научная статья по теме АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ Кибернетика

Текст научной статьи на тему «АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ»

ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 3, с. 131-141

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ

УДК 629.78

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ* © 2015 г. А. В. Молоденков, Я. Г. Сапунков

Саратов, Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратовский государственный ун-т Поступила в редакцию 08.04.14 г., после доработки 15.12.14 г.

Рассматривается задача оптимального разворота космического аппарата как твердого тела произвольной динамической конфигурации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости космического аппарата в кватернионной постановке. В качестве критерия оптимальности используется функционал, который объединяет время и энергию, затраченные на разворот космического аппарата. В классе обобщенных конических движений произведена модификация задачи оптимального разворота, которая позволила получить ее аналитическое решение. Аналитическое решение модифицированной задачи может рассматриваться как приближенное решение традиционной задачи оптимального разворота космического аппарата. Приводятся численные примеры, показывающие близость решений двух задач.

БО1: 10.7868/80002338815030142

Введение. Построение управления пространственной переориентацией космического аппарата (КА) как твердого тела в традиционной постановке включает задачи программного углового движения (разворота), программного управления и поиска управления, стабилизирующего программу углового движения в малом. Задача расчета программного углового движения и реализующего его управления во многих случаях решается с помощью методов теории оптимального управления. Аналитическое решение этой задачи для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА не найдено даже в случае сферической симметрии КА, не говоря уже о его произвольной динамической конфигурации. Известны лишь некоторые частные случаи решения задачи (например, [1—8]); в общем случае приходится рассчитывать только на приближенные численные методы. Между тем аналитическое решение задачи оптимального разворота КА (твердого тела) в замкнутой форме имеет не только теоретический, но и большой практический интерес, так как позволяет использовать на борту КА готовые законы программного управления и изменения оптимальной траектории.

В настоящей статье (разд. 1—3) в традиционной постановке рассматривается задача оптимального разворота КА как твердого тела произвольной динамической конфигурации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА без ограничения на функцию управления. В качестве критерия оптимальности используется комбинированный функционал, который объединяет время и энергию, затраченные на разворот КА. С применением кватернионов на основании принципа максимума Л.С. Понтрягина получены выражения для структуры оптимального управления, функции Гамильтона—Понтрягина и сопряженной системы уравнений для исходной задачи. В разд. 4, 5 статьи представлено аналитическое решение модифицированной задачи оптимального в смысле комбинированного функционала разворота КА при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА. В классе обобщенных конических движений произведена модификация традиционной задачи оптимального разворота, которая позволила получить аналитические решения для уравнений движения, содержащие произвольные постоянные и две произвольные скалярные функции (параметры обобщенного конического движения). Относительно этих функций и их производных формули-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-00165).

131

9*

руется и решается оптимизационная задача с комбинированным функционалом, в которой в качестве управлений выступают вторые производные от этих двух функций. Найденное аналитическое решение модифицированной задачи может рассматриваться как приближенное решение традиционной задачи оптимального разворота КА. Следует отметить, что для случаев аналитической разрешимости традиционной задачи оптимального разворота при сферической симметрии КА, когда наложены ограничения на краевые условия задачи, — плоский эйлеров разворот, коническое движение — решения традиционной и модифицированной задач полностью совпадают. В разд. 6 приводятся краткое описание процедуры численного решения традиционной задачи, ранее полученного в [9, 10], и численные примеры, показывающие близость решений традиционной и модифицированной задач оптимального разворота произвольного КА при произвольных граничных условиях.

Статья продолжает исследования, начатые в [11]. Отметим, что в [11] были получены аналитические решения традиционной и модифицированной задач оптимального по быстродействию разворота сферически-симметричного КА в классе конических и обобщенных конических движений.

1. Постановка традиционной задачи. Движение КА как твердого тела произвольной динамической конфигурации вокруг центра масс описывается уравнениями [2]

2Л = Л о ю, (1.1)

ю = I-1М -1-1 [ю, 1ю], (1.2)

где Л(?) = X 0(?) + Х^?)^ + X 2(?)/2 + X з(?)/3 — кватернион поворота КА, ш(0 = ю1(?)11 + ю2(?)12 + ю3(?)13 — вектор угловой скорости, М(?) = [М^), М2(?), М3(?)]т — вектор внешнего момента, действующего на КА, матрица

11 0 0'

I

0 /2 0 0 0 I3

— тензор инерции. Фазовые координаты Л, ш и управление М удовлетворяют требованиям задачи оптимального управления [12] (Л(0, ш(0 — непрерывные функции, М(0 — кусочно-непрерывная функция); кватернион Л(0 нормирован, т.е. Л = Xо + + X^ + Х2 = 1; 11, ¡2 , ц — орты гиперкомплексного пространства (мнимые единицы Гамильтона), которые можно идентифицировать с ортами трехмерного векторного пространства 1Ь 12,13, символ "о" означает кватернионное умножение, а "[ . , . ]" — векторное произведение. В динамических уравнениях Эйлера (1.2) /1, /2,13 — главные моменты инерции КА (твердого тела).

Заданы произвольные граничные условия по угловому положению

Л(0) = Л о, Л(Т) = Лт (1.3)

и угловой скорости КА

ю (0) = ю0, ю (Т) = ют. (1.4)

Требуется определить оптимальное управление Мопт(?) системой (1.1), (1.2) при ограничении на управление (1.3) и граничных условиях (1.4), (1.5), доставляющее минимум функционалу

J =

j(1 + йМ2) dt, (1.5)

где а = const > 0, время Т не задано. Функционал (1.5) представляет собой комбинацию двух критериев с размерным весовым множителем a: времени и энергии, затраченных на разворот твердого тела.

2. Переход к безразмерным переменным. Перейдем от размерных переменных задачи к безразмерным по формулам Iмасш = (I2 +122 + I32)/3)1/2, Ikбезраз = ijlмасш , k = 1,2,3; шбезраз =

= (Iмасш)1/2а1/4ю ^безраз _ (jмасш)-!,^-1/4^ мбезраз _ а^М Jбе3раЭ = (IмасШ)-1/2й _1/4J

0

при этом выражения (1.1)—(1.4) не изменятся, а функционал (1.5) примет вид

т

J = J(1 + M2)dt. (2.1)

о

Далее будем иметь в виду постановку задачи в безразмерных переменных и верхние индексы у них будут опущены. Таким образом, безразмерная задача явно от параметра а не зависит. Зависимость возникнет лишь при обратном переходе к размерным переменным.

3. Применение принципа максимума. Выполним процедуру принципа максимума Л.С. Понтря-гина [1, 12]. Введем вспомогательные функции ¥(t) (кватернион) и ф(0 (вектор), соответствующие фазовым координатам A(t), w(t). Составим функцию Гамильтона—Понтрягина

H = -у*(1 + M2) + (Л о ю) /2 + (ф, I-1M -1-1 [w,Iw]), (3.1)

где постоянная у * > 0, а "( . , . )" — скалярное произведение векторов.

Будем рассматривать невырожденные решения краевой задачи принципа максимума, для которых у* > 0. В силу однородности функции Гамильтона—Понтрягина Н [12] в формуле (3.1) положим у * = 1.

Сопряженная система

Г2*Р = ¥ о ю,

1 ~ м I 1 (3.2)

[ф = -vect (До ¥)2 - [I ф, 1ю] + I[I ф, ю],

где "vect(.)" обозначает векторную часть кватерниона, а "~" — сопряжение кватерниона. Как видно, уравнения для переменных ¥ и Л совпадают, а их решения различаются на кватернион-ную мультипликативную константу C:

Y = C о Л. (3.3)

Условие трансверсальности на правом конце траектории имеет вид

scal(¥(T) о Л(Т)) = 0, (3.4)

где "scal(.)" — скалярная часть кватерниона. Заметим, что выражение scal(Y о Л) является первым интегралом для системы уравнений (3.2). Тогда, согласно (3.4),

scal(¥(t) о Л(t)) = 0. (3.5)

Из (3.3), (3.5) следует, что скалярная часть C равна нулю и C = c v, где cv — постоянный вектор. При этом (3.3) принимает вид

¥ = cv о Л. (3.6)

Используя это и введя обозначение [1]

p = vect(Ä° ¥) = Л° cv о Л, (3.7)

сопряженную систему (3.2) запишем так:

ip = Л о С о л,

Г /1 1 (3.8)

[<р = -р/2 - [I ф,Iw] + I[I ф,ю].

Следует отметить, что применение этого приема [1], основанного на самосопряженности дифференциальной кватернионной системы уравнений (1.1) (замена кватернионной сопряженной переменной Т на векторную переменную р (3.7)), позволяет понизить размерность краевой задачи, получаемой после принципа максимума, на четыре.

Условие максимума функции Гамильтона—Понтрягина (3.1) дает следующую структуру оптимального управления:

Mопт = I-1ф/2. (3.9)

Как видно, вектор-функция управления в задаче носит непрерывный характер.

Функция Гамильтона—Понтрягина (3.1) с учетом новой переменной p (3.7) примет вид

H = -(1 + M2) + (p, ю)/2 + (ф,I-1M -1-1 [ю,Ira]). (3.10)

4. Модифицированная задача оптимального разворота КА. Движение КА по-прежнему описывается соотношениями (1.1)—(1.4), при этом начальное и конечное значения по угловому положению и угловой скорости КА произвольны.

Одной из основных проблем при построении аналитического решения в задаче оптимального разворота твердого тела (КА) является разрешимость классической задачи Дарбу — аналитического определения Л(0 из уравнения (1.1) при известных Л0, ю(г).

Для кватернионного дифференциального уравнения (1.1) при условии, что вектор угловой скорости ю(0 задается выражением

«(t) = il dfsin g(t) + i2 df cos g(t) + i3 ^, (4.1)

dt at dt

в котором f (t) и g(t) — произвольные функции времени, известно решение [13], удовлетворяющее начальному условию

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Кибернетика»