Автоматика и телемеханика, № 4, 2008
Управление в условиях неопределенности
РАСЭ 02.30.Yy
© 2008 г. А.Д. МИЖИДОН, д-р техн. наук (Улан-Удэнский филиал Института динамики систем и теории управления СО РАН, Улан-Удэ)
АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ПРИ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ В ПРИЛОЖЕНИИ К СИНТЕЗУ ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ1
Развивается подход к синтезу систем виброзащиты объектов, подверженных воздействию стохастических возмущений, основанный на методике аналитического конструирования оптимальных регуляторов. С этой целью получены обобщения методики аналитического конструирования оптимальных регуляторов на случай постоянно действующих стационарных стохастических возмущений. При решении задачи синтеза виброзащитной системы оптимизируемый функционал построен так, чтобы при минимизации обеспечивалось снижение динамических воздействий на объект при выполнении габаритных возмущений. Показана возможность технической реализации синтезированной виброзащитной системы с помощью упругодемпфирующих подвесов и амортизаторов с преобразованием движения.
1. Введение
Рассмотрим механическую систему, представляющую собой твердое тело (объект защиты), соединенное с жестким недеформируемым основанием N упругодемпфи-рующими подвесами. Источником кинематических возмущений является простран-ственнов колебание основания. Для улучшения качества виброзащиты, помимо пассивных упругодемпфирующих (УДП) подвесов, виброзащитная система (ВЗС) содержит к активных элементов [1], формирующих силы и2(^),..., иN(£), прикладываемые в соответствующих точках основания А\,А2,..., AN (рис. 1).
Предполагаем, что колебания амортизируемого тела являются малыми, а начало неподвижной системы координат в положении статического равновесия совпадает с центром инерции объекта. В качестве подвижных осей координат рассмотрим главные центральные оси инерции объекта защиты. Считаем, что неподвижные оси координат совпадают в положении равновесия с подвижными. При этих предположениях уравнения движения объекта защиты можно записать в виде
(1) Ад + Ед + Од = -Аа(г) + и,
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 05-01-00659).
и
и
и
г
Рис. 1. Динамическая схема для задачи синтеза ВЗС.
где д 6 -мерный вектор обобщенных координат, характеризующий относительные смещения тела; - 6-мерный вектор возмущений (вектор обобщенных ускорений координат, описывающий движение основания); А - 6 х 6 диагональная матрица моментов инерции тела; В - 6 х 6 матрица коэффициентов демпфирования; С -6 х 6 матрица коэффициентов жесткостей; и - 6-мерный вектор управляющих сил, определяемых выражениями
Л \
и 1 = Е иа
i=l к
и 2 = £ ив
i=1 к
и 3 = Е и 7? i=1
и4 = Е Щ(у\7? - г?в!)
i=1
и5 = Е ^(г?а? - ж?7?)
(2)
и =
i=l к
и6 = Е ^(ж?в? - у?а?)
i=l
/
Здесь ж?, у?, - координаты точки А,; а?, в?, 7? _ направляющие косинусы, определяющие направление действия силы и,, прикладываемой в точке А,,.
На практике часто к проектируемой ВЗС предъявляются требования об ограничении абсолютных ускорений некоторых в-заданных точек объекта защиты. Эти ограничения могут быть записаны в виде
(3)
,Ш1и < 1 (г = 1,в),
где Ш - заданные постоянные положительно определенные 6 х 6 матрицы; и 6-мерный вектор, определяемый соотношением
и = д + а.
В качестве требований к габаритным размерам ВЗС накладываются ограничения на относительные смещения п-заданных точек тела в заданных направлениях. Эти
ограничения могут быть представлены следующим образом:
(4)
-1 < ¿¿д < 1 (г = 1,п).
Здесь d¿ - заданные 6-мерные вектора.
Под задачей проектирования понимаем задачу определения коэффициентов жесткостей и демпфирования амортизаторов, углов Эйлера, определяющих ориентацию трех простых упругих элементов, и определение управляющих сил Ц», обеспечивающих при заданных возмущениях выполнение требований (3)-(4), предъявляемых к системе виброзащиты.
Функционал
(5)
3«))= 11ш 1 [ (д'Яд + п'Яп) ТТ ]
dt,
где
(¿'Л
Я = ]ТWi, я = (¿1 ...¿„)
¿=1
V ¿п /
может быть использован при проектировании как критерий качества, так как минимизация функционала может привести его, стремимся к выполнению ограничений (3)-(4) И.
В связи с этим рассмотрим вспомогательную задачу аналитического конструирования ВЗС. В качестве уравнений движения рассмотрим соотношение
д = и — о"(£).
В задачах о виброзащите приборов и оборудования, установленных на двиукут цихся объектах, внешние воздействия, как правило, не могут быть описаны детерминированными функциями времени и рассматриваются как случайные процессы.
Предположим, что вектор возмущений а(Ь), входящий в уравнение (1), определяется соотношением
(6) <г(Ь) = Гг,
где Г - постоянная п х р матрица; г - р-мерный случайный стационарный процесс, описываемый дробно-рациональными спектральными плотностями.
Такой случайный процесс можно моделировать [3] как результат прохождения процесса типа белого шума через линейную систему с постоянными параметрами, называемую формирующим фильтром. В качестве такого формирующего фильтра будем рассматривать систему уравнений
(7) г = Вг + £(*).
Здесь В - р х р-матрица, £(£) - векторный случайный процесс типа белого шума. При этом считаем, что матрица спектральных плотностей решений уравнения (7) совпадает с заданной матрицей спектральных плотностей процесса г(Ь).
Очевидно, матрица В является устойчивой [4], в противном случае решение уравнения (7) представляло бы собой неограниченный случайный процесс.
Под задачей конструирования ВЗС от стационарных случайных воздействий будем понимать задачу определения функции и(д, ¿¡, г), минимизирующей следующий критерий качества:
Теория оптимального управления в настоящее время получила интенсивное развитие, охватив при этом широкий круг проблем прикладного характера. К числу таких проблем относится проблема аналитического конструирования регуляторов, поставленная A.M. Летовым [6], и получившая дальнейшее развитие в [5, 7-10]. Практически одновременно с A.M. Летовым несколько иным способом были решены те же задачи Р. Кал малом [11].
Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами
(9) x = Ax + Bu + Gz,
где x - n-мерный вектор фазовых координат системы; u - r-мерный вектор управления; A - n х n матрица; B - n x n матрица; z - р-мерный вектор случайных возмущений; G - n x p матрица.
u
z(t) представляют собой незатухающую ограниченную случайную функцию времени, которую можно представить как решение линейной системы стохастических уравнений (7).
Требуется определить управление u(x,z), доставляющее минимум функционалу
где ф - неотрицательно определенная постоянная п х п матрица; Я - положительно определенная постоянная г х г матрица.
Введем расширенный вектор состояния у = (хг)', который в силу (7) и (8) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
(11) у = Ау + Ви + / (г). Здесь
где M {■} - здесь и ниже математическое ожидание.
2. Обобщение методики аналитического конструирования оптимальных регуляторов
(10)
Функционал (10) примет вид
(12)
где
д = ( § 0 4 ^00
Решение стохастической задачи оптимального управления (9)-(10) на конечном интервале наблюдения с критерием
(13) 3(и) = М Ы(у'§у + и'Яи)<И
приводит к результату [5].
Присутствие белого шума £(£) в системе (11) не изменяет решения детерминированной задачи конструирования оптимального регулятора, за исключением увеличения минимальной величины критерия качества. Таким образом, оптимальное управление с критерием (13) имеет вид
(14) и(у,г) = -я-1Ер (г)у.
Здесь Р(£) - симметричная положительно-определенная (п + р) х (п + р) матрица, являющаяся решением матричного уравнения Риккати
(15) -Р = А'Р + РА - РВЯ-1В'Р + § с условием на правом конце
(16) Р (Т) = 0. Заметим, что система
у = Ау + Ви
не является вполне управляемой, поэтому возникает необходимость исследования поведения решения (15)—(16) при стремлении интервала наблюдения к бесконечности.
Решение Р(£) уравнения Риккати (15), удовлетворяющего условию (16), представим в соответствии с разделением вектора у = (хх)' в виде
<"> Р=( К к
Р
К К4 \ = ( к А КС + К4В \ ( А'К А'К4
К' К5 ) \ КАА К'С + К5В ) + ^ СК + В'К4 С'К + В'К
КВЯ-1В'К КВЯ-1В'К4 \ / § 0
К вя-1в'к К4 вя-1в'к4 ) ^0 0
Разделяя на отдельные уравнения, получим
(18) -К = К А + А'К - КВЯ-1В'К + Я,
(19) -К4 = КС + К4В + А'К4 - КВЯ-1В'К4,
(20) -К5 = К4С + К5В + С'К4 + В'К5 - К4ВЯ-1В'К4.
В силу (16) K, K4, K5 должны удовлетворять условиям
(21) K (T) = 0, K4(T)=0, K5(T)=0.
Заметим, что решение уравнения (18), удовлетворяющее условию (21), при стремлении интервала наблюдения к бесконечности имеет предел, если система
(22) Х = Ax + Bu
вполне управляема. Этот предел является положительно-определенной матрицей, удовлетворяющей матричному уравнению Риккати
(23) KA + A'K - KBR-1B'K + Q = 0.
Рассмотрим поведение решения уравнения (19), удовлетворяющее (21), при стремлении интервала наблюдения к бесконечности. Введя обозначение
F = A' - KBR-1B
запишем (19) в виде
(24) -K4 = KG + K4D + FK4.
Здесь K - решение матричного уравнения (23).
Общее решение уравнения (24) можно записать следующим образом:
(25) -K4 = e-FtCe-Dt + K4,
где K4 является решением матричного алгебраического уравнения
(26) KG + K4D + (A4 - KBR-1B') K4 = 0, C
непосредственно проверкой. Из конечных условий (21) определим, что
C (T) = eFTK4eDT. При T ^ те постоянная матрица интегрирования C имеет предел:
lim C(T) = 0.
т —
lim eDT D
T —
D
С другой стороны, так как K - решение алгебраического матричного уравнения Риккати (23), то асимптотическая устойчивость матрицы A - BR-1B'K = 0. Так
FF устойчивая матрица. Следовательно
lim eFT = 0.
T—ж
Таким образом, в силу (25) решение уравнения (19), удовлетворяющее (21), при стремлении интервала наблюдения к бесконечности имеет предел, являющийся решением матричного уравнения (26).
Аналогичным образом считая К = К и К4 = К4, можно показать существование при Т ^ ж предела решения уравнения (20), удовлетворяющего (21). Этот предел является решением матричного алгебраического уравнения
(2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.