УДК 536.521.62-533.65
АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ОБЪЕКТА С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ЕГО ИЗЛУЧАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТИ
А. В. Фрунзе
Предложен новый алгоритм определения действительной температуры объекта по измеренной пирометром его яркостной или радиационной температуре с учетом температурной зависимости его излучательной способности. Связь, полученная между действительной температурой и яркостной (или радиационной), и скорректированная по излучательной способности объекта, используется далее для нахождения действительной температуры объекта, при этом температурная зависимость излуча-тельной способности оказывается учтенной.
Ключевые слова: пирометры, температура, излучательная способность, коэффициент излучения, зависимость излучательной способности от температуры, зависимость коэффициента излучения от температуры, яркостная температура, радиационная температура.
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, на измерение температуры объектов энергетическими пирометрами существенное влияние оказывает излучательная способность измеряемого объекта. Излучательная способность реальных объектов всегда меньше 1, поэтому при измерениях энергетическими пирометрами результаты оказываются всегда заниженными. Для компенсации этого занижения в пирометр вводят коэффициент излучения (коэффициент черноты, коэффициент серости, корректирующий коэффициент и т. п.), т. е. коэффициент, связанный с излучательной способностью измеряемого объекта. Используя его, пирометр определяет действительную температуру по измеренной яркостной или радиационной.
Однако коэффициент излучения не является константой для большинства реальных объектов. Он зависит не только от материала объекта и состояния его поверхности, но и от спектрального диапазона пирометра и температуры объекта. Поэтому рекомендации производителей пирометров, сводящиеся к подбору этого коэффициента при какой-либо температуре и к дальнейшему использованию его при измерении температуры конкретного объекта, часто оказываются несостоятельными. Причиной является именно наличие температурной зависимости излучатель-ной способности объекта и как следствие — температурной зависимости связанного с ней коэффициента излучения. Публикаций о том, как находить температуру объекта в таких условиях, в литературных источниках не обнаружено.
В данной статье описан алгоритм определения температуры объектов энергетическими пирометрами с учетом температурной зависимости коэффициента излучения.
О ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ИЗЛУЧАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТИ
Наличие температурной зависимости излу-чательной способности было показано еще Вор-тингом [1] в его классической работе по измерению излучательной способности вольфрама. В работе [2], где собраны результаты исследований излучательной способности различных материалов, можно увидеть, что подобная температурная зависимость излучательной способности — это скорее правило, нежели исключение.
Рис. 1. Спектральная излучательная способность динамной стали
Однако эти результаты большинству конечных пользователей неизвестны.
На рис. 1 приведены зависимости спектральной излучательной способности динамной стали при нагреве в азото-водородной атмосфере, измеренные в температурном диапазоне от 973 до 1473 К ([3, 4]). Рассмотрим, как при наличии подобных зависимостей энергетическим пирометром можно находить действительную температуру объекта (в данном случае — динамной стали).
НАХОЖДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИЗЛУЧЕНИЯ
Как показано в [5], коэффициент излучения определяется соотношением:
л
лшах
\ £(Х, Т)s(X)P(X, Т)йХ
£(Г) = ^-, (1)
\ s(X)P(X, Т)йX
где е(Х, Т) — спектральная излучательная способность объекта, я(Х) — спектральная чувствительность пирометра, Хтщ, Хтах — соответственно нижняя и верхняя границы спектральной чувствительности пирометра, Р(Х, Т) — функция Планка.
Предположим, что измерения проводятся пирометром с приемником на основе InGaAs, спектральная чувствительность которого я(Х) приведена в [6]. Результаты вычисления коэффициента излучения е(Т ) по уравнению (1) сведены в табл. 1.
Для определения значений е(Т ) при температурах, отличных от приведенных, можно воспользоваться полиномиальной аппроксимацией функции е(Т ):
£(Т) = с0 + с1Т + с2Т2 + с3Т3 + ... + спТп, (2)
где п — порядок полинома, определяемый количеством точек, с использованием которых осуществляется аппроксимация, и точностью аппроксимации; Со—сп — коэффициенты полинома. Расчеты проводятся с применением таких программ, как MathCad, Ма1;^аЬ и т. п.
Таблица 1
Коэффициенты излучения е(Т) для пирометра на InGaAs и динамной стали
Темпе- 700 800 900 1000 1100 1200
ратура, °С
8(7) 0,3330 0,3903 0,4922 0,5544 0,5985 0,6736
Поскольку число точек, используемых для аппроксимации, всего шесть, то степень полинома должна быть не выше пятой. Зададим п = 5. При этом коэффициенты полинома будут иметь следующие значения:
с0 = 6,9587-Ю1; с1 = -3,5887-10-1; с2 = 7,3056-10-4; с3 = -7,3161-10-7; с4 = 3,6138-1010; с5 = —7,0501*10-14.
По соотношению (2) для п = 5 и с коэффициентами со — с5 можно найти значение £(Т) для любой температуры в диапазоне от 700 до 1200 °С.
НАХОЖДЕНИЕ ГРАДУИРОВОЧНОЙ ФУНКЦИИ ПИРОМЕТРА
Для нахождения градуировочной функции пирометра воспользуемся известным соотношением:
л
лшах
и(Т) = а | s(X)P(X, Т)йХ, (3)
где, как и ранее, Хтщ, Хтах — нижняя и верхняя границы спектральной чувствительности пирометра, Р(Х, Т) — функция Планка, s(X) — спектральная характеристика чувствительности пирометра, а — нормирующий коэффициент.
Физически коэффициент нормирования представляет собой коэффициент усиления входного каскада пирометра. В данном случае он выбран таким образом, чтобы при измерении температуры 1500 °С выходной сигнал усилителя был равен 1 В. В случае, когда нижеописываемая функция, обратная градуировочной, находится так, как указано в настоящей статье, коэффициент нормирования может быть любым положительным числом, в том числе и 1.
Рассчитанная градуировочная функция пирометра и = /(Т) с приемником на основе InGaAs приведена на рис. 2.
Для дальнейших вычислений необходимо располагать ее аналитическим выражением. В данном случае, когда функция не может быть выражена явно в аналитическом виде, ее также можно аппроксимировать полиномиальной зависимостью (2). Расчет в соответствии с (3) был проведен для температур от 500 до 1500 °С с шагом 50 °С, поэтому для аппроксимации располагаем 14-ю парами значений абсцисс и ординат градуировочной функции. Порядок полинома п может быть выбран вплоть до п = 13. Результаты вычислений показали, что для выбранных точек
60
Эепвогв & Эувгетв • № 11.2014
^Вых, В 1 1,0 -
0,8 -
0,6 - /
0,4 - /
0,2 -
500 700 900 1100 1300 1500 Т, °С
Рис. 2. Градуировочная функция пирометра с приемником на основе InGaAs
уже при п = 5 достигается точность аппроксимации не хуже 0,2 %. Соответствующие этой аппроксимации коэффициенты полинома следующие:
С0 = 1,1141-10-1; с1 = -8,2583-10-4;
С2 = 2,4172-10-6; С3 = -3,4366-10-9;
С4 = 2,2419-1012; С5 = -4,0326-10-16.
Располагая знанием градуировочной функции, можно легко определить, какой сигнал на выходе входного каскада пирометра соответствует той или иной температуре "модели черного тела" (МЧТ).
Как известно, коэффициент излучения показывает, какая часть от излучения МЧТ, находящегося при равной с объектом температуре, воздействует на приемник пирометра, формируя на его выходе электрический сигнал. Следовательно, при измерении температуры объекта сигнал на выходе входного каскада пирометра иоб(7}), соответствующий той или иной его температуре Тможет быть найден как произведение значе-
Таблица 2
Сигналы на выходе входного каскада ио6(Т) в зависимости от температуры
Т, °с
700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200
моб(Тг)
3,12 5,28 9,37 1,61 2,60 3,96 5,72 8,01 1,10 1,49 2,02
-3 -3
Г3 -2
-2 -2
-2 -2
-1 -1
-1
ния градуировочной функции для выбранной температуры на значение коэффициента излучения, соответствующего этой же температуре:
"об(Т-) = ЛТ)б(Т-). (4)
Вычисленные в соответствии с (4) значения иоб(Т) для температур 700; 750; 800; ..., 1150; 1200 °С приведены в табл. 2.
НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ, ОБРАТНОЙ ГРАДУИРОВОЧНОЙ
Зная значения сигналов на выходе входного каскада иоб(Т), получаемые при измерении температуры объекта, можно легко определить, каковы будут показания пирометра, соответствующие этим сигналам. Для этого нужно лишь располагать функцией Т = f 1(м), обратной к градуировочной. Если градуировочная функция найдена в виде таблицы, левый столбец которой — абсциссы точек ее графика, а правый — ординаты, то обратная функция может быть найдена простым обменом местами столбцов таблицы (абсциссы станут ординатами и наоборот), отметим, что такой способ нахождения обратной функции справедлив лишь для гладких функций, без особых точек.
Определенная таким образом функция Т = f (и), обратная к градуировочной для пирометра с приемником на основе InGaAs, приведена на рис. 3.
Также как и для градуировочной функции, необходимо располагать аналитическим выражением для функции Т = f 1(и). В данном случае ее придется аппроксимировать полиномиальной зависимостью.
Проведенные вычисления показали, что в данном случае точность аппроксимации не хуже 0,2 % достигается при п = 9. Соответствующие этой аппроксимации коэффициенты полинома следующие:
С0 = = 5,6392- 102; С1 = 1,8846- 104;
С2 = -6,0864 •105; С3 = : 1,3164 107;
С4 = -1,7420 •108; С5 = = 1,4195 109;
С6 = -7,1045- 109; С7 = 2,1150- 1010;
С8 = -3,4178- 1010; С9 = 2,2973 •101
Вид полинома дается соотношением:
Т = С0 + С^ + С2и2 + Сзи3 + С4и4 + С5и5 +
6789 + Сби + С7и + С8и + С9и .
(5)
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 ивых, В
Рис. 3. Функция, обратная к градуировочной
1500 -
1300 -
1100
900
700
500 700 900 1100 1300 1500 Тя, °С
Рис. 4. Зависимость действительной температуры динамной стали от ее яркостной температуры
Температура, рассчитанная в соответствии с соотношением (5) с использованием в качестве аргумента значений иоб(Т) (см. табл. 2), и будет яркостной температурой объекта (дин
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.