Автоматика и телемеханика, № 8, 2012
Линейные системы
© 2012 г. Ф.А. АЛИЕВ, д-р физ.-мат. наук, М.М. МУТАЛЛИМОВ, канд. физ.-мат. наук, Н.А. ИСМАИЛОВ, канд. физ.-мат. наук (Институт прикладной математики Бакинского государственного университета), М.Ф. РАДЖАБОВ, канд. техн. наук
(Научно-исследовательский проектный институт "НЕФТЕГАЗ" ГНК АР, Баку)
АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ПРИ ГАЗЛИФТНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ1
Рассматривается задача оптимальной стабилизации подаваемого газа и дебита эксплуатации нефтяных скважин газлифтным способом. При определенных естественных допущениях общая задача сводится к линейно квадратичной задаче управления, позволяющей найти программные управления и траектории, на которых строится оптимальный регулятор по всем и по части (по дебиту) фазовых координат как в непрерывном, так и дискретном случаях. Для конкретного случая числовые результаты иллюстрируются графиками, показывающими возможность использования этого метода в промысловой практике.
1. Введение
При добыче нефти из нефтяных скважин одним из способов является га-злифтная эксплуатация, являющаяся эффективным и универсальным способом механизированной добычи. Метод газлифта заключается в нагнетании газа через газлифтный клапан в затрубное пространство, который поступая в трубу образует газожидкостную смесь и способствует перепаду давления, в результате происходит подъем жидкости по стволу за счет естественной энергии пласта. На основе идей в [1, 2] авторы работы [3] предложили математическую модель, описывающую газлифтный процесс в нефтяных скважинах.
Отметим, что одним из основных целей при газлифтной эксплуатации нефтяных скважин является добыча нефти оптимальным способом при закачке газа с учетом экономической и технологической целесообразности. Для достижения этой цели в [4] ставится линейно-квадратичная задача оптимального управления посредством применения метода прямых.
В настоящей статье решается полученная задача оптимального управления, в результате чего удается найти программные управления и траектории. Далее, используя эти программные управление и траекторию строится оптимальный регулятор, который стабилизирует газлифтный процесс около программных.
1 Работа поддержана программой Фонда развития науки при Президенте Азербайджанской Республики (грант № EIF-2011-1(3)-82/25/1).
2. Математическая модель
Как известно [1—3], газлифтная скважина представляет собой насосно-компрессорную трубу (НКТ), охваченную кольцевым затрубным пространством (рис. 1). Через затрубное пространство с поверхности подается сжатый газ, который поступая в НКТ у башмака образует газожидкостную смесь (ГЖС) относительно легкого удельного веса внутри НКТ. При этом имеющееся пластовое давление бывает достаточным для поднятия ГЖС на поверхность.
Газ
ГЖС
х = 0
I
Рис. 1.
Известно [1], что уравнение движения вязкой сжимаемой жидкости Навье-Стокса в цилиндрической трубе применительно к нефтепромысловым задачам сводится к нелинейной системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Соотношения, описывающие движения ГЖС в насосно-компрессорных трубах, совместно с решением задачи притока газированной нефти из пласта на забой скважины позволяют создать математическую модель работы скважины. Для этого напишем следующую систему дифференциальных уравнений [1]:
йР ( .ад? (1) У + Хс20
где рс определяется по выражению
Рс = (1 - ^)Рж + <РРг, <р = кв.
Учитывая, что «V = —г-, (1) можем записать как (И' 7
(3) ,<*<м>*
где Р = Р(ж, , тс = тс(х,1] - соответственно избыточное давление над ее стационарным значением и осредненная по сечению скорость движения смеси, с - скорость звука в жидкости и р = а1рж + а2рг + а3рп - плотность смеси, в которой число слагаемых равно количеству фаз в смеси.
Уравнение (2) линеаризуем и приводим к виду
дР д(^)
— —--Ь 2ари>с,
дх дЬ
о 9 , Ас№с
где и>с - средняя скорость потока, 2а =--1--. Принимая поперечное се-
wc 2Б
чение трубы Р постоянным, систему (2), (3) запишем относительно давления и массового расхода в виде
(4)
и т ^ дх'
где Я = Ррwс.
Поскольку уравнение (4) не зависит от плотности смеси, то оно верно и для многофазных смесей. Такому же уравнению удовлетворяет и функция Я(х, Ь). Начальные условия нулевые: Р(х, 0) = 0, Я(х, 0) = 0, а на границах х = 0 и х = I могут заданы различные пары условий - Р(0,Ь) = Р1(Ь), Я(0,Ь) = Я1 (Ь), Р(1,Ь) = Р2(Ь), Я(1,Ь) = Я2(Ь), где Я2(Ь) - определяется решением задачи притока нефти к забою скважины.
Обычно в таких задачах требуется найти минимальный объем газа, чтобы получить заданный дебит нефти. Далее можно было бы принимать этот объем и дебит как программное управление и траектория соответственно [5, 6]. В данном случае надо определить закон регулирования так, чтобы дебит стабилизировался около программной траектории [4, 5].
Описание этого процесса системой уравнений в частных производных (4)-(5) - достаточно сложная задача [7]. Поэтому более удачным является сведение их к задачам, описываемым системой обыкновенных дифференциальных уравнений, с помощью метода прямых [6], где (4)-(5) переходит в следующее выражение:
(6)
Фа- _ с2
Щк
(Щк
м 1к
— ~Тч~(Як — Як-1),
- Рк-1) - 2а:()1.. к = 1 ,п.
Здесь I - высота скважины, разделенная методом прямых на п частей 1к(I = 11 + 12 + ••• + 1п); Рк, Як - значения Р и Я- Рассмотрим более простой случай п = 2. При к = 1 рассматривается затрубное пространство, при к = 2
' Яо "
подъемник. В качестве управляющего воздействия берется и =
Ро
Тогда
делая соответствующие обозначения как в [3]
A =
0 -
Fi I
0
Ei i
0
0
Г2
Fil -2ai C2 f2i 0
0 0
0 0 0
0 0
C2 c2
0 0 0 0 1 0
Ei l
0 0
F2l -2a2 0 1
0 0
0 0 0 0
ж =[Pl ,Ql ,P2 ,Q2,V1,V2]T , x0 =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 а 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
N =
x =
) Q1) ) Q2) ~prjQn
0 0 0 QF 0 0
F F2
Pn
данную задачу можно свести к следующей линеино-квадратичнои задаче (ЛКЗ) управления [5, 8]:
(7)
X = Ax + Gu, x(0) = x°,
T
11
(8) J = ~{x(T) - x)TN(x(T) -x) + - / nTRud,t ->■ min.
0
Здесь T - знак транспонирования.
Выбирая соответствующим образом симметричную матрицу N из (8), можно придать ЛКЗ (7)-(8) следующий смысл [5, 6]: при минимальном расходе2 закачиваемого газа получить дебит, близкий к желаемому дебиту Q, значение которого определяется величиной xF.
т
l
и
3. Построение программных траекторий и управлений (непрерывный случай)
Теперь переходим к решению задачи (7)-(8) Эйлера-Лагранжа имеет вид
для которой уравнение
(9)
А
H
x А
2 Как известно [9], когда начальные условия являются нечеткими числами, функционал (8) из ЛКЗ оптимизации получает минимальное значение меньшее, чем минимум функционала в классическом подходе. Поэтому имеет смысл использовать результаты [10, 11] для данной задачи.
A -M
0 -AT соотношение
где H =
M = GRGT, а для оптимального управления имеем
(10) u(t) = -R-1GX(t),
X множитель Лагранжа. Используя представления фундаментальных решений [4, 5, 8], из системы (9) получим систему алгебраических уравнений для неизвестных X(0), x(T), X(T)
H2 -E 0 X(0) -Hlx0
(11) H3 0E x(T) = 0
0 N -E X(T) Nx
Здесь х(Ь),А(Ь) определяются как решения системы дифференциальных уравнений (9) с начальными условиями х(0), А(0) или конечными условиями
еАТ еАгв - Ве-АтТ 0-АтТ
x(T), X(T), а eHT =
Hl H2
0 H3
, D является ре-
0 е
шением уравнения Ляпунова ОЛт + АР + М = 0, Е - единичная матрица соответствующей размерности.
Таким образом, из задачи (7)-(8) с помощью (9)-(11) можем определить оптимальные траектории хопт(Ь) и управления иопт(£).
Теперь задачу управления газлифтным процессом сведем к стандартной ЛКЗ управления. Для того чтобы иллюстрировать решение этой задачи, в (6) примем п = 2. Тогда для матриц Л, С,М,К и векторов х, и, X, х0 имеем
(12)
G' =
c2 ¡Fl 0 0 0 0 0 0 F/l 0 0 0 0
x = [Pl,Ql,P2,Q2,Vl,V2 ]
x0 =
u
Q0
Po
A2 = A2 +
R = 1 0 R = 0 1
P\i Ql> P'2 ) —Рил
A =
0 0 0 2a2
Ai 0 0 A2 A2 E 0 0 0
Ai =
c2 / Fi. l
PI l -2ai
xT =
[ 0 0 0 Q 0 0 ]
N = a{6i4 ö^j), i, j = l,6,
где Ь^ = I1' ! = - символы Кронекера, а - штрафной параметр.
В качестве примера возьмем конкретные характеристики одной опре-
7 -МОК О д ^ АЬШс деленной скважины, из данных промыслов: I = 1485 м, 2а =--1--,
wc 2О
g = 9,8 м/с2 - ускорение свободного падения Xc =
0,01 при (0,l) 0,23 при (l, 2l)
гид-
T
T
0
Рис. 2.
п / л/1142 - 732 • 1(Г3 м при (О, I) равлическое сопротивление, V = < ^ 073 при ^^ - внутрен-
ний диаметр подъемника и эффективный диаметр кольцевого пространства, Я = V/2 радиусы, Я0 = 0,21 м/с - объемный расход закачиваемого газа, Р = пЯ2 - площадь поперечного сечения насосно-компрессорных труб,
Г 0,75 кг/м3 при (0,1) Р = \ -г, г, / 3 Л ^ 7\ - плотность газа и нефти соответственно в коль-1 \700 кг/м3 при (1, 21) 4
лхг Я
цевом пространстве и подъемнике, \УС =--осредненная по сечению ско-
^ • р
рость движения смеси и
С_ /331 м/с при (0,1)
С = \850 м/с при (I, 21).
В начале процесса газлифта имеется определенное значение давления на забое, которое можно вычислить посредством высоты столба жидкости и затем использовать его в качестве начального условия. В данном случае
[ Р0 Я0 Р20 Яо ]Т = [ 5177500 0 1 0 ]Т .
При данных, упомянутых выше, оптимальные программные траектории (а) и управления (б), полученные на отрезке [0,Т], отражены на рис. 2.
Таким образом, несмотря на то, что при п = 2 система (6) довольно грубо аппроксимирует уравнение (4)-(5), полученные результаты хорошо согласуются с характером экспериментальных результатов для отдельно взятой скважины [1, 2, 4].
При больших значениях п (это вполне реально из-за большой глубины скважины) можно использовать алгоритмы из [12], а также принцип оптимальности по аналогии с [13] для получения решения соответствующих задач оптимального управления газлифтом.
Отметим, что для рассмотрения задачи оптимальной стабилизации надо иметь программные траектории и управления на [0, те). Чтобы поддерживать желаемый дебит в определенное время, целесообразно определить про-
граммные траектории и управления
(14) х (Ъ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.