ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2014, том 52, № 5, с. 651-656
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАЗМЫ
УДК 530.19
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРОТИВОРЕЧИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ В РАМКАХ "FIXED-NODE''-ПОДХОДА
© 2014 г. В. С. Филинов
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва E-mail: vladimir_Jilinov@mail.ru Поступила в редакцию 29.08.2013 г.
В последние десятилетия "fixed-node''-подход широко используется для математического моделирования термодинамических свойств сильно коррелированных систем ферми-частиц. Данная работа посвящена проверке корректности этого подхода на примере системы идеальных фермионов. Приведено аналитическое доказательство того, что в рамках указанного подхода невозможно воспроизвести матрицу плотности идеальных фермионов. В частности, показано, что прямые аналитические расчеты матрицы плотности двух идеальных фермионов в данном подходе приводят к целому ряду противоречий и, следовательно, "fixed-node''-подхцд должен рассматриваться как эмпирический подход с неконтролируемой точностью описания термодинамических свойств ферми-систем частиц.
DOI: 10.7868/S0040364414040103
ВВЕДЕНИЕ
В последние десятилетия наблюдается значительный прогресс в теоретическом изучении термодинамических свойств сильно коррелированных фермионов при ненулевых температурах, что, главным образом, связано с применением численных методов (см. обзор [1]). Причина такого успеха объясняется возможностью явного представления матрицы плотности в форме вине-ровского интеграла по траекториям [2], эффективный расчет которого может быть проведен методом Монте-Карло. Основная трудность данного подхода связана с необходимостью антисимметризации матрицы плотности [2]. В результате термодинамические величины оказываются равны малой разности двух больших величин, соответствующих вкладам четных и нечетных перестановок. Численные расчеты методом Монте-Карло в этом случае приводят к большим статистическим ошибкам. Данная проблема расчета известна в литературе как "проблема знаков". Для ее решения было предложено несколько методов, и, в частности, "13хед-поде"-метод [1, 3—5].
Чтобы избежать "проблемы знаков" при работе с матрицами плотности фермионов, авторы [1, 3, 4] предложили решение уравнения Блоха в форме интегралов по траекториям без отрицательных знаков. Для этого они ввели ограничения на область интегрирования по траекториям. Также авторы [1, 3, 4] утверждают, что это ограничение приводит к матрице плотности, являющейся точным решением уравнения Блоха в форме интегралов по траекториям со стандартным антисимметричным начальным условием.
Цель данной работы заключается в аналитической проверке корректности данного утверждения. В результате показано, что ограничения на область интегрирования в интеграле по траекториям приводят к целой серии противоречий даже для матрицы плотности двух идеальных фермио-нов. На аналогичные противоречия было указано двенадцать лет назад в [6] в рамках вириального разложения многофермионной матрицы плотности. Однако в статье [6] использовался громоздкий алгебраический подход к групповым разложениям, развитый Рюэллем [7], что затруднило понимание статьи и привело к тому, что статья [6] не была замечена научным сообществом. Это является причиной, для того чтобы обсудить корректность "£1хеё-поёе"-подхода еще раз, используя самую простую математическую технику.
Основной результат данной работы и статьи [6] заключается в том, что "11хеё-поёе"-подход не может воспроизвести даже хорошо известную матрицу плотности двух идеальных фермионов и должен рассматриваться как эмпирический подход к расчету термодинамических функций фермионов с неконтролируемой точностью.
РАСЧЕТ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ В РАМКАХ "FIXED-NODE"-ПОДХОДА
Термодинамические величины системы ферми-частиц при отличных от нуля температурах определяются производными логарифма статистической
суммы QN = 7>{р}. Здесь р = ехр(-р Н) — матрица плотности квантовой системы частиц с гамильтонианом Н = К + и, равным сумме операторов ки-
я
я
ям = Яо
я
м - 1
др
= -КР(Я) р * (Я, Яо; р)
(1)
плотности в виде конечно-мерного выражения интеграла по траекториям
р * (Ям, Яо; в) = ^ X (-!)КР ••• Я-1 N! •>
м-1
(3)
П рЯ-1, Як; АР)
V к=1
р(Ям-1, ^Ям
; АР).
Конфигурационное пространство двух фермионов. Представлены траектории, соответствующие двум перестановкам: тождественной (ниже линии у) и нетождественной (пересекающая линию у).
нетической К и потенциальной и энергий, а р = 1/квТ. Нам достаточно рассмотреть одномерную (Ш) систему двух идеальных фермионов. Тогда
примем, что и = 0, а оператор кинетической энергии равен сумме операторов кинетических энергий
каждой частицы К = К1 + К2. Матрица плотности является решением уравнения Блоха
^ = -1 р 5р
с начальным условием р| р=о = 1.
Это операторное уравнение в координатном представлении для фермионов может быть записано в виде [3, 4]
др* (Я, Яо; в)
с начальным условием
р* (Я, Яо;0) = -1У (-1)^ 5(Я - РЯо), (2) N !у
где Я — набор координат всех частиц. Одним из возможных координатных представлений фермион-ной матрицы плотности является выражение
р * (Я, Яо; р) = У ехр(-р Еа )ф*(Я)фа(Я0), N!
а
где сумма берется по полному набору антисимметричных собственных функций фа(Я) оператора Й.
Другое точное популярное координатное представление оператора р следует из операторного
тождества в к = в к ■•■в ...в , Ар = р/М для любого (даже порядка единицы) целого числа М. Здесь в правой части выражения стоят Мидентичных множителей с Ар = р/М. Таким образом, можно точно представить идеальную матрицу
Здесь N — число фермионов. В случае N = 2 аргументами являются двухмерные (2D) векторы, образованные координатами первой X(1) и второй
X(2) частиц на Ш-оси, а р(Як _1, Як; Ар) — матрицы плотности различимых частиц. Для антисимметризации берется сумма по всем перестановкам четности кР, действующим на индексы частиц. Матрица плотности зависит от пространственных 2D-переменных Ям, Яо на плоскости (X(1), X(2)) и обратной температуры (мнимого времени) р.
Математический смысл выражения (3) для матрицы плотности двух частиц проиллюстрирован на рисунке, где векторы Як представлены кружочками (часто называемыми "горошинами"), а матрицы плотности р(Як _1, Як; Ар) обозначены отрезками линий. Иногда вместо координат X®, Xk2) удобнее использовать координаты ук, %, определенные выражениями ук = о.5 (X® + X®)
и Пк = (X® - Xk2)), тогда Як = ¡X®,X?} = (ук,Пк}. Модуль Якобиана этой замены переменных при интегрировании в (3) равен единице. Действие перестановки Р показано на рисунке стрелкой с буквой Р. Для двух фермионов сумма по перестановкам превращается в сумму тождественной и нетождественной перестановок с противоположными знаками. Матрицы плотности обладают следующими общими свойствами:
р * (Я, Яо; Р) = Р * (Яо, Я; Р) = (-1) ^ рР (РЯ, Яо; Р).
Для сравнения матрицы плотности в "йхеё-поёе"-подходе с точным выражением напомним хорошо известное решение уравнения Блоха (1) с начальным условием (2). Идеальная матрица плотности в (3) может быть записана в виде [2]
р(Як-1, Як; Ар) = Х-2ехр
(
п |Як - Як-1
2\
X2
= Х -2ехр I-2п1У к ~ У к-1
2
ехр
с|Пк -Пк-1 2Х2
2
где X = (2пЙ' 2Ар/ш)1/2 — тепловая длина волны, относящаяся к температуре Ар. Последний сомножитель в (3) для перестановки Р имеет вид
П
P(RmPRm; Aß) = X-2exp
п \PRm - Rm2 ^
exp
2п |P Y m - Y M-i X2
2
exp
п|PПм -Пм-i
2X2
2
Таким образом, хорошо известное выражение для антисимметричной матрицы плотности выглядит как [2]
р,(Ям,^о;в) = 11dRl -йЯмX
2лл ^ м -Ум-12Л
(4)
х exp
где À,2 = 2пй2ß/m, Pyм = ум и Рцм = -цм. Если
{Y m, Пм} = {Y о, По}, то Р Y м = Y о и РПм = -По (см. рисунок).
Чтобы избежать "проблемы знаков" при вычислении фермионной матрицы плотности автор [3, 4] предлагает использовать "fixed-node''-под-ход, в котором решение уравнения Блоха не отрицательно. Автор [3, 4] обозначает второй аргумент R0 матрицы плотности как "опорную точку", а набор точек Rt, для которых существует непрерывный пространственно-температурный путь (pf(R,R0;t) > 0 для 0 < t < ß) как множество r(R0,ß). Для двух идеальных фермионов это множество может быть найдено аналитически [3, 4] и представлять собой полуплоскость п > 0 (см. рисунок). Оно не зависит от температуры.
Основное утверждение статей [3, 4] состоит в следующем: довольно просто показать, что проблемное начальное условие (2) может быть заменено граничным условием на поверхности r(R0, ß). Это следует из того, что фермионная матрица плотности является единственным решением уравнения Блоха (1) с нулевыми граничными условиями. Однако уравнение Блоха (1) с нулевыми граничными условиями является линейным уравнением и, следовательно, кроме тривиального тождественно равного нулю решения, имеет бесконечно много решений, отличающихся, по
крайней мере, константой. В то же время уравнение Блоха (1) с начальным условием (2), как известно, имеет единственное решение.
Расчет матрицы плотности в рамках "fixed-node'-подхода можно выполнить в явном виде. Рассмотрим плоскость у - п на рисунке. Согласно [3, 4], чтобы рассчитать матрицу плотности, необходимо просто ограничить интегрирование по траекториям в (3), так чтобы они лежали в r(R0, ß). Это означает, что ограничение интегрирования по R1,..., RM _1 в (3) в пределах r(R0, ß) дает точное решение уравнения Блоха (1) с начальным условием (2). Ошибочность этого утверждения как для M = 2, так и для произвольного целого M может быть легко доказана непосредственным интегрированием по переменным R1,...,RM_1 в r(R0, ß) для двух одномерных (1D) идеальных фермионов. Поверхность r(R0, ß) двух идеальных фермионов известна точно и согласно [3, 4] является линией п = 0 на рисунке.
Таким образом, матрица плотности в рамках "fixed-node''-подхода на всем конфигурационном пространстве (в обоих полуплоскостях п > 0 и
П < 0) имеет вид (пм, По е {X(1),X(2)}):
рf(Rm,R0;ß) = C JdR..dR
(
(
м-1 exp
П-
k=1
п\Rk - R,
2 ,2\\
■k-11
X 2
exp
2п|у м -Y м-1
X2
2
x À < exp
П1Пм -Пм-1
|2Л
2À2
exp
п\РЦм - Пм-1I
2
2À2
кпо)е(п1)...е(пм ) + (5)
j
+—2 J dR1 • • • dRM-1
f f m-1 exp
П
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.