РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2014, том 59, № 3, с. 238-245
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.396.67
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕНЕРАЦИИ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЗОНАТОРЕ НА ОСНОВЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО КРИСТАЛЛА
© 2014 г. С. Е. Банков
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН Российская Федерация, 125009, Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7 E-mail: sbankov@yandex.ru Поступила в редакцию 10.09.2013 г.
Рассматривается электромагнитный кристалл в виде бесконечной по одной координате решетки металлических цилиндров, размещенных внутри плоского волновода. Исследуется резонатор, образованный путем внесения дефектов в виде сосредоточенных нелинейных конденсаторов, включенных в металлические цилиндры во внутренних бесконечных рядах электромагнитного кристалла. Проанализирован эффект генерации второй гармоники в таком резонаторе при его возбуждении основной волной плоского волновода. Предложена приближенная аналитическая модель структуры, основанная на разложении векторов напряжений на конденсаторах по собственным векторам матрицы взаимных проводимостей. В нулевом приближении получено аналитическое решение задачи, которое затем уточняется в первом приближении. Обсуждаются численные результаты, полученные с помощью предложенной модели.
Б01: 10.7868/80033849414030012
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Данная работа является продолжением исследования, опубликованного в работе [1], где нелинейный резонатор в электромагнитном кристалле (ЭМК) анализируется путем численного решения задачи методом последовательных приближений. Резонансный режим работы ЭМК является одним из частных режимов накопления, в которых малые реакции нелинейных элементов на внешнее воздействие складываются в фазе и в результате порождают большой отклик всей структуры в целом. В работах [2—5] рассмотрен режим пространственного синхронизма, который также относится к классу режимов накопления. Он возникает в ЭМК, когда выполняются определенные соотношения между постоянными распространениями волн в ЭМК на разных частотах.
В работах [2—5] отмечалось, что численная модель общего вида, в которой используется итерационная схема решения системы нелинейных уравнений, не всегда адекватно описывает режим пространственного синхронизма. Расходимость итерационного процесса возникает практически всегда, когда интенсивность внешнего воздействия превышает некоторый порог. Поэтому для корректного описания пространственного синхронизма в работах [4, 5] были предложены специальные модели, основанные на аналитическом преобразовании исходных систем нелинейных уравнений и последующем их приближенном решении.
Аналогичная ситуация описана в работе [1], в которой расходимость итерационного процесса отмечалась в окрестности резонансной частоты резонатора, где нелинейный эффект генерации второй гармоники имеет наибольшую интенсивность.
В данной работе решается задача построения аналитической модели нелинейного резонатора в ЭМК, структура которого описана в работе [1]. Там же приведена система нелинейных уравнений, описывающая резонатор. Основная идея аналитических преобразований состоит в переходе от уравнений относительно напряжений на конденсаторах, включенных в элементы ЭМК, к уравнениям для амплитуд собственных колебаний резонатора. Применение понятия собственного колебания высокодобротной системы позволяет аналитически в явном виде описать ее резонансную природу и за счет этого упростить численное решение уравнений. Как показало исследование, новая система уравнений сходится весьма быстро и уже нулевое приближение дает весьма точный результат. В предлагаемой работе получено решение нулевого приближения, которое затем будет уточнено в первом приближении.
2. СТРУКТУРА И ИСХОДНАЯ МОДЕЛЬ НЕЛИНЕЙНОГО РЕЗОНАТОРА
Структура и модель нелинейного резонатора, как отмечалось выше, представлены в работе [1], поэтому приведем их без подробного обсуждения.
О о
о о о
ООО
Ру,
о о о о
-е—©—е-
о о о
ООО ООО ООО
м
1 ... Мс1 1
мг 1
м
с2
Рис. 1. Исследуемая структура.
Исследуемая структура показана на рис. 1, которая состоит из решетки металлических цилиндров. Число цилиндров по оси 0у бесконечно и ограничено по оси 0х. Внутреннюю по оси 0х область формируют цилиндры с нелинейными емкостями Сгп, п = 1,...,Мг, где Мг — число слоев в резонансной области. Области справа и слева от резонансной области имеют Мс1 и Мс2 слоев цилиндров без конденсаторов. Они выполняют роль областей связи резонатора с внешней схемой.
Для простоты построения математической модели будем считать, что в эти цилиндры также включены конденсаторы, но их емкости стремятся к бесконечности, а сопротивления стремятся к нулю. Общее число элементов ЭМК по оси 0х равно М.
Роль внешней схемы выполняет плоский волновод (ПВ) высотой к, в котором располагается решетка цилиндров радиусом Я. В ПВ распространяется основная Г-волна, не имеющая частоты отсечки. Наряду с ней при определенных условиях в ПВ могут распространяться высшие типы волн. Предполагаем, что нет условий для их распространения как на основной, так и на удвоенной частоте. В нашем случае Г-волны являются источником возбуждения ЭМК. Пусть для определенности возбуждающая плоская волна набегает на
ЭМК слева (см. рис. 1). При этом она может распространяться в плоскости ХОУ под углом ф относительно оси 0х. Угол ф имеет смысл угла падения.
Реакция исследуемой структуры на возбуждающее воздействие также имеет вид плоских Г-волн ПВ, бегущих от резонатора. Волны в области х < 0 являются отраженными, а волны в области х > 0 — прошедшими. Их амплитуды связаны с амплитудой падающей волны через коэффициенты отражения Яп и прохождения Тп, где п — номер гармоники основной частоты. Наличие отраженных и прошедших волн на гармониках основной частоты — следствие нелинейности структуры.
В резонаторе без тепловых потерь коэффициенты отражения и прохождения удовлетворяют условию энергетического баланса:
1(1
п=1
Я„
= 1.
(1)
Приведем основные соотношения, составляющие математическую модель резонатора:
ц и)
=
¥у = Ъ^Ь - , $0у = аД V
0у>
х
X
где
2п№(2)(^ кур(£у к)
iWo
ь = -
н02)(М) 2пК //,'2'(М)
(3)
V,», р
iWohH02)(куК)' = 11 - * „) 5„
+
+
йуку^! 2i ^ ехр(-» - р у)(( - 5 )
4 РУ
V, = 1 -П 1п|Ь|-Р ^ I —
РУ »=-т ».V И У
2п»
(4)
I ».V
- к2
Р^ = в
В уравнении (2) под Ц (иц)
понимается нели-
нейный оператор, связывающий гармоники тока с гармониками напряжения на нелинейных емкостях. В общем случае он имеет следующий вид:
*пу = т \с„УМУ„«)ехр(-т№,
N
(5)
к»(0 = X и»,» ехр(гю/),
0,V
РУ
р0^ ^р0, V = -Nv,..., NV, 5»,р — символ Кронекера, W0 — волновое сопротивление среды внутри ПВ, ку — волновое число свободного пространства на частоте / = V/, Рху — периоды решетки ЭМК, Nv — номер максимальной гармоники основной частоты, учитываемой в решении, V — номер гармоники основной частоты, /0(х) — функция Бесселя нулевого порядка,
н02)(х) — функции Ганкеля 2-го рода нулевого и первого порядков. Индексыр, п описывают положение элемента ЭМК по оси 0х. Векторы / и и имеют размерность, равную М. Их элементами соответственно являются токи, текущие по цилиндрам ЭМК, и напряжения на нелинейных емкостях.
Вектор Ei имеет такую же размерность, а его элементами являются напряженности компоненты поля Ег падающей волны в центрах цилиндров ЭМК. При выводе соотношений (2)—(4) принято во внимание, что в силу периодичности ЭМК по оси 0у все электродинамические параметры имеют экспоненциальную зависимость от индекса т:
ехр(—р0Л,жРу).
Индекс т описывает положение центра элемента ЭМК по оси 0у. Волновое число р0 задается падающей волной, поле которой описывается следующим образом:
Е= в1 ехр(—р0у - ¿к0х),
К = Vк2 -р2,
г1 — амплитуда электрического поля падающей волны. Полезно также ввести напряжение падающей волны и1 = в^.
где С»,» = 1,..., М — емкости конденсаторов, зависящие в общем случае от напряжения. Целесообразно также ввести конденсаторы и в резонансной области С», » = 1,..., Мг.
Благодаря оператору Ц (и^) система уравнений (2) становится нелинейной системой, которую в общем случае можно решить только численными методами. В данной работе для ее решения использован метод последовательных приближений. В качестве нулевого приближения взято решение линейной задачи при К»(0 = и»,0, где и»,0 — постоянная составляющая напряжения на емкости. Она задается внешним источником смещения и определяет среднее значение емкости С».
Зависимость емкости от напряжения взята нами в следующем виде:
С(и) =
С0
1 + и
(6)
V
Соотношение (6) соответствует зависимости емкости от напряжения СВЧ полупроводникового диода [6], V — напряжение пробоя диода.
3. ВЫВОД И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО АМПЛИТУД СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Преобразуем систему уравнений (2) следующим образом. Введем новые векторы: и> и иоу,
где вектор и> содержит напряжения на емкостях в резонансной области. Он имеет размерность Мг. Вектор иоу состоит из напряжений на элементах ЭМК в двух областях связи. Он имеет размерность Мс = Мс( + Мс2. Таким образом, временно допускаем наличие в элементах связи сосредоточенных конденсаторов, на которых наблюдается падение напряжения. В окончательных выражениях устремим их проводимости к бесконечности, что эквивалентно удалению конденсаторов из областей связи.
а
V
0
Относительно новых переменных система (2) имеет следующий вид:
L (Uo,| ) Yo,o,VUo,V + Yo,i,vUi,v + Jo,v, LV (U,|) — X,oAv + Yi,i,vUi,v + Ji,v,
(7)
где 1оу и — векторы, описывающие внешнее воздействие на элементы ЭМК, расположенные в областях связи и в резонансной области соответственно. В них входят компоненты исходного
вектора из системы (2). Матрицы Уо
%о0у, являются блоками матрицы
Y
o,o,v o,i,v>
Yv =
(8)
У У У- У ■
Устремим далее емкости конденсаторов в элементах связи к бесконечности. В этом случае напряжения на них обратятся в нуль. Поэтому в
пределе вектор также будет равен нулю:
Uo„ = 0.
(9)
(11)
Lv (% ) = Lv (U,M )+YUv,
Lv (U,H ) = Lv (% )- Yvûv,
(12)
где YV — диагональная матрица, составленная из проводимостей емкостей C'rn.
Im(l)
0.0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.