МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008
УДК 539.3.534.1
© 2008 г. А.Г. БАГДОЕВ, А.В. ВАРДАНЯН
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЧАСТОТ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ПЛАСТИН С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬЮ В ПОПЕРЕЧНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕННОМ ПОДХОДЕ
Задача колебаний магнитоупругих ферромагнитных пластин в осреднен-ном подходе, т.е. на основе классической гипотезы Кирхгофа, изучена в [15]. В [6-10] рассмотрен новый пространственный подход, предложенный для упругих пластин в [11], для вывода дисперсионных соотношений магнитоупругих пластин. В [10] пространственным подходом получены частоты колебаний ферромагнитных пластин, причем для случая поперечного магнитного поля записаны уравнения возмущенного движения пластин с учетом начальных напряжений [5], [12], но без учета начальных деформаций. В [13, 14] рассмотрены вопросы колебаний электропроводящих пластин в магнитном поле.
В настоящей статье выведены асимптотические для малых магнитных полей и точные для произвольных магнитных полей дисперсионные уравнения в случае начальных деформаций и напряжений, связанных законом Гука. Проведены соответствующие численные расчеты.
1. Вывод дисперсионного соотношения в случае поперечного начального магнитного поля. Выберем ось х вдоль средней линии пластины, ось г в перпендикулярном к ней направлении. Границы невозмущеной пластины записываются в виде г = +Й/2. Вне
пластины имеется диэлектрик с магнитным полем Не). Поле в пластине обозначено через Н.
Начальное магнитное поле в пластине имеет вид Н°х = 0, Н0 = Н0, Н = Н0, а в ди-
тт0( е) г\ тт0( е) тт 1
электрике - Нх = 0, Нг = |Н0, где | - есть магнитная проницаемость % = || - 1.
Левые части уравнений движения в пластине имеют вид [5]:
дй; \ д
д xk \°ik + °kmd x„ ) д Xi
д ü; д Ы;
f -л -л H\
;
°;k + О
V
°;k + °kmдX- + °kmдX-
(1.1)
где по повторяющимся индексам проводится суммирование от 1 до 2, и в правой части введены возмущения ал, ди/дхк согласно
= + д иг Iд Хт = д иН/ д Хт + Хт С1.2)
Индекс Н соответствует начальным величинам, произведенным магнитным полем Н0. Обозначим магнитное поле в пластине Н'х = Нх, Н'г = Н0 + Нг.
Пусть П есть компоненты тензора Максвелла в пластине, П^ - соответствующие величины в диэлектрике. Тогда можно записать [5]:
П^ = Цо(ЦН\Нк - Я'25^/2), Н0е) = цНо, П^ = -цН^/2
< = 0, пн = Ц0(ЦН20- н\/2)
ПН( е) = -Цо н0е) 2/2, е) = 0 .
ПгЯг( е) = Ц0 Н0е) 2/2, о^ = 0, огЯг = Ц0(Ц -1 )2 Н0/2
где ц0 есть магнитная постоянная. В последних двух соотношениях использованы граничные условия для начального состояния
т-тН „Н( е) Н „Н „Н( е) ,л
V + Пхг = , огг + Пгг = П^ (1.4)
Кроме того определяется согласно закону Гука [12]:
о^ = Коя, К = 1-2 Ь2/а2, ди^д г = оя/р0а2 (1.5)
где а и Ь - скорости упругих волн и сделано естественное предположение иН = 0. Уравнения движения в пластине согласно (1.1) имеют вид [5]:
дохх , дохг + оН д2их + 2оН д2 их + оНд2их + ц Н (дкх Э +
■ + оXX-Т + 20хг:ГЗ- + 0ггТГ + Ц0Н0[ 37 - 37 +
Эх Эг хх эх2 хгдXЭг гг дг2 [дг дх)
дкх д2их
+ ц0% Н0 аг: = р0 -т
дохг дОгг^Л 1 Н^ Н ^иг 0 Н ^иг Н^иг г + 1 +-+ О„-т + 2 о„ =-—=т- + о„ —4 +
(1.6)
_ . _ .. . . _ о I . о _ . 2 о _ . о__+
дх д г )[ р 0а2 гг) хх дх2 хгдхд г гг д г2
дкг д2иг
+ц0% Н0 эг- = р0 -2-
где р0 - плотность. В (1.6) следует подставить закон Гука. Кроме того, имеются уравнения электромагнитной индукции
дк д у-т ,
ду = дЦ ГОК ихН0) + V,,
22
д2 к + д2 к д х2 д г2
(1.7)
где В0 = ц0цН0, Ь1 = Ц0Цк, V, = 1/ц0оц - магнитная вязкость.
Решение уравнений ищется в виде квазимонохроматической волны
их, г = 1/2 их, г(г) е(кх - ш) + к.с., кх, г = 1/2Н0Нх, г(г) е(кх - ш) + к.с. (1.8)
где к.с. комплексно сопряженное выражение. Тогда из (1.6), (1.7) получаются уравнения
Ъ d2Ux 2 ы2 ;rdUz 1 а1 2„,2тг
-т - k Ux +-I Ux + k —ZX Kk Ux +
a
a dz 22
dz 2a2
1 ai 2d Ux ai fdHx aidHx
- —x —r- = - —I —--ikHzj - X^^
+ O -X
2a2 dz2 a2V dz zy a2 dz
- iraHx + vmk2Hx - vmd2Hx/dz2 = -mdUJdz
- iюHz + vmk2Hz - vmd2Hx/dz2 = -k® Ux
(1.9)
.,Z dUx k "¡fe
2
! a1 2
1 + —2 X
2a2
d U
dz2
2
Л a1 2
1 + —5 X
2a2
y U.Í, y y
22
- ^ k2Uz a
2
! a1 2 1 + —2 X
V 2a У
2
Шт-r 1И1 2 m 2 TT 11 ^ z ^ ^ z v л U 2
+ -Uz -.j-2X Kk Uz + '"""""гX -f = -X-1--Ü7; Z = 1-- a2 =
a a a dz a
2
ю\г 1 a2_2^,_2rr . 1 a2 _2d^Uz _a!dHz r , b¿ j ЦоH
.2" иг
= -х7' ^ = 1-~ "1 = " о
а "г а Ро
Для поперечного магнитного поля, следуя упругому случаю [11], имеем [6-8]:
Нх = С. еЬу^г, Нг = Dj V .г, их = и1 = А. еЬу^г
где проводится суммирование по ] от 1 до 3.
Из (1.9), (1.10) получаются соотношения для постоянных
(1.10)
IWV; ®k 2 2
C; = —^Bj, Dj = -—Bj, X; = - i® + k vm - vjvm
-} Xjj' j Xjj' j
B
2 2 2 2 2 2 2 Ъ v; 2 ю2 2 ai 2 2 a1 2 a!i®v
22 ,2 Ю 2 a1 2 21 2
- k + 2 - X — Kk + X —v j -
a 2a
o 2 j 2 X 2a a y
+B
2 2 2 2 a-irak-í a -1 ®v
- X . - X - X- .
a X j a X j
+ ikZvjAj = 0
(1.11)
ikty ¡В-
2
2 a1
1 + X — 2a2
+A
2
2 a1
1 + X
2a
2
Ъ2
2k
a
2
2 a1
1 + X
2a
2
ю + ----2--
a
/
2
+Aj
2
2 a1 2 2 a1 2 - X —Kk + x —v j
2a 2a j
a, ®k
- x4v-хB¡ = 0, j = !'23
Из (1.11) получатся уравнения для V.:
2 j
V V
v
2
т 2 a1
1+ X —
2a2
2
Ъ2
--1k a
f
2 Л
2 a1 1 + X — 2a2
V
2 2 2 ю 2 a1 2 a1 2 2
+ -~1- X —Kk + — X v j
a 2a 2a
/9 2 2 2 2 , 2 2 2\
Ъ 2 ,2 Ю2 2 a1 a1 2 2 v j -k +v jX a1
---2 V j - k + —- X —5 Kk +—2 XV j + j j
a
a
2a
2a
22
1- (k - v j) / 0 a
2
(1.12)
22 + z k v¡
2 \
1 + X
2a2
2 a1
1
X 2 2 2 a 1- (k - v2)/0y
x
Для малых а1 /а2:
2 0 Л 2 2 0 л 2 0 ,2 2,2 0 ,2 2,,
V! = V! + а1, V2 = V2 + Л2а2, V! = к - ю /а , V2 = к - ю /Ь
2 2,2
,2 2,,2
= X2
2^
К 2 ,2 Ю
2к - к + ~
а
1 - ю2/а2 0
Л2 = 2
2 2Ь2
„,2 Ю 1-.2
Кк + — - ;к
2
2ю к —-_
1 + X
1- ю2/(Ь20)
(1.13)
22
1 к: ^э = к С - 0 + X (к - 0 ) а-1 - -------0------- = ----------------------0---------------------- Ь2
В последнем уравнении (1.13) использована малость а1 и ю. Из (1.11) с учетом (1.13) имеем
А = В^
А1 = - ¡к
- 1 -
2
а1 2
_ X + ■
1 + X
2а" С а"С 1- ю2/(а20)
V
А2 =
-В----2--к--
IV-,
1+
22
2
2 ___ 2Х
Са21- ю2/(Ь20) а2С2а
(1.14)
¡А
э = к + Ь к
0
В 0 2 0 . 2 *. г. ,.2
Вэ vэ а vэк С, - 0 + Х(к - 0)
Граничные условия между пластиной и диэлектриком дают
о5п = - Пот, опп = ПП - Ппп (1.15)
где х, п выбраны вдоль касательной и нормали к пластине. В первом приближении
тн П н ) ди
" (1.16)
ос
. Н Н, диг т-г охг + (огг - охх)др П
Пхг+(Пгг - п хх) -д х
опп = огг -2оНгдиг/дх, Ппп = Пгг -2пНгдиг/дх
Граничные условия (1.15), (1.16) ставятся на поверхности пластины г = к/2:
2
йиг 2 а1
—* + Шг = -( 1- К)хф¡киг
iкВ;
(1.17)
9 9 о
1- (к2- v2)/0 а2
2а1 к X V12 = 0
Третье граничное условие получается из соотношений [8]: , , (e) дигТт Аe) , , (e) дФ
кх = К + X ¿Н кг = ц кг; кх = -¿■^хг
к(7е) = дФ/дг, д2 Ф / д х2 + д2 Ф/дг2 = 0
2
2
огг +
Записывая Ф = Ф(е)е'(кх юу)/2 + к.с., Ф(е) = /е к(г к/2) можно получить при г = к/2:
Нх = - ¡к/ + X ¡ки1, -к/ = ц Нг и исключая к/ и используя (1.10) получить
¡С} сЬ V1к- ц V1 к + kх А сЬ V12 = 0
где по 1 суммируется от 1 до 3.
Окончательные граничные условия при г = к/2, имеют вид
iBj
1- (k2 - v2) / 9
(v j ch v j h + ^ sh v j h] + k x Aj ch v j h = 0
(1.18)
Bv jch v J + ikAJch v jh+(1 - K )x22ai Ajch v 2 = 0
Ajv jsh v j 2
2
Л a1 2 2 a
+ ik
2
1-
2b_
2
a
2
! a1 2
1 + —^ x
2a2
(1.19)
x Bjsh v j - +
ikBj 2 a1 , h „
-— X -sh v j 2 = 0
1- (k- v2)/9 a2 J 2
2 2 2
Здесь в основных порядках множитель 1 + а1 х2/2a2 отбрасывается. Равенство нулю детерминанта запишем в виде
01
X1 X2
1- (k2- vs2)/9
v3ch v3h- + k|j. sh v3hj
v3ch V32- + i^ ch V3^
A3 h
X3 X4 B V3sh V3¿ + k
1-
2 b
2
/
sh v3h + A,
(1.20)
Qj
1- ю2/(a29)
h
h 1 a1 2
h
v:chv 1 ^ + kцshv^ + 2k^^X hchv^ ) + kx
B
q2 =
1- ю2/(b29)
v2chv2h- + kцshv2h- + 1k^^x2hchv2h- ] + kxA
22 2 a
* = x2
(k9b2) / a2
h
,2 n .
■sh v
(1.21)
Ск - 0 + х(к - 0)
Значения XI, 2, 3, 4 следуют из уравнений (1.20). Обозначая через х°, 2, э,4 значения х1 2 3 4 при а1 = 0, получим
2
о о о о _ b h
x1x4 - x2x3 = 2¡-
2 a k
4 ,2 2 ^ Ю h ,4Ю z
k ,2z
где использовано, что кк < 1.
6 Механика твердого тела, № 5
145
0
Столбцы в (1.21) можно поделить на еЬVI 2 3 к/2 соответственно, и при вычислении
2
членов с а1 в 2, 3, 4 заменить ШV! 2 к/2 ~ V!, 2к/2, тогда получится
Х1 = V1+ V1
1 + -101 х2 " 1 1 + X
2 с а2 а2С 1- ю2/ (а20)
1 - К 2 2 О + —г а1 X V 2Ь
Х2 = + -
VI
2
а1 1 + 1
_ £_ 2 2,.,2„' - 2~ 2Х
а С1- ю2/ (Ь 0) С а 2а
2 2 2 ^ 1- К 2 2 к
+ Т7Т а1 X -
у 2Ь v2
Хз =
2^
1 -2Ь_ 1 2
а
2
а1 2 1 + —2 X
2а
к. V + V1кkk■
2
1 а1 2 1 + 2- X
2 а
-1-
22 1 а1 2 а1 1 + X --; X +---
2£а2 а2^ 1- ю2/ (а20)J 12 1- ю2/(а20)а2
к
+ V -■ к -
X4 = ^222к ~2
2
л а1 2 1 + —5 X
2а
/
+ V
к I а1
22 [ а2С 1- ю2/(Ь20) а2С2а2
2 2 2 а1 Ь 2, , 2 а1 + ---Я X к + к X
а21- ю2/( Ь20)
Вычисление XlX4 - X2X3 с удерживанием величин основного порядка по а2 дает
Х4Х4 - X2Х-3
Ь к
( 4 ,2.4 2 ^
ю к к ю
ю2а?кк^ ■ '-2/~2
22 аЬ
2 а2 к 1 + Ь2/а
2 С
Ь4 3 Ь2 + X
22
Ь2 к2 С +
2 Са
20
(1.22)
ю2 а^к^2
2 2 2
аЬ
з„ л\ л 3Ь2 3 Ь2 Ь4 Ь6 - -■ К + 2— С - 1 + -- -—-;— + -- + --
, 2 0 2а2 2 с а2 2 а4 2Са6.
Следует отметить, что учет геометрических членов в уравнениях (1.1) и в граничных условиях внес поправку только в уравнениях (1.22) в коэффиценте при X2.
Аналогично [10] можно показать, что в остальных слагаемых в (1.20) следует полагать а2 = 0. Дисперсионное соотношение для рассматриваемой задачи имеет вид
2 2 л
ю = ю00-2а1к
22 1 + Ь / а
2
2С
+ X
2
Ьк — + С 0
2Са
-2 а? к2 Д
2 ^з К 2к- г -1 зЬ ь--1ь2 Ь. л
-2-К + (0 ^ - 2а2 + 2Са6_2Са2 + 2а4
2
+
+
Таблица 1
a/k 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0 0.00272166 0.00544331 0.00816497 0.0108866 0.0136083
1/1000 0.0023425 0.005125 0.0056321 0.0068732 0.0074235
1/100 0.00001232 0.000019 0.00002215 0.0000321 0.0000423
Таблица 2
a/k 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0 0.00272166 0.00544331 0.00816497 0.0108866 0.0136083
1/1000 0.1523345 0.1595623 0.16475457 0.1735478 0.1765798
1/100 1.4243576 1.4965789 1.55472645 1.6021789 1.7012478
+ 2 a!k2( k2|j-
1 + x
2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.