ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Куликов Г.М., Плотникова С.В.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК
Рассмотрен новый метод решения задач термоупругости для толстых и тонких оболочек в пространственной постановке. Согласно этому методу в теле оболочки вводятся N отсчетных поверхностей, параллельных срединной поверхности и расположенных в узлах многочлена Чебышева, для того чтобы выбрать температуры и векторы перемещений этих поверхностей в качестве искомых функций. Такой выбор искомых функций позволяет представить разрешающие уравнения предложенной теории композитных оболочек в достаточно компактной форме и использовать деформационные соотношения, которые корректно описывают перемещения оболочки как жесткого тела.
1. Известно [1, 2], что традиционный путь построения теории оболочек состоит в разложении перемещений в степенные ряды относительно поперечной координаты 93, отсчитываемой вдоль внешней нормали к срединной поверхности. Для приближенного представления поля перемещений можно воспользоваться конечными отрезками степенных рядов, поскольку основная цель теории упругих оболочек состоит в получении приближенных решений задач трехмерной теории. Однако кажущееся преимущество такого подхода теряется при его применении в задачах статики толстых термоупругих оболочек, в которых для получения приемлемых результатов необходимо удерживать достаточно большое число членов в соответствующих разложениях.
Более продуктивный подход связан с введением в теле оболочки отсчетных поверхностей О1, О2, ..., ОN параллельных срединной поверхности с целью использования температур Т1, Т2, ..., и векторов перемещений ..., uN этих поверхностей в ка-
честве искомых функций [3—5]. Такой выбор искомых функций с последующим использованием полиномов Лагранжа степени N — 1 в пространственных аппроксимациях перемещений позволяет представить разрешающие уравнения предложенной теории оболочек высокого порядка в достаточно компактной форме и построить деформационные соотношения, которые точно представляют перемещения оболочки как жесткого тела в системе криволинейных поверхностных координат [5].
Теория оболочек высокого порядка [3] основана на использовании эквидистантных отсчетных поверхностей, при этом лицевые поверхности оболочки выбираются в качестве отсчетных. Это ограничивает применение данной теории для расчета толстых оболочек. Дело в том, что предложенная пространственная полиномиальная интерполяция вектора перемещений с использованием полиномов Лагранжа высокой степени может приводить вследствие феномена Рунге к значительной осцилляции полиномиальных аппроксимаций в зоне краевого эффекта. Этот феномен был открыт Рунге [6] при изучении погрешности полиномиальной интерполяции для приближения некоторых функций на равномерной сетке. С возрастанием степени полинома погрешность интерполяции может стремиться к бесконечности. В численном анализе для борьбы с указанным явлением в качестве узлов интерполяции принято использовать
п+
п1 п
93
91
п1 п
корни многочлена Чебышева [7], что помогает существенно улучшить поведение полиномиальных аппроксимаций высокой степени, для которых ошибка интерполяции стремится к нулю при N ^ да. Это дает возможность находить решение трехмерных задач статики для толстых оболочек с любой наперед заданной точностью при достаточно большом числе отсчетных поверхностей.
2. Рассмотрим оболочку постоянной толщины к. Отнесем срединную поверхность О к криволинейным ортогональным координатам 9:, 92, отсчитываемым вдоль линий главных кривизн, а координату 93 будем отсчитывать в поперечном направлении. Пусть еа — единичные векторы касательных к координатным линиям 9а; е3 — единичный вектор внешней нормали к срединной поверхности; Аа — коэффициенты первой квадратичной формы; ка — главные кривизны;
Рис. 1
1 + ка93 — компо-
са = 1 + ка93 — компоненты геометрического тензора сдвига; с а ненты геометрического тензора сдвига на отсчетных поверхностях О1 в оболочке (рис. 1); 9^ — поперечные координаты поверхностей О1, которые располагаются внутри интервала (—к/2, к/2) в узлах полинома Чебышева степени N и определяются согласно [8] по формуле
к ( 27 - 1 93 = —сое п-
3 2 V 2И
где I, /, К указывают на принадлежность некоторой величины к отсчетной поверхности и принимают значения 1, 2, ..., N греческие индексы а, в = 1, 2; латинские индексы ;, ], к, т = 1, 2, 3. Отметим, что в статье применяется соглашение о суммировании по повторяющимся латинским индексам.
Градиент температуры Г,- и температура Т связаны посредством формул
Га = -
а А,
1
Гз = Тз.
(1)
Первое предположение данной теории термоупругих оболочек на основе метода от-счетных поверхностей касается вида распределения температуры и градиента температуры в поперечном направлении
Т = £ Ь1Т1, Т = Т(97), (2) Г = £ ¿1Г11, г1 = Г;.(97),
(3)
где Т1, Г1 — температура и градиент температуры на отсчетных поверхностях О1;
Ь(93) — полиномы Лагранжа степени N — 1: Ь = | | Из соотношений (2), (3) имеем
■Уа , Г3 = £ М(9( )Т,
г1 = л
а А С7 АаСа
93 - 93 I* 7 97 - 93
(4)
где M1 = L з — полиномы степени N — 2; их значения на отсчетных поверхностях Q1 находим по формулам
I K
M(eI) = -T-IП Q-îr4 (J* I), M(eI) = -£M(eI)•
e3 - e3 K * I, J e3 - e3 J * I
I
Таким образом, поперечные компоненты градиента температуры Г3 на поверхностях Q1 представлены согласно (4) в виде линейной комбинации температур отсчетных поверхностей TJ.
3. Компоненты тензора деформаций на отсчетных поверхностях можно записать в векторной форме [3, 4]
О I 1 I 1 I Ч I 0I 1 I I „I
2B*ß = -1 u,а • eß + -1U ,ß • eа, 2Еаз = ß • ea + --u ,a • eз, E33 = ß • ^ (5)
АаСа Aß Cß АаСа
где u1 = u( e3 ), ß1 = u3( e3 ) — векторы перемещений отсчетных поверхностей и значения производной вектора перемещений по координате e3 на поверхностях Q7. Представим векторы u1, ß1 в ортонормированном базисе ef
uI = Щеп ßI = ßIiei • (6)
Дифференцируя (9) по координате e3 и учитывая результаты [2], получим
U i = 4Aa ^ (7)
I 1 I п I 1 I л I 1 I п I
^аа = Y иа,а + + каи3 , V = J" Mß>а " Ва"а (ß * а)
а
^3а = J- М1а - каи'а , Ва = yVАа, ß (ß * а) • Ла ЛaЛß
(8)
Вводя разложения (6), (7) в (5), приходим к скалярной форме деформационных соотношений
о 1 1 л 1 ,1ч 1 о 1 а1 , 1 л 1 1 а1 /пч
2еар = - ^ар + ~ V, 2еа3 = Ра + ~ ^3а, £33 = Рз • (9)
Св Са Са
Следующий шаг состоит в выборе закона распределения перемещений и деформаций по толщине оболочки. Очевидно, что их распределение в поперечном направлении должно быть согласовано с распределением температуры и градиента температуры (2), (3), т.е.
г I I „ч ^т' '
ut = £ L щ , (10) Sj= £ L By (11)
II
Из соотношений (6), (10) находим
ßf = £ M(e\)uJ. (12)
а
J
Видно, что определяющие функции данной теории оболочек ßf представлены в виде линейной комбинации перемещений отсчетных поверхностей uJ.
Отметим, что деформационные соотношения (9), (11) точно представляют перемещения оболочки как жесткого тела в системе криволинейных поверхностных координат.
4. Вариационное уравнение теплопроводности имеет вид
5/ = 0, (13)
h/2
/ = 2 JJJ qfAiА2с1 c2d6ide2de3 - jjTQ„dQ, (14)
П -h/2 n
где q — компоненты теплового потока; Qn — тепловой поток по направлению нормали
к поверхности Q = Q- + Q+ + £ (Q—, Q+ — лицевые поверхности оболочки); £ — боковая граничная поверхность.
Подставляя распределение градиента температуры (3) и (14) и вводя результирующие теплового потока
h/2
R1. = | qiLIcïc2d93, (15)
-h/2
приходим к формуле
/ = 2 JER'TAA2de!d02 - WTQndQ. (16)
n 1 n
Уравнения состояния теплопроводности согласно закону Фурье представим в виде qi = -kjTj, (17)
где kj — коэффициенты теплопроводности.
Вводя уравнения состояния (17) в (15) и учитывая распределение (3), получим
h/2
RI = AI/kijr/, (18) AIJ = J LIL/c1c2d93. (19)
/
-h/2
5. Вариационное уравнение термоупругости в случае консервативного нагружения имеет вид
5П = 0, (20)
к/2
1
I
n -h/2
п = 1 JJ J {Pij^ij - SB)A1A2C1C2d9id92d93 - W, (21)
W = JJ(C + C2+Pi+ u+ - C1 C-P' u— )A1A2d91d92 + W, (22)
n
где <5у — тензор напряжений; — плотность энтропии; pi , pi — поверхностные нагрузки, действующие на лицевых поверхностях оболочки О-, О+; ui = и,(—А/2), и+ = и,(А/2) — перемещения лицевых поверхностей оболочки; са = 1 — каА/2,
ca = 1 + как /2 — компоненты тензора сдвига на лицевых поверхностях; ЖЕ — работа внешних нагрузок, действующих на боковой поверхности £; © — приращение температуры, определяемое по формуле
© = T- Т0. (23)
Подставляя распределение деформаций в поперечном направлении (11) и распределение температуры
© = £ I! ©1 (24)
I
непосредственно следующее в (2), (23), в функционал (21) и вводя результирующие напряжений и энтропии
1/2
н1 = [ а/1
Р1 =
= | а^1с1с^В3, (25)
-1/2 1/2
= | , (26)
-1/2 получим
п = 1 Ц£ (н^1 - Р1©1)Л1 Л2йВх йВ2 - Ж. (27)
'п I
Уравнения состояния термоупругости [8] представим в виде
а ц = СтЧ1 - Уи©, (28) 5 = у^ + р с7© / То, (29)
где Сукп1 — тензор моделей упругости; у,у — температурные напряжения; р, ег — удельная плотность и удельная объемная теплоемкость [10].
Введем напряжения (28) и энтропию (29) соответственно в (25), (26) и, учитывая распределение деформаций и температуры в поперечном направлении (11), (24), приходим к формулам для вычисления результирующих напряжений и энтропии
н1 = £Л17(Ст4, -Уу©7), (30) Р1 = £ЛП(у^ + рс^/Т,). (31) / /
6. В качестве примера рассмотрим изгиб шарнирно опертой ортотропной цилиндрической оболочки размером Ь/Я = 4 под действием теплового потока, распределенного на внешней поверхности по синусоидальному закону, в то время как внутренняя поверхность является теплоизолированной
+ пВ' —
д3 = у 0 81п —со8 2 В 2, у3 = 0,
Отсчетные поверхности расположены в узлах полинома Чебышева
N 0( 0,5) й3(0) 5И( 0,5) Ö22( 0,5) 01з( 0,25) ^23 (-0,25) 5зз(-0,25)
3 -1,314 -5,275 9,066 1,604 1,590 2,897 -2,747
5 -1,405 -5,668 8,874 1,856 1,630 3,356 0,106
7 -1,405 -5,660 8,769 1,736 1,667 3,362 1,632
9 -1,405 -5,661 8,765 1,731 1,665 3,361 1,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.