ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 2, с. 57-64
== ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
УДК 621.391
АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНОЙ ПОМЕХЕ
© 2007 г. Ю. Г. Булычев, А. В. Елисеев
Ростов-на-Дону, Ростовский военный ин-т ракетных войск Поступила в редакцию 12.05.06 г., после доработки 03.08.06 г.
Решена задача обработки измерений, содержащих динамические помехи наблюдения. Полученный метод обладает свойством инвариантности к кусочно-непрерывным помехам детерминированной структуры с неизвестными параметрами. Метод не требует расширения пространства состояния и обеспечивает повышение оперативности решения задачи оценивания. Приведен иллюстративный пример, подтверждающий эффективность метода.
Введение. Известно, что в настоящее время для решения задач оценивания и идентификации параметров случайного процесса часто используются алгоритмы на основе метода наименьших квадратов (МНК) [1-3]. Наиболее простые технические решения имеют алгоритмы линейного оценивания, которые широко применяются на практике, например, в многоканальной аппаратуре потребителей спутниковой навигационной системы (АП СНС) GPS/ГЛOНACC [1, 2], в информационно-измерительных комплексах полигонов и космодромов, предназначенных для испытания летательных аппаратов (ЛА) различного назначения.
Данные алгоритмы эффективны, когда в канале измерения присутствует только флуктуационная ошибка. Однако реальные измерения могут сопровождаться и другими типами ошибок, например динамическими ошибками с известной структурой их математической модели и неизвестными параметрами (сингулярные ошибки) [3-7]. Еще более сложной является задача оценивания при наличии в измерениях ошибок, подобных описанным выше, но со случайной сменой структур, принадлежащих некоторому априорно заданному множеству.
Пример источника возникновения таких ошибок - измерительный комплекс полигона, содержащий разнородные измерители параметров движения с различными тактико-техническими характеристиками. Другим примером служит бортовой навигационный комплекс (БНК) ЛА, построенный на основе комплексирования разнородных измерителей. В этом случае БНК представляет собой сложный объект, структура которого может меняться в зависимости от помеховой обстановки и режимов полета ЛА [8], что приводит к изменению структуры сингулярной помехи. Погрешности подобного рода возникают и при работе АП СНС в случае пе-
рехода от оптимального созвездия навигационных космических аппаратов к неоптимальному [2].
В [3-6] рассмотрены алгоритмы обработки измерений, содержащих сингулярные ошибки. Однако следует отметить, что применение в этом случае расширенного МНК [3, 6] приводит к значительному увеличению размерности задачи, пропорциональному количеству структур помехи, и эффекту "размазывания" точности. Применение алгоритмов, описанных в [4-5], целесообразно в случае, когда структура помехи не меняется в течение сеанса измерения.
Таким образом, задача синтеза метода обработки измерений, содержащих динамические помехи наблюдения с известной структурой, но неизвестными параметрами, является актуальной. Пример помех такого рода - кусочно-непрерывные помехи, описываемые на интервалах непрерывности произвольными обобщенными многочленами со случайными коэффициентами. Именно развитию метода обработки измерений с указанными помехами и посвящена работа.
1. Постановка задачи. Пусть на отрезке [?0, Т наблюдается скалярная смесь у(1)(?) е Wy полезного сигнала х(?) е Wx, кусочно-непрерывной помехи е Wh (соответствующей 1-му неизвестному варианту построения, I е 1, В) и флуктуацион-ного шума "%(?) е
(I) =
Уп Хп
где уП1) = у®(г„), хп = х(1п), ЪП = Ш\1п), ^ = 1п е е [?0,Т с R1, = Т, Wy,Wx, Wh и - линейные подпространства одного и того же линейного пространства W.
■Л').
п = 0, Ы, I е 1, В, (1.1)
Сигнал хф задается в конечно-аналитическом виде
х (X) = Лт ч (X) = / (X)Л, (1.2)
где А = [а, } = 1, Мх ]т - вектор неизвестных коэффициентов, q(t) = [дДО,} = 1, Мх ]т - вектор линейно независимых функций (базис сигнала).
Помеха имеет на отрезке Т конечное число фиксированных точек разрыва первого рода и на i-м интервале непрерывности [ X* 1; I* ) описывается следующим образом:
А о = [Вй)]т 0(У( X) = [0Й)( г )]тв№),
' е 1, Ь, Iг е 1, О,
Х0 X0'
X* = х = т
1Ь 1 ■>
ч(У,
где 0 ' (X) = [0р (X), р = 1, МИ,] - /гй базис помехи, принадлежащий возможному множеству базисов {0(я)(X)}О =1, т. е. 0(''\X) = {0(я)(X)}О =1,
А)
И(1\ X) = ¿[8( X - X*-!) - 8( X - X 0 )][0Й)( X )]т
' = 1
3)
X е [Xo, т],
тематическим ожиданием и соответствующей корреляционной матрицей Кн (где Е = п = 0, М]Т). Введем над сигналом x(t) е (t е Т]) линей-
Мг
ный ограниченный оператор Z: —► Я , такой,
что 2{хО)} = [СМШ, г = Щ ]т = г = Щ ]т, где е Л1, т. е. рассматривается линейный оператор со значениями в вещественном пространстве
Мг
Я . Поставим задачу оптимального (в средне-квадратическом смысле) оценивания значений
данного оператора на основе выборки {уПг)} 1 = 0. Другими словами, требуется найти оптимальный ли-
нейный ограниченный оператор 2: Я
N + 1 __ ,
такой, что его значения 2{у0'\у(/), ...,уМ'} близки к значениям 2{х^)} исходного оператора —«-
Мг
—► Я . При этом потребуем, чтобы оператор
0
2{^} был инвариантен к помехе типа (1.3), т. е.
0 {к
}= [0]Мсх 1, / е 1, О, где [0]м?х 1
В ' = [ Ър' ,р = 1, Мк] ] - вектор неизвестных коэффициентов, /, е 1, О.
На всем отрезке наблюдения Т помеха задается выражением
<0 , «1 , ..., "щ
нулевой вектор-столбец размерности М^ х 1.
2. Решение задачи. Для дальнейшего изложения введем следующие обозначения:
(,) у0 х0 т Л Ч (X 0)
у(,) = у1 , X = х1 = Лтд (X1)
(,) _Ум_ Хы т Л ч (XI)
где / е 1, О ф = ЬС) - номер варианта построения
кусочно-непрерывной помехи И®©, соответствующей Ь интервалам непрерывности и G возможным базисам, - т) = 1 при t > т; 5(t - т) = 0 при t < т. Полагается, что точки разрыва X0 известны заранее или определяются с помощью критериев и процедур оптимального обнаружения. Флуктуационный шум
характеризуется в точках {Xn }1щ = 0 нулевым ма-
И{1) =
И')
Кроме того, используем набор матриц, соответствующих всем возможным вариантам построения помехи
0( =
[0№)]щ хМ, : [0]
N х Мк
[0]щ2хм^ : [0(^2)]щ2хМи2
[ 0 ] N, х М„
[ 0 ] М1 х М„
■ : [ 0 ] М1 х МИ
: [ 0 ]
М2 хМ„,
: [0 ]м,хм„
(2.1)
И
0
N
где
Mh^ = £ мк
Непосредственно из (2.7) вытекает следующее условие несмещенности оценки (эквивалентное (2.5))
i = 1
Z{qT(t)} -P[d)Q = [0Цхм.
(2.8)
л( d)
ч( di)
©' = [еv/ (у, j = o, N -i, ^ = i, Mhi ],
^ Г ^ T N
t„ e{ ^ }« = <
t*-1 < tij < t*
i 1 > L 5 ti0 t!-l5
tL0 t
где г{/(?)} = [^(Ш, Г = 1,М^, у = 1,Мх], [ 0 ]М(.хм - нулевая матрица размером М^ х Мх. Аналогично замечая, что Н(й) = 0(й)В(й), получаем
L-1:
t", nl-1 = t* = tN = T, N = N +1,
Z<d){ H^d)} = Z(d){Q(d).B(d)} = pj-d)Q(d) ,B(d) =
= [ 0]
(2.9)
lMz х 1 •
X N = N +1, Д™ = [ , р =1, МЬ] ].
i = 1
С учетом данных обозначений вместо (1.1) можно воспользоваться векторным представлением
Используя (2.6) и (2.9), приходим к условию инвариантности
P?Q(d) = [ 0 Цх м„г.
(2.10)
Y(l) = X + H(l)-
H
(l)
Е е R
l е 1, D, Y
,N + 1
(l)
X,
(2.2)
В дальнейшем полагаем, что системы уравнений (2.8), (2.10) совместны, а расширенная матрица О. • 0(й)] имеет ранг Мх + Мъ < N + 1.
Сформируем теперь набор линейных операторе '
Задача нахождения матрицы Р' решается ме
ров = Р^), зависящих от параметра й е 1, В, тодом условной оптимизации Лагранжа, при этом
ищется минимум следа матрицы (2.4) с учетом ограничений (2.8) и (2.10). Несложный анализ показыва-~Я (2.3) ет, что сформулированная задача распадается на М^
таких, что
2('){ у (')} = р ' у (')
Z(d). rN +1
где Р^ = [рУ''п, г = 1, М^, п = 0, N] - матрица неизвестных коэффициентов, Zd){Y®} = [, г =
= 1, М^ ]Т, ^Г') е R1. Формула (2.3) задает D оценок Z(d){Y©} значений Z{x(í)} исходного оператора Z{•}, при этом в силу линейности задачи корреляционные матрицы этих оценок находятся по правилу [3]
подзадач вида
min [cdf = mm[P{df Kpd,
P(d) P(d)
U q (t)} - QTP({r = [ 0 Ц х 1,
[0(d)]Tp(dr) = [0м х 1,
(2.11)
Kd) = PZd)Ks[Pff, d = 1, D.
>(d)
(2.4)
r = 1, M%,
При выборе матриц Р^ потребуем выполнения следующих условий:
где = [Р^-П, п = 0, N]т - г-й столбец матрицы
>( d)
[P[d) ]T, Zr{q(t)} = [Uq/Ш, j = 1, Mx ] = [Zrj, j
1) минимизация следа Ц-(К') = ^ ^г?] (где = 1, Мх ]т, £Г/ е R1, Г = 1, Мс.
г = 1
'Ь2 И 'К
] - диагональные члены матрицы К£ );
2) несмещенность оценок значений оператора
?.
С учетом (2.11) условная оптимизация сводится к нахождению минимума следующей функции:
F( PZdr',yrd),nrd)) = [ Pzdr)]T Ks P*d +
Z(d){X} - Z{x(t)} = [0]m
= 1TD; (2.5) + [yrd)r[©wYP{C> + (Zr{qT(t)}- ]TQ)n
(d) -i Tn (d) ,
j( d) l
,(d)
3) инвариантность оператора Z(d){•} к помехе Н(й) в которой у(') = [у('), р = 1, Мй ]т и = [П
(d)
j =
Z(d){ H(d)} = [ 0 ] mz х 1,
= 1, D;
(2.6) = 1, Мх ]т - векторные множители Лагранжа.
Если принять во внимание, что X = QA, где Q =
= [?/0, п = 0, N,у = 1, Мх ], то с учетом (1.2), (2.3) и (2.5) имеем
Опуская несложные, но достаточно громоздкие выкладки, получаем следующее решение:
Р(' = (бт )-1 Сг { д (X)}, (2.12)
Z(d){ X} = Z { x (t)} = Z { qT (t) A } = P(d )X = = P[d) QA.
(2.7) гДе ^ed) = En + x - Г^[Ф^^]-1[^^]T, EN + x - единич
(d^( d)-,(d)-.T
ная матрица размером (N + 1) х (N + 1), Ф^ = ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ < 2 2007
L
L
= [0(й)]ТК^0(й), Ге = Ке1 й), Г0° = КЕ10(й). Соот-
о( й)
ветственно для матрицы р линейного оператора с учетом (2.12) имеем
р(й) = [^0Оге( 6^0% )-12{ ч (X )}]Т, (2.13)
где
Z{q(t)} = [Z{q (t)}] = [Zr{q(t)}, r = 1,M?] =
= [Сг{Ч(X)}, ] = 1, Мх, г = 1, М?].
Для решения вопроса оценки структуры помехи
(т. е. определения оптимального номера d* е 1, О структуры реализации помехи в уравнении наблюдения (1.1)) введем два дополнительных оператора ZX{•} и ZH{•}. Первый оператор : хф —- Xставит в соответствие непрерывному процессу х(Х), заданному на отрезке Т], его дискретный аналог X =
= [хп, п = 0, N ]Т. В данном случае
2Х{ ЧТ (X)} = в, (2.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.