научная статья по теме АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА Кибернетика

Текст научной статьи на тему «АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА»

ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 4, с. 3-12

ТЕОРИЯ СИСТЕМ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 681.5

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА*

© 2015 г. А. З. Асанов, Д. Н. Демьянов

Казань, Казанский (Приволжский) федеральный ун-т Поступила в редакцию 20.10.14 г., после доработки 13.02.15 г.

Рассмотрена задача одновременного оценивания нескольких линейных комбинаций переменных состояния динамической системы со многими входами и многими выходами. Предложен метод разделения вектора состояния на несколько компонент, причем для восстановления искомой вектор-функции требуются сведения только о некоторых из них. Сформулирован алгоритм аналитического синтеза, позволяющий получить функциональный наблюдатель минимально возможной размерности. При этом процедура вычисления коэффициентов наблюдателя в конечном итоге сводится к решению задачи модального управления. Представленный метод основывается на применении технологии канонизации матриц.

Б01: 10.7868/80002338815040046

Введение. Задача эффективного управления сложной технической системой тесно связана с проблемой оценивания параметров протекающих в ней процессов. На практике для этого достаточно широко используются наблюдатели (полного порядка и редуцированные), позволяющие восстанавливать вектор состояния по известным данным о входных и выходных сигналах [1].

Применение наблюдающих устройств становится особенно актуальным в системах управления мобильными системами/комплексами, функционирующими автономно или дистанционно управляемыми. Такие объекты, как правило, длительное время функционируют в условиях частично неопределенной внешней среды, при наличии целого ряда существенных возмущений. Поэтому важная практическая задача — постоянное оценивание переменных состояния мобильного объекта, диагностирование работоспособности и качества функционирования как основных узлов, так и системы в целом. Другим аспектом применения наблюдающих устройств может явиться возможность определенного частичного дублирования важных компонентов измерительных подсистем (например, датчиков/измерителей), что способно повысить надежность измерительной подсистемы в частности и мобильного объекта в целом. Особенностью мобильных систем/комплексов является то, что на аппаратную часть информационно-управляющей системы накладываются жесткие ограничения, приводящие к необходимости как можно более эффективно использовать имеющиеся вычислительные ресурсы. В этих условиях весьма актуальной задачей становится проектирование наблюдающих устройств, оценивающих переменные состояния или их линейные комбинации, обладающих минимально возможной размерностью.

Вопросы аналитического синтеза функциональных наблюдателей рассматривались ранее в работах как зарубежных, так и российских исследователей [2—4]. Однако, практическое использование указанных методов весьма затруднительно из-за их слабой формализации. Так, например, применение метода псевдовходов предполагает отыскание гурвицева полинома, удовлетворяющего некоторым условиям, что является в реальных условиях весьма трудоемкой плохо обусловленной задачей.

Применение математического аппарата технологии канонизации матриц и вложения систем [5] открывает новые возможности решения задач синтеза регуляторов и наблюдателей многосвязными динамическими системами [6, 7]. Этот подход позволяет с единых позиций решать широкий круг задач анализа и синтеза систем управления [8, 9], получая все возможное множество решений.

В данной работе рассматривается задача аналитического синтеза функциональных наблюдателей минимальной размерности. Предлагается алгоритм их проектирования, позволяющий с

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-08-00651) и средств субсидий, выделенной Казанскому федеральному университету для выполнения государственного задания в сфере научной деятельности.

помощью невырожденных преобразований переменных состояния свести исходную проблему к задаче модального управления, решение которой может быть найдено с помощью известных и хорошо отработанных методов.

1. Постановка задачи. Пусть рассматривается динамический объект, описываемый уравнениями в пространстве состояний

х = Ах + Ви; у = Сх. (1.1)

Здесь х е Я", и е у е Ят — векторы состояния, управления, выхода и внешних возмущений, А, В, С — числовые матрицы соответствующих размеров. Предполагается, что все матрицы коэффициентов известны, вектор состояния не доступен непосредственному измерению, вектор управления и вектор выхода могут быть измерены с высокой точностью, пара (А, С) является полностью наблюдаемой по Калману, все строки матрицы выхода линейно-независимы, причем т < ".

Предположим, что интересующая нас информация о процессах, протекающих в изучаемом объекте, содержится в векторе g, определяемом соотношением

^ = Кх. (1.2)

Здесь g е Яр, К — числовая матрица соответствующих размеров.

Требуется: синтезировать динамическую систему, которая формировала бы по известной информации о сигналах у и и вектор g такой, что:

б (г) = § (?) - g (?) ^ 0 при г ^да. (1.3)

2. Предварительные соотношения. Для решения поставленной задачи будем использовать технологию канонизации матриц [5], суть которой заключается в том, что некоторой матрице М

~ ь — ь — Я

размера т х " ставится в соответствие четверка матриц М , М , М , М , удовлетворяющих ра-

венству:

М \_МЯ МЯ ] =

М ь

Мь

I о

о о

Здесь М , М — левый и правый матричные делители единицы, М , М — левый и правый матричные делители нуля. Сводный канонизатор матрицы М обозначается символом М и определяется формулой М = ММ .

Определим вектор состояния динамического объекта из второго уравнения системы (1.1), используя методы решения линейных матричных уравнений произвольного вида [5]:

х = Су + СЯ1. (2.1)

Здесь г — некоторый неизвестный вектор длиной п — т.

Выражение (2.1) будет справедливо всегда, так как, согласно принятым допущениям, матрица выхода имеет полный строчный ранг, т. е. Сь = 0.

Подставив выражение (2.1) в формулу (1.2), получим

g = КСу + КСЯг. (2.2)

Если КСЯ = 0, то поставленную задачу можно считать решенной. Из уравнения (2.2) будет следовать, что g = КСу и значение искомого функционала можно в любой момент времени точно определить по известному выходу.

Однако в реальности описанная выше ситуация встречается достаточно редко. Как правило, КСЯ ф 0. В таком случае представим вектор г в следующем виде:

г = Т (2.3)

Здесь Т = (Т] Т2) — некоторая квадратная обратимая матрица, ц, п — вектора длиной к и п — т — к соответственно. Подставив выражение (2.3) в формулу (2.2), получим

g = КСу + КСк7\1 + КСкТ2ц. (2.4)

Общая идея излагаемого в дальнейшем подхода заключается в том, чтобы обнулить последнее слагаемое в правой части уравнения (2.4) и построить асимптотический наблюдатель для оценки вектора ц, использовав его для расчета g.

Выберем матрицу Т2, такую, что КСкТ2 = 0. Очевидно, что при этом Т2 = КСк п, где п — произвольная матрица соответствующей размерности. Так как по определению матрица Т2 является блоком квадратной обратимой матрицы, то все ее столбцы должны быть линейно-независимыми. Следовательно, ранг матрицы п должен быть равен числу ее столбцов.

Определим матрицу Т1 из условия обратимости матрицы Т:

7 = 7

КСк п

(2.5)

Доказательство обратимости матрицы Т, полученной таким образом, проведем от обратного.

—ь т

Пусть матрица Т = ((Т2 ) Т2) является вырожденной. Следовательно, существует такой ненулевой вектор X, что

М(Т2 V т2) = о. (2.6)

Уравнение (2.6) эквивалентно следующей системе:

|мТ2 V = о; Т2 = о.

Из второго уравнения системы (2.7) справедливо

(2.7)

^ = Т \ (2.8)

где у — некоторый вектор.

Подставив выражение (2.8) в первое уравнение системы (2.7), получим

уТ2£ (ТТ )т = 0. (2.9)

—I —I т

Матрица Т2 (Т2 ) — квадратная, а ее определитель, согласно [6], будет равен нулю только в

том случае, если в матрице Т21 будут существовать линейно-зависимые строки. Но это противо-

—ь-Ь т

речит свойствам левого делителя нуля [5]. Следовательно, матрица Т2 (Т2 ) — квадратная и обратимая, а выражение (2.9) будет справедливо только лишь при условии у = 0. А из этого с учетом (2.8) следует равенство нулю вектора X.

Таким образом, соотношение (2.6) будет выполняться, только если X = 0. Значит, сделанное нами предположение оказалось неверным и матрица Т является невырожденной.

Следует отметить, что при вычислении матрицы Т2 может иметь место ситуация, когда

КС = 0. В этом случае разделение вектора г на 2 компоненты по формуле (2.3) невозможно и применение предлагаемого подхода нецелесообразно. Подобная ситуация может возникать, если все столбцы матрицы КСх линейно-независимы. Что, в свою очередь, возможно при условии,

что число строк матрицы К не меньше числа столбцов матрицы Ск, т.е., используя принятые обозначения р > п - т.

Интерпретировать полученный результат можно следующим образом: если порядок восстанавливаемого линейного функционала меньше или равен п - т, то для его оценки следует восстановить все переменные состояния. При этом следует использовать наблюдатель полного порядка либо наблюдатель Люенбергера порядка п - т.

Используя полученные соотношения для элементов матрицы Т, а также формулы (2.1), (2.3), (2.4), получим выражения для векторов х и g:

-ь\

х = Су + С1

КС1 п

ц + С1 КС1 пц,

(2.10)

-¿Л

g = КСу + КС1

КС1 п

(2.11)

Перепишем выражение (2.10) в матричном виде:

(-

-ь\ т

С Ск

КС1 п

V у ^

СкКСк п

V

И

vv

Обозначим

( (-

и =

-¿л

С С1

КС1 п

СкКСк п

= ( и2 из); V = и- = (( V? Г3Т))

(.12)

(2.13)

Таким образом, получены матрицы преобразования, связывающие вектор состояния динамического объекта с его выходным вектором и двумя неизвестными векторами. При этом только один из упомянутых неизвестных векторов нужен для определения искомого вектора g.

3. Синтез наблюдающего устройства. Запишем уравнение динамики объекта (1.1) в новых координатах, определяемых соотношением (2.12):

(

(-

-ь\

С С1

КС1 п

С1КС1 п

( у ^ Г Г 1 ьл

А = л С С1 КС1 п

у V V У

V у л

С1 КС1 п

И

+ Ви.

Преобразуем полученную систему

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Кибернетика»