ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧУ«Й-it^A'ia**i«J.fel dbJ-'l ¿. --.4 -3» И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА '/> -л - ■ош-'«?-...
Том 144,№2 "4rie ■!• и .„>•<■■ т.
август, 2005 ■> - <
; » MntHjq* Ь.)3 f,' . n ^ • "i-T.*J•!) ,»>• w
•■' ' ' - • ' • й." :ч, г . '">
4 - } t ft • "iv-iSru -t ' i iy.-jr-'fii ' . ' '! ' о w ч
© 2005 г. Т. А. Иоанниду*, А. Куйрукидис*, H. Д. Влахос* . - >
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К Q-БОЛЛАМ
Представлен аналитический подход для построения решений вида Q-боллов в общем случае потенциала шестого порядка. В частности, показано, что симметризован-ная функция Вудса-Саксона описывает профиль Q-болла, а потому энергию и заряд можно вычислить явно. , г ,,
Ключевые слова: нетопологические солитоны, заряд Нётер, механический аналог. ' ■
1. ВВЕДЕНИЕ "
Q-боллы являются когерентными состояниями комплексного скалярного поля, несущими глобальный U (1)-заряд, которые можно понимать как связанные состояния скалярных частиц, появляющиеся в виде устойчивых классических решений с вращающейся зависящей от времени внутренней фазой [1], [2]. Они характеризуются сохраняющимся нетопологическим зарядом Q (зарядом Нётер), что обеспечивает их существование и устойчивость [3]. В действительности Q-боллы естественным образом возникают в суперсимметричных теориях [4], и их устойчивость имеет значение для космологии, поскольку если устойчивые Q-боллы формируются в ранней Вселенной, то они могут давать вклад в темную материю [5].
Хотя Q-боллы существуют в разнообразных моделях теории поля, мы рассмотрим лагранжиан U( 1) модели Голдстоуна
С=\дгфд*ф-Щ\ф\), (1)
где ф - комплексное скалярное поле в трех пространственных измерениях, а потенциал и(\ф\) имеет единственный минимум при ф = 0. Эквивалентным образом можно сказать, что имеется сектор скалярных частиц (мезонов) с массой y/U"(0)/2, несущих U( 1)-заряд- Соответствующий функционал энергии имеет вид
Е = Д\\Ф\2 + \\УФ\2 + и(\ф\)^ d3x, (2)
'Mathematics Division, School of Technology, Aristotle University of Thessaloniki, Thessaloniki 54124, Greece. E-mail: ti3@gen.auth.gr
^Physics Department, Aristotle University of Thessaloniki, Thessaloniki 54124, Greece. E-mail: kouirouki@astro.auth.gr, vlachos@physics.auth.gr
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К Q-БОЛЛАМ
343
а сохраняющийся (из-за глобальной U(1)-симметрии) ток Нётер есть ■, >
' ^ = > (3)
;, . тг- - . -an 21 V{t , ,
причем заряд равен • " • »•- «-» з * ■ ! • - :<
0=^/(Фд1ф-фдгФ)(13х. ' ' (4)
Стационарное решение вида Q-болла можно получить, полагая - •
'^/»"ЦИПТОЛ ф = ешг^ Л- •. ' , ..»/ 4 V* (5)
где /(г) - вещественная радиальная функция профиля, удовлетворяющая обыкновенному дифференциальному уравнению
%'Ц- -/-пл (6)
'л: ' <- ¡4 , ; •• , . 'и iu . . .
с граничными условиями/(оо) = 0и/'(0) = 0. В каждом случае эффективный потенциал определяется как Ueg(f) = w2/2/2 — U(f), а существование решений вида Q-болла приводит к ограничениям на потенциал U(f) и частоту и>: 1) эффективная масса решения / должна быть отрицательной, откуда, полагая U(0) = U'(0) = 0 и U"(0) = J+ > 0, можно вывести, что со < 2) минимум функции U (/)//2 должен достигаться при некотором положительном значении / (скажем, 0 < /о < оо), и существование решения требует, чтобы и > где и>1_ = 2t/(/o)//о- Поэтому Q-боллы существуют при всех и; в интервале и;_ < |а;| < и;+.
Заряд (4) и энергия (2) стационарного решения вида Q-болла (5) принимают простой вид:
Q = 4ncu Jr2f2(r)dr, \ (7)
v E = + 4ТГ Д ^ + t/(/)^r2 dr. f (8)
Выбор потенциала при этом неоднозначен, поскольку единственное требование состоит в том, чтобы отношение U(f)/f2 имело локальный минимум при некотором ненулевом значении/. Однако мы рассмотрим случай, когда
U " U(f) = "$f2-\if4 + ^f6, (9).
при котором U1+ = mi и и>- = ^/(2mf/xi — A2)/(2/^i). Устойчивые Q-боллы существуют при \J(2m\m — A2)/(2/zi) < ш < mi. Тогда уравнение движения (6) принимает вид
^+2|=а!/_4Л1/з+6иЛ (10)
/
344
Т. А. ИОАННИДУ, А. КУЙРУКИДИС, Н.Д. ВЛАХОС
где а2 = т\ — и2. Если интерпретировать / как положение частицы, а г как время, то уравнение (10) можно воспринимать как ньютоновское уравнение движения частицы единичной массы, подчиненной вязкому трению и движущейся в эффективном потенциале ш2/2/2 — [/(/). Это приводит к ограничениям на потенциал и частоту ш, обеспечивающим существование решения вида ф-болла (см. обсуждение в разделе 2). По поводу дальнейших подробностей мы отсылаем читателя к работе Коулмена [1], где доказана фундаментальная теорема существования для этих £?-боллов и найдены их низшие возбуждения. I, лте^.И'Ш ^и,.
2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ ПОТЕНЦИАЛА
С точки зрения механики решение вида ф-болла описывает движение частицы с трением в потенциале
..... " "¿¡яи'л, . •"•
иея(Л = -\<х212 + А1/4-/XI/6, Аь/ц>0. (11)
Выполняя масштабное преобразование г —»• г/а и полагая /(г) = /(0)ф(аг), где ф(0) = 1, преобразуем уравнение (10) к виду Г\п » - (ооГ, п....
где А = Лх/(0)2/а2 и ¡л — Ц1/(0)4/а2, а эффективный потенциал (11) принимает вид
и(ф) = -±ф2 + \ф*-11ф6. (13)
Интегрируя уравнение (12), получаем . , „
Г
Специальные случаи ть = 3 и п = 0 приводят соответственно к условиям
(15)
У йг = ~ Х-ф{О)2 + А^(0)4 - Мф(О)6 =е 1/(1). (16)
Первое условие является теоремой Деррика (или вириальной теоремой): в трехмерной модели кинетическая энергия в три раза превосходит потенциальную; второе же условие описывает диссипацию энергии в механической системе.
При рассмотрении механического аналога задачи на С/(1) налагаются определенные ограничения. Для частицы, исходно расположенной в точке ^(0) = 1, начинающей соскальзывать с потенциальной стенки и в конце концов останавливающейся в точке
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ф-БОЛЛАМ
345
■ф(оо) = 0, потенциальная энергия (13) в начале координат 11(1) должна быть поглощена за счет члена с трением (2/т)скр/с1г (здесь г соответствует временной переменной). Поэтому ограничения на 11(1) должны быть как снизу, так и сверху, поскольку при больших [/(1) частица перелетит через верхнюю точку, а при малых 11(1) она ее не достигнет. , '
Исходная потенциальная энергия [/(1) должна быть положительной, /х ^ А — 1/2; 11'( 1) также должна быть положительной (притягивающая "сила"): ц ^ (4А — 1)/6. Эти условия выполнены при 1/2<А<1иА>1, соответственно. В зависимости от формы потенциала (т.е. от конкретных значений А и /х) возможны следующие отличные друг от друга случаи. ; _ , ^ л> Чг , ^ —....... „ V
I. Приближение тонких стенок. В этом случае ^(0) лежит вблизи максимума эффективного потенциала, являющегося глубоким. Тогда II'(1) = — 1 + 4А — 6/х ~ О должна быть положительной и близкой к нулю (медленное скатывание), а [/"(1) - отрицательной (выпуклая область) и иметь порядок единицы. Решение вида ф-боллаприближенно лежит на линии
/х= -(4А-1), ^ (17)
и исходная потенциальная энергия линейно зависит от А:
/ . 1/(1) = |(А-1), А > 1. ; " (18)
з
II. Приближение толстых стенок. Здесь потенциал является мелким и максимумы расположены высоко, II" (1) является положительной и большой (вогнутая область) и ц мало. Исходная потенциальная энергия 1/(1) возрастает с А и достигает своего максимального значения при /х —> 0. Это значение можно определить численно, и результат равен Агпах ~ 4.70137. Однако реальная функциональная зависимость 1/(1) от А не известна, и ее следует определить.
В предположении степенного поведения потенциала в главном порядке вида
= = «А" '•••Ч-№
из уравнения (13) следует, что решение вида б?-болла лежит на линии , ¡¡¿1
^ ' • /х = -1 + А - /сА", ,п * (20)
которая определяет к через Атах (поскольку /х(Атах) = 0): ""' '' '' ' ' • ЛI. < 2Атах — 1 ' -
о\п
(21)
При этом значение п в формуле (19) определяется исходя из требования, чтобы переход из области толстых стенок в область тонких был гладким, откуда, как доказано в работе [6], следует п — 3, а потому к = 1/24.75. ,
А '
346
Т. А. ИОАННИДУ, А. КУЙРУКИДИС, Н.Д. ВЛАХОС
3. СВОЙСТВА ф-БОЛЛОВ
Используя формулы масштабного преобр£130вания из предыдущего раздела, можно аналитически определить зависимость функций Е, ф и /(0) от а. Исходное значение поля /(0) в терминах преобразованных формул есть
.................."-у;,т- <22>
а соответствующие функционалы заряда (7) и энергии (8) принимают вид 1
д = 4™ А (23) а М У0
В = + + (24)
В работе [7] было показано, что пробная функция, удовлетворяющая граничным условиям и имеющая правильное асимптотическое поведение, является симметризованным профилем Вудса-Саксона:
Ф{Г) = С (25> + С1 сЬ(Ьг)
в терминах которого функционалы заряда (23) и энергии (24) можно явно вычислить
как
_ 47га) Ас2. , .
- * - £+К"с4+5б2<1 - Ш (27)
2т
, С1 < 1. (28)
г + ^2/хс4 - Ас' Здесь г'о-функция от С1, задаваемая в виде , #
'о (ер = , * .агссЬ[ —] 7Г2 + агссЬ [ — ] л/1 - с? \С1/
Заметим, что Ах, щ , тп - фиксированные внешние параметры, А изменяется непрерывно от 1 до 4.70137, а ц - известная функция от А, заданная одной из формул (17) или (20) в зависимости от режима. Поэтому имеется только два неопределенных параметра -параметры профиля Ь и с\.
Эти параметры можно определить, налагая условия (15) и (16) на ф(г), т.е.
....... + +
ёг о
/
. BJIAXOC
IB
редцдущего раздела, можно (0) от а. Исходное значение
(22)
принимают вид
(23)
■"МО' !
+ ßi> jr dr. r¡ , (24)
творяющая граничным усло-является симметризованным
(25)
[ (24) можно явно вычислить
1
Ь2с? )г0+
;Ъ2( 1
С1 < 1.
(26)
(27)
(28)
ры, А изменяется непрерывно дной из формул (17) или (20) неопределенных параметра -
5) и (16) на ф(г), т.е.
т
\ 2 \ "'О ,
- Ac ci —+
dip dci
(29)
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К Q-ВОЛЛАМ
ЯЭ-'il'f:.
347
Заметим, что получаемые таким образом значения ci и Ь являются универсальными, поскольку они не зависят от геометрических параметров потенциала. Тем не менее значения энергии и заряда зависят от конкретного вида потенциала, т.е. от значений Ai, ßi и т. Эти значения стремятся к бесконечности в каждом из пределов, поскольку в пределе тонких стенок ci —► 0, а в пределе толстых стенок а —► 0. Интересно подчеркнуть, что область применимости приближения толстых стенок очень широка и дает удовл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.