ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 1, с. 149-163
УДК 519.634
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СЕН-ВЕНАНА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ О РАСПАДЕ РАЗРЫВА НАД УСТУПОМ И СТУПЕНЬКОЙ ДНА1)
© 2014 г. О. В. Булатов
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail: dombulatov@mail.ru Поступила в редакцию 02.08.2013 г.
Построены аналитические решения уравнений Сен-Венана для пяти характерных задач о распаде разрыва над уступом и ступенькой дна. Эти аналитические решения использованы в качестве эталонных для оценки точности численного моделирования разрывных решений, полученных на основе регуляризованных уравнений мелкой воды. Библ. 18. Фиг. 12. Табл. 2.
Ключевые слова: квазигазодинамические и квазигидродинамические уравнения, регуляризо-ванные уравнения мелкой воды, метод конечного объема.
DOI: 10.7868/S0044466914010049
ВВЕДЕНИЕ
Уравнения гидродинамики в приближении "мелкой воды" (MB), или уравнения Сен-Венана для одномерного плоского течения в отсутствие внешних сил имеют вид
dh + dhu _ 0
dt dx (!)
2 2 V-*-/ dhu , dhu , d gh ,db --\---\--2— _ - gh —,
dt dx dx 2 dx
где h(x, t) — высота уровня жидкости над уровнем дна, b(x) — функция, описывающая форму дна, u(x, t) — скорость течения жидкости, см., например, [1]—[3].
Формально уравнения MB справедливы для случая, когда высота уровня жидкости много меньше характерных размеров задачи, и форма дна является достаточно гладкой функцией. Тем не менее задачи с разрывным профилем дна интенсивно изучаются в рамках приближения MB. Построение аналитических решений для таких задач достаточно трудоемко даже для плоских одномерных течений, и этим вопросам посвящена обширная литература (см., например, [4]—[8]). Аналитические решения служат как для оценки ситуаций, возникающих в ряде практических случаев, так и для тестирования численных алгоритмов, направленных для расчета таких течений. К подобным течениям относятся, в частности, течения на порогах шлюзов, течения при разрушении шлюзовых ворот или при переливах через гребень плотины (см. [9]), течения в узких морских проливах со сложной формой дна и ряд других задач.
Трудности при численном моделировании таких течений вызваны возникновением сложной конфигурации разрывов в решении, обусловленных как нелинейностью самих уравнений, так и разрывным профилем подстилающей поверхности.
В [6], [7], [9] предложены способы преодоления этих проблем путем выделения линии разрыва, связанной с положением границы уступа или ступеньки и модификации системы уравнений MB. Использование такого подхода делает численный алгоритм более точным, но лишает его однородности. Последнее не всегда удобно при расчетах практических задач. Другим способом решения поставленной задачи является использование двухслойных уравнений мелкой воды (см. [8]). Таким образом, построение удобного однородного численного алгоритма для реше-
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 13-01-00703).
ния задач с разрывами дна представляется актуальным. В этой связи в данной работе показано, что в качестве такого алгоритма можно использовать разностные схемы, основанные на регуля-ризованных уравнениях мелкой воды (РУМВ).
РУМВ были построены в [10], [11], [13] и оказались удобным способом численного моделирования широкого спектра течений со свободной поверхностью. РУМВ могут быть получены как баротропный аналог квазигазодинамических уравнений (см. [12]), и соответствующие численные методы решения РУМВ родственны по своей структуре алгоритмам, опробованным для квазигазодинамический уравнений. Расчет формирования уединенной волны в ветровом гидроканале представлен в [14]. В [15] решена задача о расчете нагрузок на стенки бака при колебаниях находящегося в нем слоя жидкости.
Данная работа продолжает выполненные ранее исследования и показывает возможности алгоритма РУМВ для моделирования задач о распаде разрыва над уступами и ступеньками дна. В качестве тестовых примеров выбрано пять задач, предложенных в [9]. Для них приведено построение автомодельных решений и показаны результаты соответствующих численных расчетов и проанализирована их точность.
1. СИСТЕМА РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИИ МВ И АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
Для численного решения системы уравнений (1) будем использовать регуляризованный вид этой системы в форме (см. [11])
ОН + = 0 д? дх
г 2
(2)
где
дНи+дъи + д1 Н = (/ - § ЩН -тдНи)+дп,
д? дх дх 2 \ дх/ \ дх ' дх'
т = ни - ч * = +Ф- /
Н\ дх дх
т-г , / ди д(Н + Ь) Л , I дН , , ди\ , ди П = тиН (и--+ g—-- - /) + тgН (и--+ Н—) + ц—,
\ дх дх ! \ дх дх! дх где т — малый параметр размерности времени, ц = ц(т) — коэффициент вязкости. При т = 0 и ц = 0 регуляризованные уравнения мелкой воды переходят в систему уравнений Сен-Венана (1). В случае ровного дна и отсутствия внешней силы / для системы РУМВ в [17] получено основное энергетическое тождество. Энтропийные свойства РУМВ для случая неровного дна и ненулевой внешней силы исследованы в [18]. В дальнейшем полагаем / = 0.
Разностный алгоритм решения уравнений мелкой воды строится с использованием центрально-разностной аппроксимации для всех пространственных производных системы (2), включая конвективные слагаемые. Для аппроксимации производной по времени используется явная схема. Нелинейные дополнительные слагаемые, отличающие регуляризованную систему уравнений МВ от уравнений Сен-Венана, рассматриваются как сглаживающие добавки. Коэффициент регуляризации т и коэффициент вязкости ц связывается с шагом пространственной сетки и вычисляется по формулам
Дх gН2
т = а—, ц = х2—, с 2
где с(х, ?) — локальная скорость распространения возмущений, которая выбирается в виде
с = \ и\ + Численный коэффициент а выбирается эмпирически из соображений точности и устойчивости разностной схемы, и, как показывает опыт численного моделирования широкого круга задач, находится в пределах [0.1, 0.9]. Условие устойчивости для этой схемы имеет вид условия Куранта
М = р— с
с числом Куранта 0 < р = р(а) < 1.
Таблица 1. Данные для различных вариантов тестовых задач
Тест bL, м Hl, м bR, м hR, м
1 3.0 7.0 0.0 0.01
2 3.0 7.0 0.0 1.0
3 3.0 7.0 0.0 4.0
4 0.0 10.0 3.0 0.2
5 0.0 10.0 3.0 2.0
Построенная схема проста в реализации, однородна, и, как показала практика ее применения, позволяет рассчитывать разнообразные течения в рамках приближения MB. Эта разностная схема используется в дальнейшем для получения численных решений задач о распаде разрыва над уступом и ступенькой дна.
2. ПОСТРОЕНИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ И ИХ СОПОСТАВЛЕНИЕ С РЕЗУЛЬТАТАМИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим решение одномерной задачи о распаде разрыва над ступенькой или уступом дна. Пусть в начальный момент времени жидкость покоится.
Любое решение задачи такого типа представляет собой комбинацию волн разрежения, ударных волн и стационарного разрыва (или скачка), расположенного на ступеньке. Известно, что таких комбинаций может быть множество. В частности, в [8] приводится 56 конфигураций решения для одномерного разрыва на ступеньке, для которых возможны, в частности, следующие конфигурации. Если жидкость стекает со ступеньки, то в левой области может располагаться волна разрежения, а в правой волна разрежения с ударной волной или две ударные волны. Причем в последнем случае ударные волны могут быть правыми (распространяться направо), или может формироваться левая и правая ударные волны. Конкретный вид этих конфигураций решения зависит от начальных данных. Информация о конкретном виде конфигурации решения существенно упрощает его аналитическое построение. Нужную информацию можно получить либо опираясь на уже изученные задачи, либо используя численное решение задачи по приведенному выше алгоритму.
Для получения численного решения задачи используется описанная выше разностная схема, основанная на РУМВ. Длина рассматриваемого канала составляет 100 м. Разрыв расположен в точке с координатой x = 50 м. Начальные данные слева и справа от разрыва для рассматриваемых далее тестовых случаев приведены в табл. 1.
Для разных вариантов величины а, ß выбираются индивидуально. Величина а выбирается из диапазона 0.1 < а < 0.9. В первом варианте ß = 0.01, в остальных случаях число Куранта составляло ß = 0.1. Практика расчетов показывает, что увеличение коэффициента а приводит к сглаживанию численного решения, а его уменьшение до определенных значений сначала приводит к появлению осцилляций вблизи разрывов, а в дальнейшем и к разрушению численного решения. Ослабление этих негативных эффектов достигается путем уменьшения числа Куранта.
Расчеты всех вариантов проведены на четырех сгущающихся сетках А x = 0. 1 м, 0.05 м, 0.025 м, 0.0125 м с числом узлов, соответственно, 1000, 2000, 4000 и 8000. На всех приведенных далее рисунках представлены расчеты на сетке 2000 ячеек с шагом А x = 0. 05 м. Результаты всех расчетов представлены на момент времени tout = 2 с.
Далее для пяти характерных тестов приведено построение аналитических решений и их сопоставление с результатами численного моделирования. Первый вариант построения аналитического решения изложен достаточно подробно, остальные варианты строятся аналогично, и их изложение приведено кратко.
2.1. Тест 1
Рассматриваемый нами случай (hL = 7 м, hR = 0.01 м, bL = 3 м, u = 0 м/с) относится к изученному в [1], [2] типу решений. Схематичное изображение конфигурации решения представлено
Фиг. 1. Схематическое изображение решения первого варианта задачи. Распределение высоты жидкости для разрыва над ступенькой высотой Ъ^ = 3 м.
на фиг. 1, где разрыв помещен в точку х = 50 м. Здесь и далее на схемах 2, = к + Ъ — высота уровня жидкости, включая отметку дна. Через N обозначена скорость правой ударной волны.
Обозначим через к', и' значения величин слева от стационарного разрыва на ступеньке, а через к1, и1 — значения справа от разрыва на ступеньке. Для этих величин на разрыве над ступенькой выполняются законы сохранения массы и полной энергии
к' и' = к1и1,
к■+и:!+ъь = к + (3)
2я 1
В области [х1, х 2] располагается волна разрежения, которая описывается автомодель
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.