научная статья по теме АЛГОРИТМ СВЕРХРАЗРЕШЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НАБЛЮДЕНИЯ Физика

Текст научной статьи на тему «АЛГОРИТМ СВЕРХРАЗРЕШЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НАБЛЮДЕНИЯ»

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 1, с. 81-89

ОБРАБОТКА АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 681.884

АЛГОРИТМ СВЕРХРАЗРЕШЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НАБЛЮДЕНИЯ © 2014 г. И. Ю. Аникин, А. М. Грузликов, Г. Б. Сидельников

ОАО Центральный научно-исследовательский институт "Электроприбор" Санкт-Петербург 197046, ул. Малая Посадская 30 E-mail: anikin@igas.ru Поступила в редакцию 29.04.2013 г.

Предложен алгоритм сверхразрешения источников узкополосных сигналов на основе решения системы уравнений наблюдения. В соответствии с алгоритмом угловые координаты источников являются корнями одного уравнения. Для их устойчивой оценки число временных отсчетов наблюдаемых сигналов должно быть хотя бы на единицу больше числа источников. В случае линейной эквидистантной антенной решетки для устойчивой оценки угловых координат число временных отсчетов должно быть хотя бы на единицу больше половины числа источников. Из общего решения выделено частное решение, обеспечивающее минимизацию дисперсии ошибок оценок. При увеличении числа временных отсчетов, используемых для оценки угловых координат, математические ожидания их ошибок стремятся к нулю, а дисперсии в 1...1.2 раза больше минимально возможных, определяемых из неравенства Рао—Крамера.

Ключевые слова: сверхразрешение, оценка угловых координат источников, система уравнений, линейная регрессия, антенная решетка, неравенство Рао—Крамера.

DOI: 10.7868/S032079191401002X

блюдения; gnq (0ni) — значение комплексной ХН nq-го канала наблюдения в направлении на ns-й источник; Qns — угловая координата ns-го источника; n„qnt — помеха в nq-м канале наблюдения в nt-й временной цикл наблюдения; Nq — число каналов наблюдения; Nt — число временных циклов наблюдения; Ns — число источников. В формуле (1) и далее по тексту символ n е [1, N] обозначает изменение индекса от 1 до N. Сигнал считается узкополосным, если выполняется условие L ■ AF

-<§ 1, где L — эффективная длина антенны; c —

c

скорость звука в воде; AF — полоса частот сигнала [3].

Уравнения наблюдения (1) образуют систему уравнений, в которой известными параметрами являются наблюдаемые сигналы u, а неизвестными — параметры сигналов источников: УК 8 и амплитуды a. В этой системе уравнений число известных параметров (наблюдаемых сигналов) равно 2 • Nq • Nt (двойка учитывает, что одновременно наблюдается действительная и мнимая части сигнала). Число неизвестных параметров источников (комплексные амплитуды и УК) равно Ns • (2 • Nt + 1). Для оценки параметров источников необходимо, чтобы число неизвестных пара-

ВВЕДЕНИЕ

В ряде приложений гидроакустики возникает необходимость оценки угловых координат (УК) нескольких источников, угловое расстояние между которыми меньше ширины характеристики направленности (ХН) антенны. В этом случае источники не разрешаются по критерию Релея и для решения этой задачи применяются алгоритмы сверхразрешения. Существует достаточно много алгоритмов сверхразрешения. Достаточно полный обзор этих алгоритмов приведен в [1, 2]. Сравнение эффективности наиболее известных алгоритмов приведено в [2]. В работе предлагается алгоритм сверхразрешения на основе решения системы уравнений наблюдения.

Под уравнением наблюдения понимается параметрическая зависимость сигнала в канале наблюдения от сигналов источников:

N

ипд,п ^ ап5,п ' ёпд ) + ппд,М; (1)

пд е [1,Ш е [1,Щ,

где — комплексный наблюдаемый сигнал в щ-м канале наблюдения в я?-й временной цикл наблюдения; атШ — комплексная амплитуда сигнала и«-го источника в я?-й временной цикл на-

метров было меньше или равно числу известных, т.е. выполнялось неравенство

М (2 • N1 + 1) < 2 • М • Щ. (2)

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Имеется система уравнений (1), требуется определить УК источников: 0пу,т е [1, Му]. Условия решения задачи: 1) число источников известно; 2) выполняется неравенство (2); 3) сигналы от источников являются узкополосными случайными процессами с нулевым математическим ожиданием; 4) сигналы от источников не коррелиро-ваны. Методы определения числа источников рассмотрены, например, в [1, 2]. Алгоритм сверхразрешения источников коррелированных сигналов приведен, например, в [4—6].

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Система уравнений (1) является квазилинейной, т.е. линейной относительно амплитуд сигналов (энергетические параметры) и нелинейной относительно УК (неэнергетические параметры). Эта особенность системы уравнений в случае отсутствия помех приводит к тому, что наблюдаемые сигналы образуют линейную регрессию, порядок которой равен числу источников (N5):

пу=1

(3)

к е [1, (Ыд - №)]; М е [1, N ], где Нкп5 — неизвестные коэффициенты регрессии. Для проверки формулы (3) достаточно в нее подставить выражение для наблюдаемых сигналов (1):

У \ аж,п&Ш+к (вп5 )

пу=1 жу ( N

(4)

ПБ=1

= ' апз,ы ' ^ ^+к-1 (вп

V пУ=1

Равенство (4) будет выполняться, если коэффициенты регрессии удовлетворяют системе линейных уравнений

М

{ъпу ) = ' Кк,пу'ёпу'+к-1 {Ъпу ).

(5)

пу'=1

( ёк (01) — ёк+N-1 (01)

О к =

Кёк (0N ) "' ёк+N5-1 (0М5 ^

Знак "т" обозначает операцию транспонирования. Таким образом, наблюдаемые сигналы действительно образуют линейную регрессию порядка N5, определяемую формулой (3). Из формулы (5) следует, что УК источников являются корнями уравнения

N

ёыу+к (0) = ' V • ёп+к-1 (0); к е [1, (Мд - Щ]. (7)

т=1

Таким образом, существует (№д - №) уравнений, корнями которых являются УК источников. Для повышения точности оценки УК источников из уравнений (7) составлением линейной комбинации можно сформировать уравнение щ-т ( N \

к=1

' ск ёш+к (0) - ' к ,пу * ёт +к-1 (0)

У=1

= о,

(8)

В гидроакустических устройствах ХН каналов наблюдения являются линейно независимыми, поэтому для каждого значения к е [1, (№д - N)] система уравнений (5) всегда имеет единственное решение

Ь к = Ок1 • 8 N+k, (6)

где Ьк = (Кк,1Кк,2 Кк,М )т; 8Му+к = (ёжу+к (01) Х Х ёЫу+к (02Ь' ёту+к (0N ))т;

где ск — произвольные коэффициенты.

Уравнение (8) представим в векторной форме:

щ-т

й (0) = ' Ск (+к (0) - 8* (0) • Ьк) = 0 (9)

к=1

где 8к (0) = (ё* (0) ё*+1 (0) - ё*+м (0))т. Знак "*"

над вектором или матрицей обозначает операцию эрмитового сопряжения. Для того, чтобы определить УК источников, необходимо найти коэффициенты регрессии Нк ш, по которым затем сформировать уравнение (9). Линейную регрессию (3) можно рассматривать как систему из (Щ - N5) • N комплексных линейных уравнений относительно (№д - N5) • Жу неизвестных комплексных коэффициентов регрессии. Для определения коэффициентов регрессии необходимо, чтобы порядок системы уравнений был больше или равен числу коэффициентов регрессии, т.е. (№д - М) ■ N1 > (№д - М) ■ N или М > Представим систему уравнений (3) в матричной форме:

и м+к = и к • ь к; к 6 [1, (Мд - Щ], (10)

и Ыу+к — (иМу+к,1 иЫу+к,2 "' иЫу+к,N1) ;

Л

где

и к =

*к,1

лк+N5-1,1

. Вектора коэффициентов

Vик,т ик+М5-1,жу

регрессии определяются из уравнений (10):

Ь к = (и* • ик

и* • иш+к; к 6 [1, (Мд - N5) (11)

Таким образом, поставленная задача решена: по наблюдаемым сигналам (1), используя формулы (11), рассчитываются коэффициенты регрес-

N5

N5

сии, а затем определяются корни уравнения (9), которые являются искомыми УК источников.

Наблюдаемые сигналы образуют линейную регрессию (3) только при отсутствии помех. В реальности помехи всегда присутствуют. Поэтому коэффициенты регрессии, рассчитанные по формулам (11), определяются с ошибками и, следовательно, оценки УК, являющиеся решением уравнения (9), также будут определяться с ошибками. Уравнение (9) задается (Щ - N5) произвольными коэффициентами (ск) и является общим решением поставленной задачи. Из общего уравнения (9), подбирая коэффициенты ск, можно выделить частное уравнение, которое минимизирует дисперсии оценки УК источников.

СВОЙСТВА ОЦЕНОК УК ИСТОЧНИКОВ

Источником ошибок в оценке УК являются помехи, которые приводят к ошибкам определения векторов регрессии (11). При рассмотрении ошибок оценок УК будем полагать: 1) помехи являются узкополосными случайными процессами с нулевым математическим ожиданием; 2) мощности помех во всех каналах наблюдения равны; 3) временные отсчеты помехи не коррелированы; 4) помехи в каналах наблюдения не коррелированы. Сначала оценим смещение оценки УК. Под смещением оценки понимается математическое ожидание отклонения оценки от истинного зна-

чения Д0п5 = 0еп5 - 0п5, где Д0п5 — смещение оценки УК пз-го источника; %еш — оценка УК пз-го источника; — истинная УК пз-го источника [7]. Черта сверху означает статистическое усреднение. Пусть число временных отсчетов, используемых для оценки УК, стремится к бесконечности (N ^ да). В этом предельном случае вектора регрессии, вычисляемые по формуле (10), будут равны

И к

МО* ■ Яа0 ■ Ок + Жп ■ I

-1

(12)

X О* ■ Яа0 ■ g N5+к; к 6 [1, (№д - N5)], ... 0 л

где Яа0 =

корреляционная мат-

0 - )

рица сигналов источников; Ж5п5 — мощность сигнала пз-го источника; Жп — мощность помех; I — единичная матрица, размерностью N5 ■ N5.

Если мощность помех известна (каким-либо способом измерена), то формулу (11) для расчета

векторов коэффициентов регрессии можно скорректировать следующим образом:

Иск - (и* ■ ик -т■ Жп■ I)1 и* ■ и

- и к •и к-•1) ик ^^+к; к е [1, (Щ - N5)];

(13)

при N ^ да вектора коэффициентов регрессии будут равны

(14)

Иск м^ > (о* . Яа0 . Ок) О* ■ Яа0 • gm+к

= О-1. gт+к; к 6 [1, (д - N5)

Сравнение формул (6) и (14) показывает, что при N ^ да вектора коэффициентов регрессии, вычисляемые по формуле (13), равны точным значениям, вычисляемым по формулам (6). А это означает, что смещение оценок УК источников стремится к нулю, т.е. оценки УК являются асимптотически несмещенными.

Рассмотрим дисперсию ошибок оценок УК. Для этого разложим функцию (9) в ряд по степеням ошибок УК и ошибок векторов И к в окрестности УК пз-го источника 9пз и ограничимся членами первого порядка:

щ-ш

А0п* = X ск (+к (0п. )- gk (0п5 )

к=1

• Ь0к)-

- X Ckg* (9т )-АЬк +

(15)

к=1

( ^-N5

X Ск (+к (0п5 )- gk* (0п5 )• И0к

V к=1

^ = 0,

где Д0п5 = 0еп5 - 0п5 — ошибка оценки УК пз-го и

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком