360 с.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.