научная статья по теме АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ ВНУТРИСУТОЧНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ЗЕМНОГО ПОЛЮСА Математика

Текст научной статьи на тему «АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ ВНУТРИСУТОЧНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ЗЕМНОГО ПОЛЮСА»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2013, том 449, № 6, с. 661-665

МЕХАНИКА

УДК 531.391:521.93

АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫМ АНАЛИЗ ВНУТРИСУТОЧНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА

ЗЕМНОГО ПОЛЮСА © 2013 г. С. С. Крылов, Ю. Г. Марков, В. В. Перепёлкин

Представлено академиком В.В. Козловым 20.12.2012 г. Поступило 27.12.2012 г.

БО1: 10.7868/80869565213120104

В рамках классической механики проведен амплитудно-частотный анализ малопараметрической модели внутрисуточного колебательного процесса земного полюса под воздействием гравитационно--приливных моментов сил от Солнца и Луны. На основе динамических уравнений Эйле-ра—Лиувилля с учетом нерегулярных возмущений найдены структурные свойства внутрисуточных колебаний координат полюса. Приведено сравнение результатов моделирования движения земного полюса с высокоточными данными РСДБ-наблю-дений (наблюдений радиоинтерферометрии со сверхдлинными базами) на коротком интервале времени [1—3].

1. Достижение высоких точностей координат-но-временного обеспечения наземных (стационарных и подвижных), а также движущихся в околоземном пространстве объектов связано с фундаментальной задачей построения динамических моделей вращательно-колебательных движений Земли, адекватных данным наблюдений и измерений Международной службы вращения Земли (МСВЗ) [1]. В ряде практически важных задач, например, касающихся вопросов высокоточной навигации космических аппаратов, существенную роль может играть внутрисуточный прогноз движения земного полюса. Короткопе-риодические (с периодами от субсуточных до суток) регулярные колебания и нерегулярные флуктуации мгновенной оси вращения обусловлены как небес-номеханическими (лунно-солнечные гравитационно-приливные моменты сил), так и различными геофизическими факторами (атмосферные, океанические, сезонные и многие другие).

Дифференциальные уравнения колебательного движения земного полюса на внутрисуточных интервалах времени могут быть получены из ди-

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

намических уравнений Эйлера—Лиувилля пространственного варианта задачи "деформируемая Земля—Луна" в поле притяжения Солнца [3, 4]:

1 + Ха + к/0 ]Р + (1 + Хв) Я =

= к/

йг

+ ыр1(О, 1,п), а

[ 1 + Хв + к/0 ] Я -

(1 + Ха )Р =

(1)

= -КрГ

+ Ир1(П, 1,п),

N = ¿МрМ^ 1 + Ха )(1 + Хв) = (0.84-0.85 , а = а * + 5 А, в = в * + 5 в, С = С * + 5 С,

Х = 5А Х = 5_в к = Чж к = Чж

ХА а*' в *' Р А * ' Я в *

Здесь ю = (р, q, г)Т — вектор угловой скорости в связанной с Землей системе координат; N — чандле-ровская частота; ю0 — среднее движение Земли по орбите вокруг Солнца; А*, В*, С* — эффективные главные центральные моменты инерции с учетом деформаций "замороженной" фигуры Земли; малые вариации тензора инерции 5/ (/, ]=р, q, г) содержат различные гармонические составляющие (зональные, тессеральные, секториальные), обусловленные возмущающим влиянием гравитационных приливов от Солнца и Луны и других факторов; хА, Хв, кр, кq — приливные горбы и выступы

соответственно; Мрр^д (О, I, п) — зависящие от переменных Эйлера (углов нутации 0, прецессии у и собственного вращения ф) и средних движений Земли и Луны удельные моменты лунно-солнечных гравитационно-приливных сил; О — долгота восходящего узла лунной орбиты; п — долгота перигея орбиты Луны; I — наклонение плоскости лунной орбиты к эклиптике.

Колебания компонент тензора инерции Земли зависят от многих факторов, таких как механические и физические параметры планеты, движение

2

2, 0

10

,-10

-10

0-

1-10

2003

2004

2005

2006 г. т

Рис. 1. Вариации коэффициента с2,0 при второй зональной гармонике на временном интервале 2003— 2005 гг.: точки — результаты спутниковых наблюдений; сплошная линия — вариации, выделенные из данных наблюдений параметров вращения Земли.

тензора инерции деформируемой Земли. Используемая процедура учета почти периодических колебаний согласно выражению

gvsin20 + gPqcos0sin0 ^ юo/(9), Ф = l Ф—o) ' gpq = (Psin ф + qC0s Ф> q

(2)

2 r,

0 ф

основана на совместном анализе кинематических и динамических уравнений Эйлера с привлечением данных РСДБ/GPS наблюдений и измерений. В выражении (2) через A обозначена амплитуда колебаний полюса Земли.

Дополнительное слагаемое внутрисуточного возмущающего момента записывается в виде

A MP9(Sj) = £ [ apq cos (ф + ) + h™ sin (ф + 9,)],(3)

приливообразующих тел, наблюдаемые крупномасштабные природные явления. Изменения во времени этих и других факторов (регулярные и нерегулярные колебания, флуктуации стохастического характера, вековые изменения) отражаются на вращательно-колебательных процессах Земли и ее параметрах вращения.

Так, годичные вариации моментов инерции и вращательно-колебательные движения Земли происходят синфазно. Функциональная зависимость Ыу = 5Ыу(0) может быть проиллюстрирована сопоставлением вариаций коэффициента С2 0 при второй зональной гармонике, выделенных из данных МСВЗ в рамках вращательно-колебательной модели Земли с результатами спутниковых наблюдений (рис. 1). Небесномеханические представления годичных колебаний полюса [3, 4] основаны на учете гравитационно-приливного момента сил и его комбинационной структуры, зависящей от угла нутации 0. При этом годичные компоненты

М^ момента гравитационно-приливных сил от Солнца составляют вектор, вращающийся в связанной системе координат с угловой скоростью среднего движения Земли по орбите вокруг Солнца.

Внутрисуточные колебания параметров вращения Земли (ПВЗ) наиболее детально отражают динамические процессы, приводящие к значимым изменениям как в ПВЗ, так и в геофизических явлениях, а задача наблюдения, идентификации и амплитудно-частотного анализа высокочастотных колебаний ПВЗ представляет значительные трудности.

2. Численно-аналитический подход в решении уравнений (1) допускает уточнение выражения гравитационно-приливного момента правой части (1) на внутригодовых интервалах времени. Дополнительные слагаемые ДМрд(Оу) с неизвестными частотами Оу (/) входят аддитивно в и обусловлены нестационарными возмущениями

где ар9, Ьр — неизвестные амплитуды колебаний.

Зависимость гравитационного потенциала Земли от времени определяется известным движением приливообразующих тел (Солнца и Луны) и функциями 9у(/), которые в линейном приближении находятся из наблюдений на коротком интервале времени.

Для описания внутрисуточных колебаний земного полюса примем следующие обозначения в разложении вариаций тензора инерции 5/у-:

5= 5 ¿У + 5 У + 5 ¿2ф) + ..., где 5 ¿2) — внутригодовые и межгодовые вариа-

ции;

5 j, 5 J,2ф) -

суточные и полусуточные ва-

риации.

Внутрисуточные вариации 5¿ф), 5¿2ф) содержат составляющие колебаний с комбинационными частотами V/ пространственного варианта задачи и частотами Оу, обусловленными нерегулярными возмущениями. Например, суточные колебания приливных выступов кр, кд представимы следующим образом:

кРФ) = £ A™ cos (ф + а,),

ÁV)

(4)

к qq = £ вф) cos (Ф+в,)

где амплитуды А(ф), В(ф) подлежат определению из наблюдений; фазы а, Р/ соответствуют компонентам приливообразующего геопотенциала. Следует отметить, что в отличие от случая регулярных колебаний приливного потенциала вязкоупругой пла-

неты, когда к

(ф) q

к рФ + п / 2) , функция к РФ) и к Г

принимаются существенно различными. Они могут содержать произволного вида наблюдаемые

Рис. 2. Интерполяция внутрисуточных колебаний координат хр, Ур земного полюса на интервале времени с 12.08.2008 г. по 24.08.2008 г. и прогноз на двое суток в сравнении с данными РСДБ-наблюдений. Здесь и на рис. 3, 4 точки — данные наблюдений, сплошная линия — теоретическая модель.

компоненты, которые аппроксимируются гармоническими составляющими с частотами &/. Полусуточные составляющие приливных коэффициентов — горбов и выступов — имеют аналогичный выражениям (4) вид.

Выражения координат земного полюса хр, ур в результате решения системы (1) представим в виде суммы

+ £ с)2ф) 008 ( 2 ф + а, + р;ф),

2 Фч

_ " (Ф) (2Ф) Хр — Хр + Хр + Хр ,

- (ф) (2 ф)

Ур = Ур + Ур + уР ,

(5)

где Хр, Ур — основная математическая модель колебаний земного полюса [3], а Хр), урф), Хрф), урф) — суточные и полусуточные слагаемые модели его высокочастотных колебаний:

Х

(ф)

= £ а\Ф) 008 (ф + V, + аф) +

Х

+ £ с)ф) 008 (ф + + р;),

1

урФ) = £ а(ф) 81п (ф + V, + аФ) +

I

+ £ 81п (ф + а,+р;),

1 (6) (ЭД = £ а(2 ф) 008 (2 ф + V, + а 2Ф) +

У? Ф) = £ Ь\^008 (2ф + V, + у Г) +

«.с2 ф)

+ £ й) 008 (2 ф + а, + 5, ).

1

На основе оценок слагаемых модели (6) главным образом коэффициенты кр, ^ определяют положение мгновенной оси деформируемой фигуры Земли. Между коэффициентами модели (6) существует структурное свойство, при котором

г (ф) (ф + п / 2)

будет выполняться равенство Ур = Хр .

3. Приведем результаты численного моделирования, выполненного на основе метода наименьших квадратов [5], в сравнении с высокоточными данными наблюдений и измерений МСВЗ и РСДБ-наблюдений [1].

На рис. 2 приведены интерполяция внутрисуточных колебаний координат хр, ур земного полюса на интервале времени с 12.08.2008 г. по 14.08.2008 г. и прогноз на двое суток в сравнении с данными РСДБ-наблюдений (здесь и далее координаты хр, ур измеряются в угловых миллисекундах).

Моделирование результирующей траектории земного полюса проводится независимо для основной модели (Хр, Ур) и модели его внутрисуточных колебаний (х^ф) + Хрф), У^ф) + Урф)) согласно (6).

Рис. 3. Интерполяция (с 12.08.2008 г. по 24.08.2008 г.) и прогноз (с 25.08.2008 г. по 26.08.2008 г.) координат земного полюса хр, ур.

Ур 380

370

360

350

340

292

294

296

298

300

Рис. 4. Интерполяция (с 12.08.2008 г. по 24.08.2008 г.) и прогноз (с 26.08.2008 г. по 26.08.2008 г.) траектории земного полюса.

х

Основная траектория полюса строится с помощью взвешенного метода наименьших квадратов

[5] на длительном интервале интерполяции, примыкающем к прогнозируемому интервалу. На рис. 3, 4 приведены интерполяция (с 12.08.2008 г. по 24.08.2008 г.) и прогноз (с 25.08.2008 г. по 26.08.2008 г.) координат земного полюса xp, ур и его траектории согласно разработанной модели

(6) в сравнении с данными наблюдений и и

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»