МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. В. М. АЛЕКСАНДРОВ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ДЛЯ ТЕЛ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ С НЕСОБСТВЕННО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Рассматриваются упругие тела конечных размеров, поверхность которых состоит из кусков координатных поверхностей. На одном из этих кусков могут быть заданы граничные условия, отличные от граничных условий на других частях. Такие задачи называются несобственно смешанными. Дан обзор аналитических методов решения таких задач.
Ключевые слова: механика контактных взаимодействий, тела конечных размеров.
1. Введение. Напомним определение [1]: "Пусть тело ограничено конечным числом гладких поверхностей — граней тела. Если хотя бы на одной из граней граничные условия являются смешанными, задачу назовем собственно смешанной. Если же ни на одной из граней эти условия не являются смешанными, разнясь между собой на различных гранях, то задачу назовем несобственно смешанной. Это различие не просто формально. Оно связано с методами решения."
За последние пятьдесят лет получили больщое развитие аналитические методы решения собственно смешанных задач для полубесконечных упругих тел, таких как слой, полоса, цилиндр, клин. В этой связи прежде всего следует отметить асимптотические методы и метод ортогональных многочленов [1, 2]. В то же время аналитические методы решения собственно смешанных задач для упругих тел конечных размеров еще слабо развиты. Данная работа посвящена обзору известных аналитических методов решения собственно смешанных задач теории упругости для тел конечных размеров. В работе также изложен ряд новых результатов, полученных в этом направлении автором.
2. Метод сечений. Далее предполагается, что поверхности, ограничивающие упругое тело, являются координатными поверхностями в тех или иных ортогональных системах координат. При этом на одной или нескольких координатных поверхностях заданы смешанные граничные условия. Задачи такого типа возникают при изучении контактных явлений (контактные задачи), а также в тех случаях, когда деформируемое тело содержит разрезы (щели) или плоские инородные включения (накладки).
Наиболее старым аналитическим методом решения таких задач является метод сечений и последующего склеивания. Одним из характерных примеров использования этого метода является работа [3]. Деформируемое тело рассекается поверхностями, которые также являются координатными. В местах сечений вводятся в рассмотрение неизвестные реактивные нагрузки. Сечения проводятся таким образом, чтобы граничные условия для получившихся в результате рассечения отдельных упругих тел были либо несмешанными, либо несобственно смешанными. Эти отдельные задачи, как правило, достаточно просто решаются аналитически. Затем производится склеивание отдельных решений по поверхностям сечений, что в конечном итоге сводит первоначальную собственно смешанную задачу к одной или нескольким зависимым бесконечным алгебраическим системам. Для этих систем обычно удается доказать квази-
вполне регулярность. Использование метода редукции при численном решении бесконечных систем показывает слабую сходимость метода сечений.
3. Метод анализа парных рядов. Широкий класс смешанных задач для тел конечных размеров сводится после применения интегральных преобразований с конечными пределами к парным рядам вида
£ ОкК(ык)у(ык, X) = /(х) (с < х < й)
к=0 (3.1)
£ Оку(ык, х) = 0 (а < х < с, й < х < Ь)
к=0
где у(ык, х) — некоторая система ортогональных с весом г-1(х) функций на отрезке а < х < Ь, {ык} ^ ж монотонно при к ^ да.
В настоящее время получили распространение два основных метода решения парных рядов вида (3.1). Каждый из них в конечном счете сводит парный ряд к бесконечной алгебраической системе. Однако получаемые бесконечные системы эффективно решаются методом редукции в различных взаимно дополняющих друг друга областях изменения безразмерных геометрических параметров.
Первый метод базируется на том, что в ряде случаев известно точное решение некоторого парного ряда
X ОкР(Ык)у(Ык, х) = я(х) (с < х < й)
к=0 (3.2)
X 0ку(ык, х) = 0 (а < х < Ь, й < х < Ь)
к=0
т.е. известен некоторый однородный аддитивный оператор А{А0,Аь ...} такой, что
Оп = Ап& (3.3)
Указанное обстоятельство всегда имеет место, если р(ык) = 1, а также в ряде случаев,
п ^ 1
когда р = ык ,п > -1.
На основании (3.2), (3.3) парный ряд (3.1) легко сводится к бесконечной алгебраической системе вида
Оп = Ап[/(х)] + £ [р(ык) - К (ык )]Ап[у(ык, х)]Ок (3.4)
к=0
При условии К(ы) ^ р(ы), когда ы ^ да, система (3.4) будет, что обычно можно показать в каждом конкретном случае, вполне регулярной в том или ином диапазоне изменения указанных выше безразмерных геометрических параметров. Одним из примеров использования описанного метода является работа [4].
Второй метод решения парных рядов вида (3.1) для случая, когда р-1(ык )К(ык) — четная мероморфная функция, изложен в работах автора [6, 7]. Суть метода состоит в применении к первому соотношению (1.1) такого интегродифференциального оператора бесконечного порядка, что указанное соотношение принимает вид
ад ад
X ОкР(ык)у(ык,х) = К-1(!)/(х) + X БпГп(х) (3.5)
к=0 п=0
Здесь 12 = Ь, где Ь — дифференциальный оператор второго порядка, причем Ьу = и2у, а /п(х) — функции, родственные с у(ик, х). Теперь с учетом (3.3) из (3.5) и второго соотношения (3.2) находятся Qk. Постоянные Вп в свою очередь определяются из бесконечной алгебраической системы с матрицей коэффициентов типа
=-Ц- + Ъкп, ^ ^ 1 (п ^ о), Ькп ^ 0 (к + п ^ о) (3.6)
Ук-оп оп
Главная (сингулярная) часть матрицы точно обращается путем решения некоторого интегрального уравнения Винера—Хопфа [2]. Получаемая после этого бесконечная алгебраическая система относительно Вп в некотором диапазоне изменения безразмерных геометрических параметров является вполне регулярной.
4. Метод однородных решений. В ряде случаев одну или несколько координатных поверхностей, ограничивающих упругое тело, можно продолжить до бесконечности, получив таким образом соответствующее бесконечное тело. Метод кусочно-однородных решений [8] базируется на построении функций фк, точно удовлетворяющих уравнениям теории упругости и смешанным (с одной линией раздела) однородным граничным условиям для указанного выше бесконечного тела. Затем при помощи системы таких функций можно удовлетворить граничным условиям на остальных (не распространявшихся до бесконечности) поверхностях рассматриваемого конечного упругого тела. В итоге получается относительно коэффициентов Хк разложения решения в ряд по функциям фк бесконечная алгебраическая система вида
ад
Хк + X акпХп = Ьк (4.1)
п=1
Важным достоинством метода является тот факт, что для коэффициентов матрицы системы (4.1) справедлива оценка
акп = 0(еМк+п)), е> 0 (4.2)
Благодаря этому система (4.1) поддается эффективному решению и всестороннему исследованию, основанному на теории нормальных систем Пуанкаре—Коха.
Автором [9] применительно к собственно смешанным задачам для тел конечных размеров развит метод однородных решений. Как и выше, координатные поверхности, ограничивающие тело, на которых заданы смешанные условия, продолжаются в бесконечность. Затем решение задач для тела конечных размеров ищется в форме суперпозиции решения неоднородной несмешанной задачи о равновесии полученного тела бесконечных размеров (его, как правило, удается построить в замкнутом виде путем использования того или иного интегрального преобразования) и соответствующих однородных решений для тела бесконечных размеров. Удовлетворяя теперь смешанным граничным условиям, получим одно или несколько интегральных уравнений вида
да
IР№ = /(Р) + X ДКРк(Р), Р е П (4.3)
О к=1
Здесь /(Р) — заданная на границе функция, фк (Р) — функции, связанные с однородными решениями. Удовлетворяя граничным условиям на непродолжавшихся до бесконечности координатных поверхностях тела, получим бесконечную алгебраическую систему относительно постоянных Ак.
Предложенный метод является более универсальным, чем метод кусочно-однородных решений, ибо он применим к изучению более широкого класса смешанных задач
теории упругости для тел конечных размеров. Вместе с тем предложенный метод сохраняет основное достоинство метода кусочно-однородных решений, поскольку матрица коэффициентов бесконечной системы для определения Ак обладает свойством (4.2). Кроме того, следует отметить, что интегральное уравнение (4.3) отличается от интегрального уравнения соответствующей смешанной задачи для вышеуказанного тела бесконечных размеров лишь наличием бесконечной суммы в правой части, которая, по сути дела, и учитывает конечность границ тела. В силу сказанного, на этапе приближенного решения уравнения (4.3) может быть использован весь арсенал надежных и эффективных методов (например асимптотических), предназначенных для исследования смешанных задач для тел бесконечных размеров.
5. Метод ортогональных многочленов. Заметим, что собственно смешанные задачи для тел конечных размеров в ряде случаев оказывается возможным свести к интегральным уравнениям первого рода типа [10]:
J 9©K(b, Е, - x)d $ = nf(x) (|x|< a < n, b > 0)
ад / \
K(b, t) = 1 X — L (— ) eiUkt, L(u) = -L(-u), |L(u)| < m
2, uk
(5.1)
L(u) = 1 + O(u-1)(и ^ да), L(u) = Au + O(u3)(и ^ 0)
причем встречаются два варианта: ^ = 1С - 1/2 и uk = К. Используя известные ряды
X ukl cos ukt = -ln |tg t/4|, uk = k - 1/2
k=1
X uk cos ukt = - ln |2 sin t/22, uk = k k=1
Представим интегральное уравнение (5.1) в формах
(5.2)
- J <№ln
-a a
- J Ф© ln
tg x) 4
d $ = itf (x) + J <№FM- x)d\
2smi(E- x) 2
d\ = nf(x) + J <?(№№- x)d£,
(5.3)
Функции Fl(b, () и t), по крайней мере, непрерывны при всех | < M < да.
Для решения уравнений вида (5.3) может быть, как показано в [10], с успехом применен метод ортогональных многочленов. Помимо спектральных соотношений, использованных в [10], может в ряде случаев оказаться полезным также следующее
- 1
T2M(QQ
= ln
tg ^ x) 4
№)d \ = T2i+i(Q x) 2i +1
(5.4)
0 x =in-Z] (1 -Z) 1 P(x) = n + n = cos x, Z = cos a
V n) n 22
Здесь T (x) — полиномы Чебышева первого
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.