МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <5 • 2008
УДК 532.517.013.4:537.2
© 2008 г. С. О. ШИРЯЕВА
АНАЛИТИЧЕСКОЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯЦИЯХ ТОЛСТОЙ ЗАРЯЖЕННОЙ СТРУИ
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В аналитических асимптотических расчетах второго порядка малости найдено решение задачи о нелинейных осцилляциях однородно заряженной струи электропроводной вязкой жидкости с учетом радиального распределения поля скоростей течения жидкости в струе. Обнаружен феномен постепенной передачи энергии из изначально возбужденной волны в волну с удвоенным волновым числом, возбуждающуюся за счет нелинейного взаимодействия в вязкой струе, тогда как в идеальной жидкости амплитуда нелинейной поправки формируется мгновенно в начальный момент времени.
Ключевые слова: вязкая жидкость, струя, нелинейные осцилляции, электрический заряд.
Большая часть проведенных к настоящему времени аналитических исследований нелинейных осцилляций жидких струй выполнена для модели идеальной жидкости [1-5], учет вязкости жидкости в подобных задачах проведен лишь в приближении "тонкой струи", когда радиальное распределение поля скоростей течения жидкости в струе, связанное с ее осцилляциями, считается однородным (не зависящим от радиальной переменной) [3]. Такая постановка задачи не позволяет провести корректный учет влияния эффекта релаксации электрического заряда или поверхностно-активных веществ (ПАВ) на нелинейные осцилляции заряженной струи (как это делается для нелинейных волн на плоской поверхности жидкости [6, 7]), поскольку уравнение баланса заряда или примеси ПАВ содержит нормальную к поверхности компоненту скорости течения жидкости в струе [8]. В настоящем рассмотрении по методике, использованной ранее в [9, 10] для анализа нелинейных осцилляций заряженной капли вязкой электропроводной жидкости и заряженного пузырька в диэлектрической вязкой жидкости, проводится строгий нелинейный асимптотический анализ осцилляций струи с учетом неоднородности радиального распределения поля скоростей.
1. Постановка задачи и ее математическая формулировка. Пусть имеется бесконечная, движущаяся вдоль оси симметрии с постоянной скоростью и0 цилиндрическая струя радиуса Я вязкой несжимаемой идеально проводящей жидкости с массовой плотностью р, кинематической вязкостью V и коэффициентом поверхностного натяжения о. Поверхность струи поддерживается при постоянном электрическом потенциале относительно весьма удаленного сосного цилиндрического противоэлектрода. Электрический заряд распределен по цилиндрической (в отсутствие возмущений) поверхности струи с постоянной поверхностной плотностью %.
Введем цилиндрическую систему координат, начало которой движется со скоростью и0, а ось г направлена вдоль оси симметрии невозмущенной струи по направлению ее движения: пг||и0. Будем исследовать эволюцию во времени бегущей по поверхности струи в положительном направлении оси г осесимметричной волны с волновым числом к0, амплитуда которой мала по сравнению с ее длиной и радиусом струи.
Все рассмотрение проведем в безразмерных переменных, в которых Я = р = о = 1. Тогда уравнение свободной поверхности струи, возмущенной волновым движением, в произвольный момент времени t запишется в виде
г =1+ £(г, г), « 1 (1.1)
где г, 7 - цилиндрические координаты, t - время, £ - функция, описывающая искажение равновесной цилиндрической формы струи. Начальная деформация струи определяется выражением
£(г, г = 0) = еехр(гк0г) + (к.с.), е ^ 1 (1.2)
Здесь е - безразмерная амплитуда начальной деформации, играющая роль малого параметра; аббревиатура (к.с) обозначает слагаемые, комплексно-сопряженные к выписанным. В принятой системе отсчета поле скоростей движения жидкости в струе будет полностью определяться капиллярными колебаниями ее поверхности и иметь тот же порядок малости, что и амплитуда деформации.
Математическая формулировка задачи состоит из уравнений гидродинамики и электростатики (в предположении, что скорость движения жидкости много меньше релятивистской):
дг и + (и V) и = - —Р + vДU, Шуи = 0, ДФ = 0 (1.3)
условий ограниченности для поля скоростей на оси струи и для напряженности электрического поля струи на бесконечности:
г ^ 0: |и| г |—Ф| ^ 0 (1.4)
На свободной поверхности (1.1) потребуем выполнения кинематического и динамических граничных условий и условия эквипотенциальности поверхности струи
д,Е + и —Г = 0, я г, г, г ) = г - [ 1 + £(г, г)]
х( п V) и + п (XV) и = 0
- (Р - Рагт) + 2Vп(п V)и - Рф + Ро = 0 а5)
Ф = Ф5( г)
Здесь дt означает частную производную по переменной £ п и X - орты нормали и касательной к поверхности (1.1); Р - давление жидкости внутри струи; Рат - атмосферное давление; Рф и Ро - давления электрического поля и сил поверхностного натяжения соответственно; Ф - электрический потенциал в окрестности струи; Ф^) - потенциал поверхности струи.
Для замыкания системы уравнений (1.3)-(1.5) необходимо задать еще два начальных условия. В качестве одного из них естественно выбрать форму струи в начальный момент времени (1.2). В качестве второго примем нулевое значение начального поля скоростей волнового движения:
г = 0: и = 0 (1.6)
2. Процедура отыскания решения. Решение нелинейной системы уравнений (1.2)-(1.6) будем искать методом прямого разложения по малому параметру е. Ограничиваясь точностью до второго порядка малости включительно, представим искомые функции в виде асимптотических разложений по степеням е:
г, г) = е^( 1}(г, г) + е2г, г) + О(е3) и(г, г, г) = [еи(г1\г, г, г) + е2и^2)(г, г, г)]ег +
+ [е^1^г, г, г) + е2Ц2)(г, г, г)]ег + О(е3) (2.1)
Р(г, г, г) = Р(0} + еР(:)(г, г, г) + е2Р(2)(г, г, г) + О(е3)
Ф(г, г, г) = Ф(0)(г) + еФ(1)(г, г, г) + е2Ф(2)(г, г, г) + О(е3)
где ег, ег - орты цилиндрической системы координат.
В виде аналогичных разложений представим давления Рф, Ра и потенциал поверхности струи:
Рф(г, г) = Рф0) + ерф)(г, г) + е2Рф2)(г, г) + О(е3) Ра(г, г) = ) + еР^(г, г) + е2Р^2)(г, г) + О(е3) ф5( г) = фГ + еФ^ г) + е2Ф52)( г) + О (е3)
Подставляя данные разложения в выписанную систему уравнений и приравнивая коэффициенты при различных степенях малого параметра е, разделим исходную нелинейную задачу на совокупность связанных между собой линейных неоднородных задач различных порядков малости.
Решения задач нулевого и первого порядков, не представляющих трудностей, приведем сразу, не выписывая формулировок самих задач. В нулевом порядке малости получим
Ф(0) = -4пх1п(г); Р(0) = Раш -2пх2+1 (2.2)
Решение задачи первого порядка малости, которое отыскивается классическими методами на основе использования преобразования Лапласа по времени г и преобразования Фурье по пространственной переменной г, имеет вид
1)(г, г) = >(г)ехр(-¡^г) + (к.с.) и(г1\г, г, г) = ЦЦ(г, г) ехр(-¡^г) + (к.с.) иг1)(г, г, г) = ¡Щ](г, г)ехр(-¡ког) + (к.с.) Р(1)(г, г, г) = Рк])(г, г)ехр(-¡^г) + (к.с.)
Ф(1)( г, г, г) = 4п^( 1)( г, г) ^ (2.3)
К0(к0)
Э (к, 5) = Я2 - 2v
22^ от
ОН)).
5О(к) -2к2(5 + vk2)(1-
+ ю2 (к)
2 2 2 х1, (х) хК, (х)
ю2( к ) = О (к)[ к2-1 + 4 пх2( 1- Н (к))], О (х) = ; Я( х ) = К7хТ
10 (х) К 0(х)
+ ^ 2 ,, ч
% \ t) = I af exp (Sk-) t), af- -Ш( ko)
-=i s^\d (k 0, s^ ))
rr(1)/ ^ ( (:)11 (k0r) i»11(
^Гк0(r>t) = - IIa')тттт - b )-гтт-у IexP(Sko)t)
1 - 11 ( ko ) 11 (l: )
г = 1
rr(1)/ ^ V ( (-)10(k0r) , (:) l: ^0(l:r)^
uy(r, t) = I I aw -- - b—:-—-r— exp(Sk t)
zk0 , V k0) k0 /1 (l-)J FV k0
: = 1
+ ~ s(:) Til \
Pk0)(r, t) = I a^^ exp (S-k) t), l- , ko
i = 1
д(„) = (^ ' + 2ук0) со (к0) ^п) = 2ук, ю2(к0)
' = %) ^ ( ко, ^) ) ' " ^) Э*0 ( к,, ^) ) '
где 1п(х) - модифицированная функция Бесселя первого рода; Кп(х) - модифицированная функция Бесселя второго рода. Отметим, что в выражениях (2.4), определяющих коэффициенты разложений: (О, и(г, 0, и^) (г, г), Рк^(г, 0, суммирование ведется
по бесконечному набору корней дисперсионного уравнения задачи В(к0, ^к""1) = 0;
Э5В(к0, ) - значение производной по переменной 5 от функции В (к, 5), вычисленное при к = к0 и 5 = .
3. Задача второго порядка малости. Математическая процедура отыскания решения задачи второго порядка малости и конечные результаты весьма громоздки. В рамках журнальной статьи привести аналитические выражения для всех искомых поправок второго порядка малости не представляется возможным из-за большого объема математических выражений, поэтому в нижеследующих рассуждениях основное внимание будет уделено получению нелинейной поправки к профилю струи г), что же касается отыскания поправок (г, 7, г), Ц2*1 (г, 7, г), Р(2)(г, 7, г), Ф(2)(г, 7, г), то математическая процедура будет описана с детальностью, позволяющей читателю воспроизвести недостающие расчеты.
Математическая формулировка задачи второго порядка малости имеет вид
dtu r2) + d„P(2) - v|a U2)-1 и r2)) = -( u( 1) atuf + dzp(2) - vauf = -( u( 1)v )u Z1 )
эгиГ2) + l-ur2) + azuf = 0, аф(2) = 0 t = 0: u(2) = 0, ^(2) = 0
r ^ 0: | uГ2)|, | uf) < ^; r ^ + <~: VФ(2) ^ 0
г = 1: Ф(2) + 2)ЭГ Ф( 0) = Ф^2)( г) - ¡;(1Чф(1) -2 С^(1))2 Эггф( 0)
(3.1)
и;>- эд ^ = и.1 э^дги; ?'
ЭП^ + дги? = - ^Ч {дги? + Э^) -2 Э. ^(1)ОгиГ1) - Эги^1))
- Р2) + 2Удги^> - -ПэгФ(0)ОгФ(2) + ^(2)ЭГГФ(0)) - 2) + Эгг^(2)) =
= ¡;(ЧР(1) - 2у[^(1)ЭгТЦ?) - д.1)(ЭгиГ4 + Эги.15)] +
+ ¿Л [(дгФ(1 ))2 + (Э.Ф(1))2 + 2^(1)(ЭГГФ( 0)ЭГФ(» + ЭГФ( 0)дггф(1)) +
+ (^(1))2((ЭГ гФ( 0))2 + Эгф( % ГФ( 0)) ] - ((^(1))2 -1 (Э. 1))2)
Краевая задача представляет собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных относительно величин
иГ2) (г, 7, г), и2 (г, 7, г), Р(2)(г, 7, г), х(2)(7, г), Ф(2)(г, 7, г). Каждая из функций неоднородно-стей /(г, 7, г), стоящих справа от знаков равенства в полученной системе уравнений, представима в виде суммы двух компонент:
(г, г) = /1,(г, г)ехр(-¿2*0*) + Г2(Г, г) (] = 1, ..., 6)
Зависимость первой аддитивной компоненты/у(г, г)ехр(—'2к07) от координаты 7 определяется гармонической функцией с волновым числом, равным удвоенному волновому числу начальной волны. Вторая аддитивная компонента /2/г, г) от координаты 7 не зависит. Поэтому в силу линейности задачи (3.1) искомые функции второго порядка мало
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.