Автоматика и телемеханика, № 4, 2015
Системный анализ и исследование
операций
( 2015 г. Ф.А. АЛИЕВ, акад. НАН Азербайджана (f_aliev@yahoo.com), Н.А. ИСМАЙЛОВ, канд. физ.-мат. наук (inao212@rambler.ru) (Институт прикладной математики Бакинского государственного университета), Н.С. МУХТАРОВА (nazile.m@mail.ru) (Институт кибернетики Национальной академии наук Азербайджана, Баку)
АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ С ГРАНИЧНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ1
Рассматривается задача оптимального управления, когда за управляющее воздействие принимается начальное условие (граничное управление), а движение объекта описывается нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением, где внутри интервала определения фазовых координат имеется разрыв, а оптимизируемый квадратичный функционал состоит также из суммы квадратов начальных и конечных условий с соответствующими отрицательными и положительными весовыми матрицами. Приводится алгоритм для решения данной задачи оптимизации с граничным управляющим воздействием, базирующийся на соответствующих уравнениях Эйлера-Лагранжа. На основе конкретного примера из практики (нефтяной индустрии) для получения максимального дебита газлифтных скважин (при наименьшей подаче газа на устья скважины) предлагается вычислительный алгоритм. Такой подход обеспечивает с достаточно высокой скоростью получение максимальной подачи пласта. Приводится вычислительный эксперимент, подтверждающий адекватность предложенной математической модели.
1. Введение
В начальном периоде после фонтанной эксплуатации нефтяных месторождений особую роль играет газлифтный метод [1], так как этот метод позволяет добывать нефть при истощении пласта, при котором происходит потеря пластовой энергии [2, 3]. Как известно [1], движение в газлифтном процессе описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа. Поэтому особый интерес при эксплуатации скважины газлифтным способом представляет задача оптимизации с граничным управлением [4]. Однако при решении задачи оптимального управления в исходной постановке возникают трудности [5]. Здесь приводятся усреднения гиперболического уравнения, описывающее движение газлифтным способом по времени [1, 5], который приводит уравнение в частных производных к
1 Работа поддержана совместным грантом Национальной академии наук Азербайджана и Государственной нефтяной компанией Азербайджанской Республики № 17, 2013-2015 г.
4 Автоматика и телемеханика, № 4
97
нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Стратегия построения целевого квадратичного функционала с помощью весовых коэффициентов заключается в том, чтобы объем закачиваемого газа в кольцевом пространстве был бы минимальным, а желаемый объем добычи газожидкостной смеси (ГЖС) в конце подъемника был бы максимальным [6-8]. В этом случае цель сводится к решению соответствующей задачи оптимизации, где в качестве управляющего воздействия выступает объем закачиваемого газа, который берется как начальные данные.
Такой подход имеет недостатки [9], связанные с невозможностью использовать стандартные методы для построения соответствующих регуляторов [10]. Но так как в некоторых промежутки времени [5, 11] граничное управление является постоянным, то в этом случае полученные численные результаты легко могут сопоставляться с промысловыми данными.
Предложенные в [1] уравнения движения газа и ГЖС в частных производных с помощью метода усреднения по времени приводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Исходя из изложенных выше соображений формулируется задача оптимального граничного управления, где функционал выбирается квадратичным. Полученные результаты можно использовать в управлении газлифтной скважиной при добыче нефти. Описывая соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа модифицируется градиентный метод [6] для решения рассматриваемой задачи граничных управлений. Результаты иллюстрируются на примере из практики (нефтяной индустрии Азербайджана) при добыче нефти газлифтным способом. На основе проведенных вычислительных процедур в конце приводятся числовые результаты, которые подтверждают адекватность математической модели. При анализе математической модели становится ясно, что дебит составляет 44 % от объема ГЖС в начале подъемника, т.е. достаточно много смеси, полученной из пласта, теряется при движении в подъемнике.
2. Постановка задачи
Пусть движение объекта описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений [1, 4, 5]
(1) (У = ¡1 (у(х)), у(0) = и, 0 < х < I - 0, () I У = ¡2(у(х)), I + 0 < х < 21,
и конечно-разностным уравнением в точке разрыва I:
(2) У(1 + 0)= 7у(1 - 0)+ 71 (У(I - 0))у,
где у — п-мерный вектор, определяющий координаты объекта, и - неизвестные начальные условия размерности п (управление), у - скалярное внешнее возмущение размерности п, 7 - постоянная матрица размерности п х п, 71(у(1 — 0)) — п - мерный вектор.
Требуется найти такое управление и, которое удовлетворяет (1), (2) и доставляет квадратичному функционалу
21
(3)
3 = -у'(21)Яу(21) +
у'(х)К(х)у(х)^х + и'ви
экстремальное значение, где К < 0, в > 0 - симметричные матрицы размерности п х п, К(х) - п х п-мерная матрица, элементы которой непрерывны по х в требуемом интервале.
3. Уравнение Эйлера-Лагранжа
В отличие от [6, 7], в задачу оптимизации (1)-(3) управление входит только как начальное условие и отсутствует в самом уравнении (1). Предположим, что здесь удовлетворяются все условия для существования и единственности решения задачи (1)-(2). Используя результаты [6, 7], составим соответствующий расширенный функционал и запишем уравнение Эйлера-Лагранжа в следующем виде:
(4)
А = -
д/(у) ду
А - 2у(х)К(х).
Краевые условия в этом случае для сопряженной переменной А(х) [6, 7] представляются в виде
(5)
А(21) = Ку(21),
А(1 - 0) = 7А(1 + 0) + д 7
— = 2/Зи + А(0) = 0. ди
дцЩ-О))
ду{1 - 0)
А(1 + 0)у,
Объединяя уравнения (1) и (4) , для нахождения у(х), А(х) имеем следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений:
у = / (У)>
(6)
с краевыми условиями
(7)
А = -
дПу) д/
А - 2у(х)К(х)
/(0) = и,
А(21) = Ку(21).
В точке 1 связи между векторами у(1 + 0), у(1 — 0), А(1 + 0), А(1 — 0) определяются следующими разностными уравнениями [7, 12]
у(1 + 0) = 7у(1 - 0)+ 71 (у(1 - 0))у,
(8)
А(1 - 0) = 7А(1 + 0) +
дцЩ-О))
ду{1 - 0)
А(1 + 0)//.
99
:
4
Существуют разные алгоритмы для решения задачи (6)-(8): метод квазилинеаризации [6, 13], градиентный алгоритм [6] и др. Отметим, что решая первое уравнение (6) с заданным условием у(0) = и, из (7) можем определить значение А(21). С учетом этого решения из системы дифференциальных уравнений (6) с конечными условиями у(21), А(21) можно полностью определять у(х), А(х). Естественно, что оптимальным значением будет то, которое удовлетворяет последнему соотношению (5). Для этого можно использовать градиентный метод [6], который выглядит следующим образом. Алгоритм вычисления.
Шаг 1. Выбирая начальное приближение ик, решаем первое уравнение (6) и находим ук(х) на интервале 0 ^ х < I — 0, где к - номер шага итерации (в первой итерации к = 0).
Шаг 2. Из первого уравнения (6) находятся ук(х) на интервале 1+0 < х ^ < 21, где
ук(I + 0)= 7ук(I - 0)+ 71 (ук(I - 0))у.
Шаг 3. При граничных условиях Ак(21) = _Йук(21) из второго уравнения (6) находятся Ак(х) на интервале I + 0 < х ^ 21.
Шаг 4. При условиях (8)
Лк(/- 0) = + 0) + + 0)5
из второго уравнения (6) находятся Ак(х) на интервале 0 ^ х ^ I - 0. Шаг 5. Проверяется условие
3 '(ик) =2вик + Ак (0).
Если оно удовлетворяется с заданной точностью, то вычисления прекраща-к
ются, и найденное ик следует принимать как оптимальное значение, иначе принимая ик+1 = ик + г>к3'(ик), переходим к шагу 1, где ^ определяется методом одномерного поиска [6, 9] (метод золотого сечения).
4. Пример
Изложенный алгоритм апробируем на примере процесса газлифта [1, 4]. Известно, что неустановившееся движение газа в кольцевом пространстве и ГЖС в вертикальных трубах, т.е. в подъемнике газлифтной скважины (см. рис. 1) с постоянным поперечным сечением, описывается следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [1, 3]:
= ^^ + 2аршс,
О) , ,
дх '
х = 0
Газ
х = lg
х = l
ГЖС
х = 21
Рис. 1.
где Р = Р(х,£), = ше(х,£) - соответственно избыточное давление над ее стационарным значением и усредненная по сечению скорость движения смеси; х - соответственно время и координата; с - скорость звука в газе и ГЖС, р - плотность газа, нефти и ГЖС в зависимости от координаты. В подъемнике она определяется выражением р = а1рж + а2рг + а3рп, в котором число слагаемых равно количеству компонентов в смеси, а а1, а2, а3 и рж, рг, рп -насыщенность и плотность жидкости соответственно газовой и твердой фаз.
2а
_ JL
шс
+
Acwc
2D , где д, Ас - ускорение свободного падения и гидравлическое сопротивление; D - внутренний эффективный диаметр подъемника и кольцевого пространства.
Рассмотрим некоторые приближенные модели неустановившегося движения вязкой ГЖС в вертикальных трубах постоянного поперечного сечения. Предположим, что давление на торце x = 0 поддерживается постоянной p = = p0H(t), где H(t) - функция Хевисайда. Тогда за фронтом звуковой волны на каждом сечении трубы устанавливается равномерный режим движения, т.е. можно предполагать, что усредненная по сечению насосно-компрессорной трубы (НКТ) скорость движения смеси wc будет зависеть только от координаты x и не будет зависеть от времени t. Можно полагать wcdt ~ d(wct) = dx и систему (9) привести к виду
Q =
(10)
р = -
2apFQ'2 c2p2F2 — Q2' 2 ac2p2FQ c2p2F2 - Q2'
Q(0) = uo, P (0) = Po,
где поправка Кориолиса пропущена из за малости, с >> и, кроме Q = = , все величины считаются постоянными. Близость решения системы (10) к решениям других моделей было показано в [5]. Систему (9) для газа и жидкости будем отличать только значениями параметров а, р, с. Поскольку знаменатели уравнений (10) не обращаются в нуль и первое уравнение системы отделено от второго, то ее можно решать методом разделения переменных.
6(2/) 4,4275
4,4270
4,4265
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.