МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2014
УДК 532.591
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАРОЖДЕНИЯ ЦУНАМИ, ВЫЗВАННОГО ПРОСТЫМИ ФИНИТНЫМИ РАЗРЫВНЫМ И НЕГЛАДКИМ ИСТОЧНИКАМИ ПОРШНЕВОГО ТИПА
© 2014 г. Б. И. ВОЛКОВ*, Х. Х. ИЛЬЯСОВ**, С. Я. СЕКЕРЖ-ЗЕНЬКОВИЧ**,***
* Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва ** Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва *** Финансовый университет при Правительстве РФ, Москва e-mail: b.i.volkov@gmail.com, ilyasov@ipmenet.ru, secer@ipmnet.ru
Поступила в редакцию 04.10.2013 г.
Изучается аналитически линейная гидродинамическая задача о зарождении волн цунами в рамках потенциальной модели с финитными разрывным и негладким источниками поршневого типа. Полученные результаты сравниваются с известными для гладкого источника бесконечной протяженности.
Ключевые слова: потенциальная модель цунами, зарождение цунами, простые финитные разрывные и негладкие источники.
Из трех традиционно выделяемых (см. обзор [1]) стадий развития волн цунами: формирование, свободное распространение в открытом океане и набегание на мелководье — здесь аналитически исследуется первая в рамках гидродинамической потенциальной модели. Начальная фаза этой стадии в рамках той же модели детально рассмотрена в [2], где она была названа "зарождением цунами". За счет специального выбора гладкого бесконечно протяженного источника поршневого типа решение задачи [2] представлено в виде однократных интегралов, которые без проблем были рассчитаны численно.
Цель настоящей работы — провести аналогичное исследование для финитных источников: разрывного и негладкого (но непрерывного) и сравнить результаты с таковыми в [2].
Рассматривается линейная задача о возбуждении поверхностных волн в слое тяжелой идеальной несжимаемой однородной жидкости постоянной глубины H0. Жидкость бесконечна по горизонтальным обезразмеренным на H0 декартовым координатам xx и x2, имеет сверху свободную поверхность при z = 0 и не может протекать сквозь дно при обезмеренном на H0 z = -1. Давление на свободной поверхности жидкости считается равным нулю. Предполагается, что в момент t = 0, где t есть обезразмерен-
ное на -JH0 /g время и g — ускорение силы тяжести, произошло мгновенное вертикальное осесимметричное перемещение дна бассейна, рассматриваемое как источник цунами. Считается, что 1) источник действует по закону 8(t), 2) распределение источника по горизонтали есть s0sb(\x\/l), где x = (x:, x2) е R2, s0 есть максимальное размерное перемещение дна, l — обезразмеренный на H0 характеристический размер источника по горизонтали и sb(|x|/l) — задаваемая ниже функция, удовлетворяющая
условию 11sb(r/¡)\гУ2йг < ж [3]. Кроме того, предполагается, что выполнены ограниче-
0
ния \50| ^ Н0 и I > 1. Первое позволяет использовать линейную постановку задачи, второе наложено в соответствии с известными наблюдениями реальных цунами [1].
Требуется определить обезразмеренный на 50Л/^Но потенциал ф(\х\, г,г) скорости во всем занятом жидкостью объеме и обезразмеренное на 50 возвышение п(\х\, О свободной поверхности жидкости над ее невозмущенным уровнем z = 0.
В данной работе рассматриваются два варианта финитных источников: разрывный и негладкий, задаваемые, соответственно, через единичную ступенчатую функцию Хевисайда так:
(I х/о =
0(I- |х|), |х| е[0,ю), (0.1)
0(I- |х|)(1 - (|х|/[)2), |х| е[0,ю) (0.2)
Заметим, что в [2] анализ зарождения цунами выполнен для бесконечно протяженного по горизонтали источника, задаваемого функцией
(\х\/0 = [(\х\/1)2 + 1]-3'2, х = (Х1, Х2) 6 я2, \х\ = ^х1 + X22 (0.3)
Здесь этот источник назван "гладким".
Функции (0.1) и (0.3) рассматривались в работах [4]—[6], где они использовались в разных задачах — см. также обзор [1]. Работы с источником типа (0.2) авторам не известны.
В [6] функцией (0.3) задано начальное возвышение свободной поверхности жидкости в классической гидродинамической задаче Коши—Пуассона. Там же отмечено, что при \х\ = I имеет место равенство sb(1) — 0.354 и параметр l назван характеристическим радиусом источника. Этот термин используется и здесь. В [6] решение задачи Коши— Пуассона изучалось в случаях I = 1,2.5,5.
1. Постановка задачи в классе обобщенных функций и сведение ее к классическим задачам. Приведем уравнения потенциальной модели цунами [1], упростив их применительно к заданному выше источнику. Из-за наличия 8(г) в граничном условии на дне уточним математическую постановку задачи, следуя принятому в теории обобщенных функций подходу [7].
Искомые потенциал скорости жидкости и возвышение ее свободной поверхности рассматриваются как обобщенные функции по переменной г е (-да, да), зависящие от переменных x и г е [-1,0] как от параметров, причем эти функции должны быть равны нулю при г < 0; искомые обобщенные функции обозначены прописными буквами, а регулярные — соответствующими строчными. Считается, что вектор скорости V связан с потенциалом равенством
V = УФ (1.1)
где V обозначает градиент по переменным (х, г).
Функции Ф(х, г, г) и Н^, 0 должны удовлетворять при х = (х1, Х2) е Я2 следующим уравнениям:
V 2Ф(х, г, г) = 0 (-1 < г < 0)
дН(х. г) дФ(х, г, г)
дг дг
дфх г, г)
г=0 дг
= -Н(х, г) (1.2)
г=0
зо
дФ(х г, г)
дг
= ^(х/I) х5(0
г=-1
Ф(х, г, г) = 0, Н(х, г) = 0 (г < 0)
Здесь sb(x/1) — одна из функций (0.1)—(0.3), символом х обозначено прямое произведение.
Обобщенные функции ищутся в виде
Ф(х, г, г) = Фо(х, г) х 5(0 + 9(г)ф(х, г, г), Н(х, г) = 9(г)п(х, г)
(1.3)
где ф0(х, г), Ф(х, г, г) и п(х, г) — регулярные функции, 0 = 0 при г < 0 и 0 = 1 при г > 0.
Подставим (1.3) в (1.2) и приравняем отдельно между собой множители при обобщенных функциях 8'(г), 8(г) и 9(г), соответственно. Затем из полученной системы равенств, учтя свойства 8(г), получим две задачи для регулярных функций ф0(х, г), Ф(х, г, г) и п(х, г).
Во-первых, краевую задачу для ф0(х, г)
У2ф0(х, г) = 0 (-1 < г < 0) дфр(х, г)
ф0(х, 0) = 0,
дг
= ч(х)
(1.4)
г=-1
и во-вторых, начально-краевую задачу для ф(х, г, г) и п(х, г) при г > 0 V 2ф(х, г, г) = 0 (-1 < г < 0)
ф(х 0,0) = 0, п(х, 0) = дф^хг
дг
(1.5)
г =0
М = -п(х, г), дг
дп(х г) _ дф(х, г, г)
дг
дг
г=0
дф(х г, г)
дг
= 0
г=-1
Заметим, что в последней задаче граничное условие на дне ставится при г = —1, а не при г = -1 + 5Ь(|х|/1) по причине принятого во введении ограничения |^0| ^ Н0.
Решив краевую задачу (1.4), найдем регулярную функцию ф0(х, г). Подставив ее в (1.5), получим для ф(х, г, г) и п(х, г) начально-краевую задачу, называемую в гидродинамике задачей Коши—Пуассона для жидкости конечной глубины.
Поясним физический смысл искомых функций п(х, г), ф(х, г, г) и ф0(х, г) в (1.3)—(1.5). Из (1.3) следует, что п(х, г) описывает возвышение свободной поверхности жидкости при г > 0. Подставив обобщенный потенциал из (1.3) в (1.1), имеем
V = Уф0(х, г) х 5(г) + 9(г)Уф(х, г, г)
(1.6)
В (1.6) ¥ф(х,г,г) есть вектор скорости жидкости у(х,г,г) при г > 0, а Уф0(х,г) есть вектор мгновенного перемещения жидкости в момент г = 0. Обозначим последний вектор через 8(х, г).
Таким образом, из решения ф0(х, г) задачи (1.4) можно найти мгновенное перемещение 8(х, г) жидкости в момент t = 0, а из решения п(х, t), ф(х, г, 0 задачи (1.5) — найти возвышение свободной поверхности и скорость у(х, г, t) жидкости при t > 0.
Благодаря аксиально-симметричному источнику задача в целом является аксиально симметричной, что позволяет после перехода к цилиндрическим координатам (хь х2, г) ^ (г, ф, г) отбросить зависимость от угла ф и в общем случае перейти к аргументам (г, г, t). После этого решение задачи (1.4) получается стандартным применением к уравнениям преобразования Фурье—Бесселя по г [3].
Для функций sb(г/I) образ ¿(к, I) получается с помощью формулы
¿(к, I) = |sb (у {)(гк)гйг
0
Тогда для разрывного и негладкого источников он имеет вид
¿(к, I) =
-I ,(Ш к
к2 (1.7)
412(к)
1к2
соответственно.
В дальнейшем под ¿(к, I) понимается одна из функций (1.7).
2. Анализ мгновенного перемещения жидкости. Из (1.4) находим
да
Ф0(г, г) = | 0(гк)йк
епк
0
Градиент потенциала ф0(г, г) дает координаты вектора перемещения жидкости 8(г, г) вдоль оси z и горизонтального радиуса г, соответственно:
ж
^ (г, г) = | 0(гк)кйк (2.1)
0
да
*г (г, г) = -\^к-)^к11(гк№к (2.2)
оЪк
0
При исследовании функций (2.1), (2.2) и полученного ниже решения задачи (1.5) за основной параметр был принят безразмерный радиус источника Д Значения параметра выбирались в диапазоне 4 < I < 40, что с учетом средней глубины океана Н0 = 4 км позволило рассмотреть как короткие, так и весьма длинные волны цунами. Вертикальная координата z изменялась в пределах —1 < г < 0.
Интегралы (2.1) и (2.2) при 0 < г < 100 вычислялись стандартными методами численного интегрирования. Интеграл (2.1) дает при г = —1 мгновенное вертикальное перемещение (г,-1) дна бассейна, а при z = 0 — перемещение свободной поверхности жидкости (г, 0).
Зависимости вертикального перемещения (г, 0) = п(г, 0) свободной поверхности, т.е. профиля в начальный момент для трех источников от расстояния г, представлены на фиг. 1.
от
Ф, 0) 0.8
0.4
1
ч •• ч ч ч .... 3 \
Ч\ 2 ............
0 1 2 3 4 г 5
Фиг. 1. Мгновенные вертикальные перемещения (г, 0) свободной поверхности жидкости при l = 4 для трех источников: 1 — разрывного, 2 — негладкого, 3 — гладкого
Видно, что функция п(г, 0) оказывается гладкой даже для разрывного вертикального перемещения дна бассейна. При этом относительная величина максимального перемещения в эпицентре возрастает с увеличением параметра !, особенно для разрывного источника. Форма поверхности жидкости практически повторяет рельеф дна бассейна, если I > 20.
Что касается мгновенного перемещения частиц жидкости в горизонтальном направлении, то для всех трех источников имеют место следующие закономерности. На любой глубине % < 0 функция эг(г, %) положительная, причем она монотонно возрастает с глубиной, достигая максимума на дне бассейна. В свою очередь, для каждого из источников при любых значениях параметра \ перемещение (г,—1) равно нулю в центре источника г = 0, дале
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.