ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2008, № 4, с. 90-96
НАВИГАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
УДК 629.05
АЛГОРИТМ РАЗНОСТНО-ДАЛЬНОМЕРНОГО ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ
С ОЦЕНКОЙ СКОРОСТИ СВЕТА
© 2008 г. О. О. Барабанов, Л. П. Барабанова
Ковров, Ковровская государственная технологическая академия Поступила в редакцию 19.07.07 г., после дороботки 22.11.07 г.
Описывается новый метод спутникового позиционирования, отличающийся от стандартного тем, что в одном навигационном сеансе с применением не менее пяти искусственных спутников Земли измеряется скорость света. Предлагаемый метод тем точнее стандартного чем выше точность часов приемника по сравнению c точностью априорного назначения скорости света. При пяти спутниках предлагаемый метод приводит к простому конечному алгоритму, что обеспечивает ему дополнительно более высокое быстродействие по сравнению со стандартным методом. По своему предназначению, которое состоит в уменьшении систематической ошибки позиционирования, рассматриваемый метод родственен известному дифференциальному режиму.
0. Введение. Современные радионавигационные системы (GPS, глобальная навигационная система (ГЛОНАСС), Galileo) работают по разностно-даль-номерному принципу, характерным признаком которого является синхронное излучение сигнала в неизвестный момент т по шкале времени приемника потребителя несколькими навигационными искусственными спутниками Земли - маяками-излучателями с определенными координатами a е [3 и последующее вычисление координат x е приемника по моментам приема сигнала при заданной его скорости [1, 2]. Для повышения точности используют избыточное число излучателей (например, пять при трехмерном позиционировании) и итеративный метод наименьших квадратов (МНК) Гаусса-Ньютона.
Любая математическая модель опирается на определенные предположения, обусловленные законами естественных наук. Для стандартного метода спутникового позиционирования (GPS, ГЛОНАСС) эти предположения [1] таковы:
1) приемнику доступны высокоточные столбцы ay декартовых координат маяков в момент излучения (например, для потребителя ГЛОНАСС они входят в состав навигационного сообщения [1, с. 262, 325]
2) обеспечена идентификация маяков по моментам приема сигнала j (например, в ГЛОНАСС - по частоте сигнала [1, с. 325]
3) релятивистские эффекты и скорость вращения Земли пренебрежимы;
4) достаточно точно известна скорость сигнала c (скорость света);
5) единица шкалы времени приемника совпадает или несущественно отличается от единицы системной шкалы времени.
При этих условиях
|x - aj = c(tj - т), j = 0, ..., n + 1, (0.1)
где x е [n - неизвестный столбец декартовых координат приемника, т - неизвестный момент синхронного излучения сигнала маяками, tj - непосредственно измеряемые моменты приема сигнала от соответствующих спутников. Смысл (0.1) очень прост: расстояние равно произведению скорости на время.
Отметим, что в (0.1) т и tj - моменты времени по шкале времени приемника. Несмотря на простоту (0.1), это уравнение внутренне противоречиво потому, что фундаментальная константа c в (0.1) отнесена к системной шкале времени (СШВ) [1], которая не обязательно совпадает с шкалой времени приемника. Проблема времени для систем типа GPS, ГЛОНАСС известна [1, глава 2; 3]. Ниже приводится метод, свободный от указанного противоречия. В нашем методе фактически происходит освобождение от предположений 4), 5).
1. Стандартные подходы к решению задачи позиционирования. Если вычесть одно уравнение (0.1) из каждого другого, получится равносильная по x система без т. Такой подход известен как разностно-дальномерный метод [1, с. 70]. Заметим, однако, что математически удобнее работать с (0.1) [4-8]. Псев-додальномерным методом в литературе принято называть [1, с. 69] разностно-дальномерный метод, к которому добавлена только одна техническая деталь - доступ к высокоточной бортовой шкале времени спутников (БШВ), например через навигационное сообщение в ГЛОНАСС. Тогда потребителю становится известен момент T времени БШВ, соответствующий моменту т шкалы времени приемника. На этой основе производится синхронизация шкалы времени приемника и БШВ, важная для обеспечения потребителя точным временем.
Таким образом, с технической точки зрения оба метода отличаются только тем, что в первом величина т имеет формальный, а во втором - содержательный смысл. Разностно-дальномерный метод решает задачу местоопределения приемника - подзадачу общей задачи позиционирования, а псевдодальномер-ный метод - дополнительно другую подзадачу [9, с. 4-5] позиционирования по измерению точного времени за счет поправки А = Т - т. Математически оба метода совпадают (для однократного сеанса позиционирования) [5].
Недостатком стандартного способа спутникового позиционирования является наличие систематической ошибки, обусловленной априорным назначением скорости сигнала, присутствие которой делает неэффективным метод наименьших квадратов, предусмотренный в стандартном методе позиционирования при избыточном числе маяков. Для повышения точности для спутниковых систем вводят различные атмосферные поправки, однако многие исследователи отмечают, что они иногда даже ухудшают результат [9, с. 45].
2. Новый метод. Повышение точности в предлагаемом методе достигается тем, что в текущем навигационном сеансе определяют эффективную скорость сигнала по самим результатам измерений моментов времени приема сигнала Возможны как плоская (характерная для морской и наземной навигации), так и трехмерная (характерная для подводной и спутниковой навигации) реализации нового метода. Пусть п - размерность пространства К", в котором производится позиционирование, п = 2, 3. Для осуществления метода необходимы, как минимум, п + 2 маяка-излучателя. Наиболее интересен, конечно, случай п = 3.
Имеются два основных алгоритма решения системы уравнений (0.1) с минимальным числом маяков. Первый из них использует итерационный метод Ньютона, второй является специальным для этой задачи конечным алгоритмом. Метод Ньютона для (0.1) весьма чувствителен к начальному приближению, поэтому для (0.1) с минимальным чилом маяков предпочтительней специальный конечный алгоритм. Аналогичный специальный конечный алгоритм использовался ранее и для стандартного разностно-дальномерного метода [4-6]. Понятие конечный алгоритм в технической литературе встречается достаточно часто, см., например, [10, с. 242], но при этом само определение конечного алгоритма не дается.
О пределение 1. Алгоритм называется конечным, если он за конечное фиксированное число арифметических операций сводится к алгебраическому уравнению фиксированной степени.
Напомним, что алгебраическое уравнение имеет вид Дг) = 0, где Дг) - многочлен от одного переменного г е С. Приведенное выше определение конечного алгоритма представляется (на настоящий момент)
91
разумным потому, что компьютерное решение алгебраического уравнения фиксированной степени в настоящее время абсолютно надежно выполняется за известное число арифметических операций. Конечный алгоритм реализации предлагаемого метода использует прием [4], который применялся также в [5-8].
Без ограничения общности положим
t0 = min{tj: j = 0, ..., n + 1} = 0, a0 = 0,
где 0 - нулевой столбец. Другими словами, на время для краткости примем
tj : = t j - t0, т := т — t0,
dj := dj - ^0, X := X - ^0,
что эквивалентно переходу к локальной пространственно-временной системе координат. Тогда исходная система (0.1) запишется в равносильном виде как
X2 = с2 т2, (2.1)
(x - а/ = с2(tj - т)2, j = 1, ..., n + 1 , (2.2)
т < 0, (2.3)
где x2 = xTx - скалярный квадрат, ()T - операция транспонирования.
Вычитая уравнение (2.1) из (2.2), получим подсистему
2aTx- а2 = 2с2tjт - с2tj, j = 1, ..., n +1.
В новых неизвестных
22 е = с т, x, к = с
система (2.1)-(2.3) равносильна системе
к x2- е2 = 0, (2.4)
T 2 2
-2 tj е + 2djx = dj - tj к, j = 1, ..., n +1, (2.5)
е < о. (2.6)
Разрешим линейную относительно е, x подсистему (2.5). В качестве свободного параметра возьмем к. Тогда стандартные матричные приемы приведут (2.5) к
е = p + к q, (2.7)
x = P + к Q. (2.8)
Получается это следующим образом. Пусть X = (е, xT)T, X0 = е, L- матрица коэффициентов линейной алгебраической относительно X системы (2.5). Очевидно, что L состоит из строк
(-2tj, 2 aT).
При этом Ь - квадратная матрица (п + 1) х (п + 1). Пусть столбец и состоит из а2, ] = 1, ..., п + 1, а столбец ^ состоит из - (г2). Тогда
X = Ь- и + к( Ь- V).
Отсюда и получаются выражения для б = Х0 и х = = (Хь ..., Хп + х)т. После подстановки (2.7), (2.8) в (2.4) приходим к кубическому относительно к уравнению
б2к2 + (2Рт0 - q2)к2 + (Р2 - 2рд)к - р2 = 0.(2.9) В итоге, искомые т и х вычисляются по формулам
т = к*1 р + д + го, х = Р + к* б + ао,
где а0, г0 - исходные данные, а к* - наилучший из корней кубического уравнения (2.9). Простейший алгоритм выбора к* состоит в следующем. Пусть кь к2, к3 - корни (2.9). Если корень кш имеет ненулевую мнимую часть или б(кт) = р + ктд > 0 (см. (2.6), (2.7)), то он отвергается. Из оставшихся значений выбирается корень к*, ближайший к номиналу сном = (2.99792458 х 108)2, м/с [11]. Наши компьютерные эксперименты показали, что для реальных навигационных данных встречаются все возможные для кубического уравнения случаи (один действительный корень, три действительных корня и т.д.).
Применительно к х изложенный алгоритм был ранее опубликован в [12, 13]. Положительное решение на выдачу патента РФ на изобретение "Способ разностно-дальномерного определения декартовых координат приемника" по заявке № 2005122788/09 получено 15.05.2007 г. Вычисление т дает потребителю возможность использовать поправку А = Т - т для установления точного (системного) времени.
3. Автономный контроль целостности. Выбор наилучшего корня к* в уравнении (2.9) напрямую
связан с автономным контролем целостности навигационной системы. Если среди корней к1, к2, к3 нет принадлежащих некоторой доверительной окрест-
ностности О с С точки сном, то следует регистрировать отсутствие целостности навигационной системы. В противном случае
к* = Ке(а^шт|кк - сном). кк
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.