АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2014, том 48, № 1, с. 35-49
УДК 523
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОЙ "ЗАМОРОЖЕННОЙ" ОРБИТЫ ВОКРУГ АСТЕРОИДА С СИЛЬНО НЕОДНОРОДНЫМ ГРАВИТАЦИОННЫМ ПОЛЕМ: ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ © 2014 г. Марта Чеккарони1, Франческо Бискани2, Джеймс Биггс1
1 Advanced Space Concepts Laboratory, University of Strathclyde, Glasgow, UK 2Advanced Concepts Team, ESTEC: European Space Research and Technology Centre Поступила в редакцию 20.12.2012 г.
В настоящей работе представлен метод поиска начальных условий для "замороженных" орбит вокруг неоднородных быстро вращающихся астероидов. Эти орбиты могут быть использованы в качестве опорных в любых миссиях, где планируется исследование малых небесных тел с близких расстояний. В используемой обобщенной пертурбационной процедуре применяются аналитические методы перенесения аргумента узла и нормализации Делоне до произвольного порядка. Эти аналитические методы являются чрезвычайно мощными, но и весьма затратными в вычислительном отношении. Сначала гравитационный потенциал неоднородного тела записывается в полярно-узловых координатах с учетом коэффициентов сферических гармоник до произвольного порядка. Путем перенесения аргумента узла и нормализации Делоне находятся последовательности канонических преобразований координат, которые приводят гамильтониан, описывающий систему, к интегрируемому гамильтониану с двумя степенями свободы плюс усеченный остаток более высокого порядка. Полагая эксцентриситет, аргумент перицентра и наклонение орбиты в усеченной системе постоянными, находим начальные условия, порождающие замороженные орбиты для усеченной системы. Используя те же самые начальные условия, получаем возмущенные замороженные орбиты для полной системы, возмущение в которой уменьшается при рассмотрении произвольных гомологических уравнений в процедурах перенесения и нормализации. В случае первого гомологического уравнения такая процедура может быть автоматизирована, так что можно рассматривать любое произвольное число коэффициентов сферических гармоник. Проект выполнен в сотрудничестве с Европейским космическим агентством (ESA).
DOI: 10.7868/S0320930X14010034
ВВЕДЕНИЕ
Движение тел в некеплеровых гравитационных полях является классическим предметом исследований в небесной механике. В последние годы исследования в этой области стали актуальными в связи с планированием будущих миссий космических аппаратов к спутникам планет и астероидам, включая миссии с целью отклонения астероидов, такие как концепция "Дон Кихот" Европейского космического агентства (ESA) (Carnelli, Gálvez, 2006). В рамках исследований, предпринятых в этой области, изучено влияние неоднородного характера гравитационного поля Земли на движение естественных и искусственных спутников; развита теория движения искусственных спутников Земли с малыми и умеренными эксцентриситетами орбит (Deprit, 1970). В последние годы исследовалось влияние неоднородного характера гравитационных полей других тел Солнечной системы, в том числе Луны (Abad и др., 2009) и астероидов (San-Juan и др., 2004).
Анализ движения космических аппаратов вблизи таких тел особенно труден, так как форма и распределение плотности у них обычно не так регулярны, как у планет. Эти нерегулярности нарушают симметрии и требуют более сложных аналитических выражений для описания полей, что увеличивает аналитическую сложность исследований.
В настоящее время для исследований орбит вокруг некоторых нерегулярных тел (см. (Fahnestock, Scheeres, 2008) или (Colombo и др., 2012)) и для поиска критериев устойчивости (Lara, Scheeres, 2002) широко используются численные методы. Недостатки этих методов состоят в том, что они могут быть весьма затратными в вычислительном отношении и требовать полной перестройки в каждом отдельном случае. Аналитические методы, напротив, ценны тем, что позволяют быстро отождествлять полезные естественные орбиты вокруг тел общего вида с неоднородными гравитационными полями. Более того, они могут обеспечи-
35
3*
Рис. 1. Потенциал, порождаемый телом B произвольной формы, представляет собой интеграл по объему от элементов малой массы dM.
вать полную картину динамики вокруг нерегулярных тел, что можно использовать для поиска и изучения конкретных классов полезных орбит. Однако современные аналитические методы используются только частным и получисленным образом (иначе говоря, аналитические разложения используются только на первом шаге, а затем используются численные процедуры (Scheeres и др., 1998)). Главные недостатки этих методов состоят в том, что в случае сильно неоднородных тел они требуют объемных символических вычислений с использованием систем компьютерной алгебры и область их применимости, как правило, ограничена некоторым диапазоном эксцентриситетов, из-за условий сходимости рядов. Аналитические исследования динамики в неоднородных гравитационных полях до сих пор довольствовались разложениями низких степеней (Palacián, 2002; San-Juan и др., 2002; 2004), что ограничивало применимость результатов классом тел, для которых в динамике важны лишь несколько коэффициентов (например, сплюснутость или эллиптичность).
В настоящей работе в замкнутой форме (то есть без использования разложений в ряды по эксцентриситету) представлена аналитическая пертурбационная теория движения вокруг неоднородных тел, обобщенная для гравитационных полей до второго порядка и произвольной степени. Используя метод Депри (Deprit, 1969), мы строим два разных преобразования Ли, чтобы найти подходящие канонические переменные действие—угол, с помощью которых исходный неинтегрируемый гамильтониан приводится к
интегрируемому виду, плюс пренебрежимо малый возмущающий остаток.
Данный метод можно использовать для нахождения полезных орбит, таких как "замороженные" орбиты, с целью приложений в космических миссиях. Замороженными называются орбиты, у которых отсутствуют вековые возмущения по наклонению, аргументу перицентра и эксцентриситету (Вгои^ет, 1959). Эти орбиты являются периодическими (если исключить прецессию плоскости орбиты), поэтому их и называют замороженными.
МЕТОД
Если предположить, что планетное тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси его наибольшего момента инерции, то потенциал, порождаемый неоднородным гравитационным полем (см. рис. 1), может быть записан во вращающейся системе полярно-узловых координат (Whittakeг, 1917), что удобно для необходимого преобразования к координатам Делоне. В потенциале учитывается произвольное число коэффициентов сферических гармоник в предположении, что все они имеют один порядок; это дает динамическую модель, описывающую неоднородное тело с произвольно заданной точностью. В случае быстро вращающихся астероидов, когда кориолисов член дает больший вклад, чем потенциал задачи двух тел, методология основана на последовательности следующих шагов:
♦ Перенесение аргумента узла с тем, чтобы получить перенесенные узловые переменные, где импульсы, сопряженные долготам узлов, являются постоянными вдоль гамильтонова потока.
♦ Преобразование к переменным Делоне с тем, чтобы получить постоянный полный угловой момент относительно оси г.
♦ Нормализация в переменных Делоне, что приводит к редуцированному обычному дифференциальному уравнению в двух координатах (полный угловой момент и аргумент перицентра).
♦ Замороженные орбиты отождествляются как точки равновесия этих уравнений, то есть точки, где полный угловой момент относительно оси г и аргумент перицентра постоянны; таким образом, в итоге решается алгебраическое уравнение, заданное в двумерном пространстве.
Методология включает в себя два разных преобразования Ли — перенесение и нормализацию, которые строятся методом канонических преобразований Депри (Эергк, 1969). Обычную технику, применявшуюся в литературе ранее, а именно нормализацию Делоне (Эергк, 1982), непосред-
ственно применить к модели высокого порядка нельзя из-за наличия долготы узла, которая присутствует в кориолисовом члене. Из-за добавления этого члена в производную Ли обычное вычисление генератора преобразования Ли невозможно (San-Juan и др., 2002). Однако можно применить алгоритм перенесения в замкнутой форме Паласиана (Palacián, 1992), который "переносит" действие долготы узла в пренебрежимо малый остаток. Показано, что в этой модели результаты как перенесения, так и нормализации эквивалентны осреднению по быстрым углам.
ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Рассматривается неоднородное тело, вращающееся вокруг оси наибольшего момента инерции с постоянной угловой скоростью ю = [0, 0, ю].
Полная масса тела равна М; сё — универсальная гравитационная постоянная. Динамика описывается в системе координат с центром в центре масс тела, ориентированной так, что ось г параллельна оси вращения астероида. Система координат вращается со скоростью вращения астероида; в таких вращающихся координатах гамильтониан, описывающий систему, имеет вид
Н(х,X) = ±(Х • X) - ю(х х X) + и(х), (1)
где х, X е К3 — координаты положения и сопряженные им импульсы космического аппарата, а
и (х) — возмущающий гравитационный потенциал, порождаемый неоднородным вращающимся телом. Уравнения движения имеют вид
x = А H (x, X), dX
X = H (x, X). dx
(2)
Удобно выразить гамильтониан и возмущающий потенциал, используя так называемые полярно-узловые переменные (так что он может быть легко преобразован к координатам Делоне на заключительном шаге процедуры): r = |x|, 9 — аргумент широты, V — долгота восходящего узла, а R, © и N — соответственно сопряженные импульсы. Требуемое преобразование приведено в работе (Palacián, 2002). Полагая x = [x, y, z]Tи X = [X, Y, Z]T, имеем
x = r(cos 0cos v - sin 0 cos I sin v), y = r(cos 0 sin v + sin 0 cos I cos v), z = r sin 0 sin I,
Рис. 2. Угол у может быть выражен через широту 5 и долготу X.
X =
R cos 0 - 0 sin
cos v -
í
R sin 0 + — cos 0
0,
cos I sin v,
(3)
V l'l
( C\ ^
Y = R cos 0-0 sin i
sin v
f
R sin 0 + 0 cos 0 r
cos I cos V,
z =
R sin 0 + — cos 0
0,
sin I.
В этих координатах гамильтониан принимает вид
H(r,0, V, R,0, N) = 11 R2 + 0 2 V r
- fflN + U(r, 0,v, R, 0, N),
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.