МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2013
УДК 521.93
© 2013 г. В. В. ПЕРЕПЕЛКИН
АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ЗЕМНОГО ПОЛЮСА
С помощью динамического анализа колебательного движения земного полюса рассматривается гравитационно-приливной механизм формирования годичной компоненты процесса. На основе проведенного анализа взаимодействия тонкой резонансной структуры долгопериодического возмущения с суточным и полусуточным приливами получены уравнения для амплитуды и фазы колебательного процесса шестилетних биений полюса.
Ключевые слова: колебание земного полюса, прилив, гравитационно-приливной момент, годичное колебание.
1. Уравнения колебательного процесса земного полюса. В современных задачах астрометрии и геофизики фундаментальная модель вращательно-колебательных движений Земли, адекватная данным наблюдений и измерений, может иметь существенное значение [1—2]. Высокоточные данные измерений параметров вращения Земли [1—2] свидетельствуют о сложных динамических процессах, происходящих в системе Земля—Луна—Солнце, и приводят к настоятельной потребности уточнения математических моделей в принятых теориях вращательно-колебательного движения Земли.
Согласно [2—7] классические динамические уравнения Эйлера—Лиувилля с переменным тензором инерции представим в виде
т
dJw/dt + ю х /ю = M; ю = (p, q, r) ; J = J* + 5J; J* = const
J * = diag(A*, B*, C*); 5 J = 5 J (t); ||5 J|| ^ || J * (1.1)
M = MK + M5 + ML
Здесь ю — вектор угловой скорости в связанной с Землей системе координат (рефе-ренц-системе), оси которой приближенно совпадают с главными центральными осями инерции J * "замороженной" фигуры Земли с учетом "экваториального выступа". Считается, что малые вариации тензора инерции Ы могут содержать различные гармонические составляющие, обусловленные регулярным возмущающим влиянием гравитационных суточных приливов от Солнца и Луны, и, возможно, другие (годичные, полугодичные, месячные, двухнедельные). Дополнительные возмущающие члены получаются при дифференцировании вектора кинетического момента деформируемой Земли. Они отнесены к вектору Mk весьма сложной структуры, который аддитивно
входит в M. Векторы M5'L — гравитационно-приливные возмущающие моменты от Солнца и Луны соответственно.
Структура выражения для компоненты Mq момента сил гравитации от Солнца имеет вид [3]:
Msq = 3®o A* - C* + 8A - 8C) b cos v sin ф + 8Jpqb cos v cos ф +
+ 8Jpr (a(r + apr cos2ф + apr cos2ф cos2v + apr cos2v) - (1.2)
- 5Jqr (apr sin 2ф cos 2v + apr cos 2v)
Здесь юр — частота орбитального движения; ф — угол собственного вращения; v — истинная аномалия. Из анализа выражения (2) и представления суточных вариаций компонент тензора инерции следует, что годичная компонента колебаний полюса может быть обусловлена слагаемыми при cos v, содержащимся в (2). Оценка членов уравнений (1) для p, q после усреднения по суточному вращению ф приводит к основной аналитической модели колебаний полюса Земли [3, 4]:
2 2
p + Npq + app = Kqr + Pb® Xp cos v q - Nqp + aqq = -кpr2 - Pb®\q cos v
X' =cos it +J sin \ (13)
/8C-8A ■ \ , /8Jpq
Xq ={-ВТ- sin ф) ф +[— cos(P
Здесь о pq = о — коэффициент суммарной диссипации, Npq = N — чандлеровская частота кp = (8Jpr/B* , Kq = (8Jqr/A*) ; xp, xq — средние значения приливных коэффициентов на суточном интервале времени.
2. Моделирование годичной компоненты колебаний земного полюса. Исследуя механизм процесса сезонного перемещения масс в атмосфере и мировом океане можно показать, что амплитудно-частотные характеристики флуктуаций коэффициентов к p, к q, связанных с положением оси фигуры Земли, различаются существенно. Их сезонные колебания происходят синфазно, с различными амплитудами [7] и не приводят к годичным колебаниям полюса с наблюдаемыми параметрами. Также следует отметить, что переменная величина кp в значительной степени зашумлена нерегулярными колебаниями геофизического происхождения, и, хотя чувствительность величин Kp, кq в уравнениях (1.3) на пять порядков выше, чем xp, Xq, наблюдаемый регулярный механизм годичного возмущения посредством внутренних геофизических процессов представляется несостоятельным в механическом аспекте.
Для описания годичной компоненты гравитационно-приливного возмущения, вариации тензора инерции представляются в виде
8Jij = Jj + bJfj + J + SJp^ + - (2.1)
Основные спектральные линии суточных вариаций тензора инерции соответствуют спектру твердотельных и океанических приливных колебаний. Суточная компонента
вариаций 5Jj, учитывающая асимметрию Земли, дается выражением
Ыу = XK cosф + XP cos (ф - 2v) + X0 cos (ф - 2vm) (2.2)
В (2.2) возмущение, соответствующее лунно-солнечным деклинационным Kí2 и главным P1, S2 и O1, M2 компонентам прилива с наибольшей амплитудой, выражает изме-
Механика твердого тела, № 6, 2013
нение склонений Солнца и Луны и является одним из определяющих. Составляющие этого возмущения не могут быть разделены и рассматриваются совместно.
Суточные вариации (2.2) требуемых компонент тензора инерции могут быть представлены в упрощенном виде
8C9 - 8A9 = X [((8C - 8A) cos ф)9 cos ф + ((8C - 8A) sin ф)9 sin ф]
8C9 -8B9 = X [((8C -8B) cos ф9 cos ф + ((8C - 8B) sin ф9 sin ф] (2.3)
8Jp9q = ц [(8/pq cos ф)9 cos ф + (8Jpq sin ф)9 sin ф]
Небесно-механическая трактовка годичных колебаний полюса основана на учете гравитационно-приливного момента сил и его комбинационной структуры. Фаза колебаний компонент момента в значительной степени определяется амплитудами Ху основных гармоник приливных горбов и выступов. С учетом равенства ((5C - 5A)cosф)^ да -((5C -5B)cosф)^ выражения для %p, хq после усреднения по суточному вращению содержат слагаемые:
Хр ~Хcos(2v + 5); xpV ~Xsin(2v + 5) (2.4)
Здесь x — постоянная амплитуда, а 5 — фаза полугодичного приливного возмущения.
При этом исходные годичные компоненты гравитационно-приливного момента
S S
Mp и Mq составляют вектор квазипостоянной величины, вращающийся в связанной системе координат с угловой скоростью среднего движения системы Земля—Луна по орбите вокруг Солнца.
Вводя переменные xp(i) = p(t), yp(T) = q(t), где т — время, измеряемое в годах, выражения двухчастотной модели координат полюса (xp, yp) получаются из уравнений (1.3) с учетом (2.4):
í \ c о ы , í - о ы , 3b%Oi2 cos(2nx + 5) , (т) = cx - ax cos 2nNт + ax sin 2nNт + —-----
/ - N (2.5)
t \ c „ A7 í . „ A7 ЗЬую sin(2nT + 5) yp (т) = cy + ay cos2nNт + ay sin2nNт +-------
1 — n
Неизвестные коэффициенты в (2.5) — величины, подлежащие вычислению с помощью метода наименьших квадратов по измерениям МСВЗ [1]. При определении ко/и /и c,S s,c c,s s,c
эффициентов aX , ay следует иметь в виду равенство ax ~ ay , являющееся структурным свойством модели.
Далее полагая xp = cx + A cos у, yp = cy + A sin у, уравнения для переменных амплитуды и фазы модуляционного движения земного полюса имеют вид:
— = 12пю2Ьх (aX cos 2п(1 - N)т + asx sin 2п(1 - N)i) +
di v 'di
— = 4nN + 6nA _1ю2Ь% sin (2пт - y) + dÁy
di di (2.6)
ÁA ^ f cos y sin ^fAxp Áyp
AÁy) sin y cos y A = A + ÁA, y = y + Áy
где A, v — амплитуда и фаза основного движения полюса.
Построение модели амплитуды A и фазы у колебаний земного полюса на коротком интервале времени базируется на основной модели (1.3) посредством учета высокочастотных составляющих Axp, Ayp координат полюса Земли, обусловленных внешним лунно-солнечным возмущением с комбинационными гармониками гравитационно-приливных сил.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 13-01-00180).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. IERS Annual Reports, 2000-2002 (Frankfurt am Mein: BKG. 2001-2003).
2. Манк Н., Макдональд Г. Вращение Земли. М.: Мир, 1964. 384 с.
3. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г. Движение полюса Земли // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 2. С. 199-205.
4. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г., Рыхлова Л.В. Гравитационно-приливной механизм колебаний полюса Земли // Астрон. ж. 2005. Т. 82. № 10. С. 950-960.
5. Акуленко Л.Д., Климов Д.М., Марков Ю.Г., Перепёлкин В.В. Колебательно-вращательные процессы в движении Земли относительно центра масс: интерполяция и прогноз // Изв. МТТ РАН. 2012. № 6. С. 6-29.
6. Акуленко Л.Д., Марков Ю.Г., Перепёлкин В.В. Моделирование вращательно-колебательных движений Земли на коротком интервале времени (интерполяция и прогноз) // Докл. РАН. 2012. Т. 438. № 3. С. 326-331.
7. GFZ Potsdam, The Grace mission http://op.gfz-potsdam.de/grace
Москва Поступила в редакцию
E-mail: vadimkin1@yandex.ru 16.07.2012
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.