ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 1, 2015
УДК 621.391;629.78
© 2015 г. С. В. Соколов
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НАВИГАЦИИ
Рассматривается синтез аналитических пространственных моделей траекторий, позволяющих минимизировать состав измерительного комплекса и вычислительные затраты при решении задач навигации.
Подавляющее большинство существующих навигационных алгоритмов формируются, в основном, или на основе дифференциальной модели объекта [1], или на основе уравнений ошибок навигационных систем [2, 3]. Оба случая предполагают априорную информацию об изменении траектории объекта во времени, что для подавляющего большинства подвижных объектов возможно лишь с весьма ограниченной точностью и на небольших интервалах времени. Последнее обстоятельство приводит, в свою очередь, к значительным ошибкам навигационных систем на длительном интервале движения. В то же время для навигации широкого класса объектов (железнодорожного, автомобильного, авиационного и пр. транспорта), движущихся по заранее известным с высокой точностью пространственным траекториям (железным дорогам, автострадам и пр.), возможно использование пространственных моделей пути, существенно упрощающих решение навигационной задачи и повышающих ее точность. При этом следует подчеркнуть, что такие модели формируются на основе геодезических измерений или соответствующей картографической информации и инвариантны к характеру движения объекта и виду его физической модели.
Цель статьи — исследование возможностей синтеза аналитических пространственных (трехмерных) моделей пути на основе адекватных допущений о траектории пути и возможностей их применения при решении навигационной задачи с целью сокращения аппаратурного состава измерительного комплекса и вычислительных затрат, а также повышения точности. Рассматривается синтез пространственных моделей пути для сферической (разд.1) и сфероидальной (разд.2) моделей Земли.
1. Синтез пространственных моделей пути для сферической модели Земли. Основные уравнения навигации на земном шаре, исходные для построения искомых пространственных моделей, как известно, имеют вид [3,4]
Х =
, ф = (r + ^}ео8ф r + h
- Y
h = Vz
(1.1)
где X — текущая долгота объекта, ф — текущая широта, к — высота, Ух, Уу, Ух — проекции скорости объекта на оси географической системы координат, г — радиус Земли.
Для решения задачи синтеза пространственных моделей пути примем предварительно допущение о постоянстве и известности угла ориентации траектории пути относительно местного меридиана (азимутального угла) А в заданных пределах изменения географических координат на сфере Земли. (На практике это допущение выполняется в подавляющем большинстве случаев с высокой точностью и в достаточно существенных пределах изменения путевых координат.) В этом случае двумерная параметрическая модель пути — модель зависимости долготы от широты на участке постоянного азимутального угла А, называемая локсодромической, имеет вид [4]
Щ) = Х о + tgA 1п(Р£(ф)); =
«( ф+п)
P =
1
£(Ф о)
= const
(1.2)
Х0 — начальное значение долготы участка пути с постоянным известным азимутальным углом А, ф0 — начальное значение его широты.
Очевидно, что такая модель может быть использована только при описании движения по поверхности Земли, поэтому для формирования трехмерной пространственной модели пути рассмотрим далее построение модели изменения высоты пути в функции географических координат. При построении зависимости высоты от географических координат используем второе допущение, также адекватное практике прокладки железных и автомобильных дорог, формирования траекторий полета различных авиасредств и т.д.: допущение об априорной известности и постоянстве (в заданных пределах изменения координат пути) угла наклона пути 9 относительно плоскости горизонта.
Синтез аналитической параметрической модели зависимости высоты от изменения широты места при сделанных допущениях проведем, используя приведенные выше два последних уравнения (1.1).
Проекции линейной скорости VY и VZ при учете принятых допущений могут быть определены здесь так:
VZ = \V\ sin 9, VY = \V\ cos 9 cos A, \V\ = ^jvf+vf+v^, A, 9 = const (1.3)
Тогда, разделив уравнение высоты на уравнение широты, имеем уравнение
dh = {r +
dф cos A
которое легко интегрируется методом разделения переменных, и в результате находим искомую аналитическую модель высоты в зависимости от изменения широты объекта
h = (r + h0)exp
(Ф-Фо)
.cos A
- r (1.4)
где ^ и ф0 — начальные значения высоты и широты на участке постоянных углов: азимутального угла А и угла наклона пути 0.
Полученные параметрические модели пути X = Х(ф), Н = Н(ф) — трехмерные. Они позволяют, во-первых, строить различные более простые аппроксимации пространственных моделей пути для бортовых вычислителей средней мощности, во-вторых, резко повысить точность решения навигационной задачи за счет возможности аналитического решения основных уравнений навигации и, в-третьих, сократить состав измерителей навигационной информации, так как определение только одного навигационного параметра — широты, решает навигационную задачу в целом.
Определение широты, в свою очередь, может быть достигнуто различными известными методами — астрономическими, геодезическими и т.д. [1, 3—5]. Ниже рассмотрим, как вариант, возможность ее определения на основе измерения модуля скорости объекта, что может быть реализовано с помощью уже существующих достаточно точных измерителей, в частности, инерциальных [2, 3].
При подстановке выражения (1.4) в уравнение широты (1.1) имеем уравнение
Ф = Vy ((r + h))exp
(Ф-Фо)
.cos A
которое при учете возможности представления в данном случае проекции линейной скорости объекта на ось Y в виде второго равенства (1.3) легко интегрируется методом
разделения переменных и позволяет получить временную зависимость широты объекта от интеграла модуля его линейной скорости (т.е. пройденного пути S) в явном виде
ф = ф0 + ctg9 cos A ln(1 + (r + h0)-1 sin 95) (1.5)
Приведенные зависимости (1.2), (1.4) и (1.5) позволяют легко найти (при сделанных допущениях об априорной известности и постоянстве азимутального угла А и угла наклона пути 9) аналитическое решение навигационной задачи при известной динамике изменения модуля скорости объекта.
Таким образом, в данном случае для позиционирования объекта достаточно иметь результаты измерения или модуля скорости, или пройденного пути, т.е. состав измерительного комплекса оказывается минимальным.
При невозможности использования локсодромической модели зависимости долготы от широты (А Ф consté, аналитическую модель зависимости высоты от широты можно построить следующим образом. Пусть аналитическая двумерная параметрическая модель пути Цф) задана известной функциональной зависимостью
Цф) = Л(Р, Ф) (1.6)
где Р — вектор известных постоянных параметров. Дифференцируя обе части этого равенства по времени, имеем уравнение, подставляя в которое выражения для производных Á. и ф из соответствующих уравнений системы (1.1), получим уравнение связи проекций линейной скорости
^ = Л V(P, 9)cos ф; Л v(P, ф) = дЛ(р^ (1.7)
VY дф
Разделив аналогично предыдущему уравнение высоты на уравнение широты, имеем уравнение
dh ¡ , ,\VZ = (r + h)-A
dф VY
которое при учете уравнения (1.7) и вытекающего из него соотношения
V-Z = tgW (л p(P' ^)cos ф)2 + 1
VY
приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
После интегрирования получаем искомую зависимость высоты от широты
h(ф) = (r + h0) exp
tg9 ^(ЛV(P, ф) cos ф)2 + 1 dф
Фо
- r (1.8)
Рассматриваемая модель отвечает самой общей зависимости высоты пути от широты места в силу использования общей зависимости (1.6) (нетрудно заметить, что при допущении А = const полученная зависимость соответствует модели (1.4)). Но так как в общем случае формирование аналитического выражения (1.8) не представляется возможным, то, учитывая, что во многих практических случаях постоянство угла 9 сохраняется лишь на сравнительно небольших интервалах движения и широта при этом изменяется незначительно, в качестве одного из вариантов построения зависимости й(ф) можно использовать разложение подынтегрального выражения в равенстве (1.8)
N
в ряд Тейлора в окрестности значения ф = ф0 в виде ^ а1 (ф - ф0)'. Здесь а1 — коэффици-
'=0
енты ряда, определяемые видом подынтегрального выражения, N — порядок разложения, зависящий от заданной точности его описания. Тогда зависимость й(ф) принимает простой вид
Н(ф) « (r + ho) exp
tgtf^ (ф-фоГ1 . í=0 ; + 1
- r
При этом следует учитывать, что использование некоторых частных зависимостей Л(Р, ф), широко применяемых в теории и практике навигации, позволяет более точно решить навигационную задачу за счет возможности получения точной зависимости й(ф). В качестве наиболее часто используемых функций Л(Р, ф) следует отметить орто-дромическую (при движении по кратчайшему пути между точками на сфере с координатами (X0, ф0 ) и (Хь ф!))
Л(Р, ф) = arcsin(Ptg9) - Po (1.9)
р = sin(^i -Xo) p = arctg ^osinX1 - ^sinXo
Vtg^o + tgV - 2tgф0tgф1cos(X1 - Xo)' t^1c°sXo - t^ocosX1
вытекающую из известного выражения для широты произвольной точки на ортодромии [4, 5], и полиномиальную
п
Л(Р, ф) = X Р1 ф' (1.10)
'=0
где р1 — известные постоянные коэффициенты, а порядок разложения п определяется компромиссом между требуемой точностью аппроксимации и необходимым объемом вычислительных затрат.
Выражение (1.8) позволяет построить явные аналитические зависимости высоты от широты как для ортодромической модели (1.9), так и для частных случаев функции (1.10). Покажем это сначала для ортодромической модели. Здесь
л¿P,ф) = 2 2 —, Q = Л+р~2
V1 - Q sin2 фcos ф и по формуле (1.7) имеем
Л(Ф) = (r + ho) exp [tgS (Ф(Ф, Q) - Ф(фо, Q))] - r (1.11)
Ф(ф, Q) = arcsin(Q sin ф) (1.12)
Далее рассмотрим возможность окончательного решения навигационной задачи, т.е. определения широты, на основе измерения только модуля скорости объекта. При учете связи модуля скорости и проекции VY
V cos 9 = VY c°s ф 2 VQ - sin ф
уравнение широты на ортодромии приводи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.