КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, том 53, № 2, с. 165-172
УДК 521.13
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕРПРЕТИРУЮЩИЕ ЭВОЛЮЦИЮ ДВУХЧАСТОТНЫХ КОСМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В СЛУЧАЕ ОРБИТАЛЬНОГО ЛИНДБЛАДОВСКОГО РЕЗОНАНСА ПРИ УЧЕТЕ
РЭЛЕЕВСКОЙ ДИССИПАЦИИ. II © 2015 г. Б. Р. Мушаилов, В. С. Теплицкая
Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга МГУ им. М.В. Ломоносова brm@sai.msu.ru Поступила в редакцию 09.07.2012 г.
В рамках планетного варианта задачи трех тел при орбитальном двухчастотном резонансе первого порядка с учетом рэлеевской диссипации получены аналитические решения, интерпретирующие динамическую эволюцию орбитальных элементов компонент рассматриваемой системы.
БО1: 10.7868/80023420615020065
В первой части статьи, опубликованной в № 4, 2014 г. в рамках планетного варианта задачи трех тел для эволюции элементов орбит были получены аналитические решения при орбитальном двухчастотном резонансе первого порядка при наличии в моделируемой системе небольших скоростей течений (рассеяния энергии). В настоящей части статьи рассмотрен случай "вырождения резонанса", то есть явной зависимости от времени резонансного слагаемого в гамильтониане исследуемой модельной системы, а также получены асимптотические решения при непостоянстве (зависимости от времени) коэффициента пропорциональности диссипативной функции.
С целью общности ниже сохранена единая (непрерывная) с первой частью статьи нумерация формул.
СЛУЧАЙ ВЫРОЖДЕНИЯ РЕЗОНАНСА
Как очевидно из выражений (11) и (22) (см. первую часть статьи), собственно резонансный эффект в эволюционных уравнениях (27) описывается слагаемым вида С2£,2, в котором С2 не зависит от времени. Однако небезынтересно исследовать случай непостоянства амплитуды резонанса, то есть явной зависимости от времени резонансного слагаемого. Случай "вырождения резонанса", то есть явной зависимости от времени резонансного слагаемого в гамильтониане исследуемой модельной системы, интерпретирует наличие нестационарных процессов, например, связанных с аккрецией (обуславливающей нелинейное уменьшение амплитуды резонанса) газа или протопланетного вещества на центральную звезду.
Рассмотрим случай, когда коэффициент С2 в (27) нелинейно уменьшается с ростом I (случай
вырождения резонанса) так, что С2 = в/^2(0, В Ф 0, а следовательно, исследуем каноническую систему вида (27), но с гамильтонианом
F = (C + ^2 + п2)2 + Въ-
(47)
Если ввести переменные и = ^ + п2, т* =
= (2БС3/и обозначения С = V У(2Б Сз), А = = С1/2, то каноническая система (27) будет равносильна системе
(и/(т* = —п2, ( £,2/( т* = Ст*2ц2(и + А),
которая относительно переменной и(т*) сводится к дифференциальному уравнению вида
d<Ju - u2ttjdт* = ±Ст*2и'*(и + A),
(48)
где введено обозначение иТ* = йи/йт*.
Уравнение (48) относительно переменной
С |"_*2, 2
представляет собой нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
-2ч С.
= 2 JT*2d(u + A)2
- A 2) = С
(49)
где ±y[z = u + A = 2 + n2 + A, допускающее частное решение £,2 = const.
Из (27) очевидно, что уравнения (48) и аналогично (49) непосредственно соответствуют неав-
(а)
(б)
а
°-6 1 0 0.2 °-4
П2
0
-0.8 °.f°.2 °2
р -0.4 0 0.2 0.6
р2 0 0 4
0.4 0.8
Сечения интеграла (51) для экзопланетной системы HD82943 Ь, с (резонанс 2 : 1) при V = 0.01; а — нормированная функциональная зависимость интеграла а от ^2, П2 при = 1.5; б — г|2 от ^2, при а = 10.
тономнои канонической системе относительно переменных
с 2 2
u = % 2 +П2,
V = ±arctg^ - A ±4z -% 2/% 2
с гамильтонианом
F = 2BC т*2 + A
Сз
2
+
cos V.
(50)
С другой стороны, если наряду с (27) положить
N = С3В/^ и в гамильтониане (22), то будет существовать интеграл
а
Неавтономная каноническая система с гамильтонианом вида (50) в общем случае не имеет алгебраического интеграла в виде полиномов по каноническим переменным u, К [11]. Как нетрудно показать, уравнения (48), (49), равно и как каноническая система с гамильтонианом (50), не удовлетворяют в общем случае так называемому свойству (критерию) Пенлеве [34], то есть искомые решения не допускают однозначного локального разложения в ряд Лорана в окрестности сингулярных слагаемых (подвижных особых точек).
Функция ^ не является рациональной функцией по ^2 и £,2г.
Как известно, свойство Пенлеве не может быть даже косвенным критерием интегрируемости дифференциальных уравнений (канонических систем) в случае, когда их интегралы представляют собой иррациональные или трансцендентные функции от искомых переменных, то есть — соответствующие формальные лоранов-ские ряды не ограничиваются лишь полюсами или рациональными точками ветвления.
В следующем разделе будут приведены различные частные и асимптотические решения уравнений (48) и (49), в том числе и в случае v = v(t).
(2 + п2)2 + С ((2 + п2) + В ^^+ С С
41 С3 (1С3
(51)
где С4 = (цВ + А1)/С3, а = Р — интегральная постоянная (см. рисунок).
Полагая аналогично (32) к1 = £,2 - ¿Л2,
Н2 = £,2 + г'п2, ' 2 = -1 и учитывая выражения (26), в соответствие с (51) получим
h^22 + ChA + ( bI 2^2 ) (( + h2 ) + ni) = 0,
ni) = C4 + Vnr -
a
tic
(52)
П1 = [exp(-vt)] |f (t)exp(vt)dt,
где f(t) = - ^B + Ai + Сз(А + ^ + n2)2 + C3BI Аналогично (33) будем иметь
dh1.
dA _ dF A
d x dh2 dx
(53)
Здесь Р = <%> (к^ + Ш) + С2В51 ( + *2).
Особые (стационарные) решения канонической системы (53), как нетрудно показать, определяются системой алгебраических уравнений
2Л? + С1Н1 = 0, Н2 = Н1
1 11 2^2(х) 2 1
или, с учетом (32) и (26):
42,2 + 2С& + В/= 0, П2 = 0,
(54)
1
1
0
2
где £,1 = X 0 ехр(^).
Число действительных корней первого уравнения (54) обуславливается знаком величины
дискриминанта Б = 8С3 + 27В2/Если Б > 0, то имеется единственный действительный корень, а в случае Б < 0 будет три корня (при Б = 0 два из них будут равны между собой). При £1 ^ да, то есть когда V, > 1, стационарными точками будут £2 = 0, п2 = 0 и если С1 < 0, то стационарные решения еще будут определяться уравнением 2,2 + п2 = = -С1/2.
Из интеграла (52) следует, что В*к2 + В*к2 +
+ В3* = 0, где В* = к2, В* = СД + В, В* = * К +
22,1 2^1
+ g(¡^l, п1). Следовательно,
I
-В*" ±У В2 - 4В*Вз к = * .
2В*
(55)
Поскольку в силу (53) йк^/й т =
з( * * I
= С3^1|2В1й2 + В2 ), то, учитывая (55), после несложных преобразований, получим уравнение
(йк1/ йх )2 = 4а1к13 + 6а2(х)й12 + 4а3к + а4(т), (56) в котором
X2 2
Т - т0 = —°ехр(2^), а1 = 2ВС3, 2v
Так как коэффициенты а2 и а4 в (56) не являются константами, то в общем случае решение уравнения (56) не выражается через р — функцию Вейерштрасса с постоянными инвариантами (или периодами), то есть в соответствии с вышеприведенными оценками Пенлеве искомое решение не допускает однозначного локального разложения в ряд Лорана по степеням у(т - т0) =
= (X0/2)ехр(у,), так как коэффициенты этого формального разложения будут являться функциями от т ввиду того, что а2 = а2(т) и а4 = а4(т).
Однако, если g^х) - 27g32(т) >0, где g2 и gз определяются выражениями (39), в которых согласно (57) а2 = а2(т) и а4 = а4(т), то правая часть уравнения (56) будет представима в виде
4а1 [к1 - ¿1(х)] [к - Ь2(ЩНХ - Ь3(т)].
Здесь Ь(т) = (у, -1 а2(х)^З1, у,(т) (( = 1,3) - действительные корни вспомогательного уравнения
3 - g2(т)y - gз(т) = 0.
Следовательно, согласно (56)
V
±^/а!(т - Т0У-) = |
йБ
4(Б - Ь,)(Л' - Ь2)(Б - Ьг)'
(58)
Решение к1 = —
а.
р*(т -т 0,) -ЗД
, ] = 1,2
а2(Т) = -4 ^С32(т - т0) [С2 - 4g щСТ))], (57)
2 В 2С2 /
а3 = -С1ВС3, а4(т) = —- Т0).
2v /
Так как согласно (53) и (52) переменные Н1 и Н2 представлены в гамильтониане Р и интеграле (52) симметрично, то для к2(т) будем иметь уравнение, аналогичное (56), но с заменой Н1 на Н2.
Таким образом, уравнения для переменных Н1 и Н2 вида (56) определяют комплексные переменные к] ( = 1, 2) как функции от т = т 0 + (^(оДу) (или в явном виде VТ) и п1(Т), так что переменная П1(т), входящая в выражение (57) для а2(т), является решением уже алгебраического уравнения (52). При этом принципиальное значение имеет тот факт, что, как следует из (53), в уравнения, определяющие к1 и к2, не входит ц1 как связанная переменная, поскольку она определяется из алгебраического (а не дифференциального) уравнения (52), то есть п1(т) является лишь граничным условием при определении к] (] = 1, 2).
уравнения (58) будем, ввиду асимптотического предела при V ^ 0, считать представимым в виде обобщенной функции р* Вейерштрасса, уже в общем случае не являющейся мероморфной функцией.
32
В случае g2(т) — 27g3 (т) < 0 вместо (58) получим
йБ
(59)
±2701(1 -т 0 ] ) = Г",---,
14(Б - Ь1)(Б2 + С1Б + С2) при этом С^х) = — [(т) -у2 -¥3], С2(Т) = -1 X 02(т)
2 а1
V2У3 --^(У2 + V3) +
022(т)
2 4
Для линеаризованной правой части уравнения (56), то есть при |к1| ^ 1, заменой переменной
4а3^ = ±2Л/4а3к1 - а40/(т - т01), а40 = В 2C2/(2v), к1:
(60)
в которой а40 = В С3 / (2V), к1 и Т01 — комплексные
переменные, интегрирование сводится к уравнению Абеля второго рода:
' "40 //- - \ 2
- w = -^/(т -т01) ,
8а3
решение которого можно представить в параметрическом виде [22], так что с учетом (60) будем иметь
~ ~ I ш-4/з(и32 - 4и23) /<1Ч
т — т01 =-т2-^-2, Н = Ь'^ -т^, (61)
(и1/2) Ь (2и2)2
где и1 = ^2^ + 2/3, и2 = и2 ± 22, и3 = ±2 23 -
- 2ии2, 2 = + СУ^©,
/1/3, У^3 — функции Бесселя, а в случае "нижних знаков" — эти функции следует заменить на модифицированные функции Бесселя 11/3 и К1/3 соответственно. Величины а и Ь определяются из равенств (9/4)а3 = Ь/а2, а40 = —16а3аЬ, так что а3 =
= —а40/(36а2), Ь = (9/4)а3а2, С — в общем случае комплексная интегральная постоянная.
Если Ь1 = 0 в (58) или (59), что реализуется при
ц <§ 1 и V > 1, так как а4 к ц2/ехр(2^), то уравнения (56), (58) и (59) приводятся к виду
ШI^+40?!<62>
При а2(т) = const (что возможно с учетом (52)) и a1a3 = (9/16)a2 уравнение (62) легко интегрируется, так что
, 3а2. 2
h = л tg
4aj
уза2
(Т - Т о)
Последнее выражение справедливо и для а2 < 0, поскольку 1§2(/г) = —th2z.
В случае ^ ^ 1 и = 0 из (52), (56), (59)
следует, что
/~ч /~ч 2 2, dh
а2(т)а4(т) = - а3, ±-1
= h + ■
а3
•у/ба2(^ Т 3а2(т)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.