МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2013
УДК 533.72
© 2013 г. В. А. АКИМОВА, А. В. ЛАТЫШЕВ, А. А. ЮШКАНОВ
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ВТОРОЙ ЗАДАЧИ СТОКСА О ПОВЕДЕНИИ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА НАД КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ
ПОВЕРХНОСТЬЮ
Аналитически решена вторая задача Стокса о поведении разреженного газа, заполняющего полупространство. Ограничивающая полупространство плоскость совершает гармонические колебания. Используется кинетическое уравнение с модельным интегралом столкновений в форме т-модели и рассматривается случай диффузного отражения молекул газа от стенки. Построена функция распределения газовых молекул, найдены массовая скорость газа в полупространстве и ее значение непосредственно у стенки, найдена сила сопротивления, действующая со стороны газа на границу, совершающую в своей плоскости колебательное движение. Кроме того, получена мощность диссипации энергии, приходящаяся на единицу площади колеблющейся пластины, ограничивающей газ.
Ключевые слова: постановка задачи Стокса, разделение переменных, собственные решения, непрерывный и дискретный спектр, точное решение, скорость газа, сила трения, диссипация энергии.
Впервые задача о поведении газа над стенкой, колеблющейся в своей плоскости, рассмотрена Дж.Г. Стоксом [1] гидродинамическим методом. Обычно ее называют второй задачей Стокса [2—11].
Задача о поведении газа над движущейся поверхностью в последние годы привлекает пристальное внимание [2—11]. Это связано с развитием современных технологий, в частности технологии наноразмеров. В основном использовались численные или приближенные методы [2—11].
Газовый поток над бесконечной колеблющейся пластиной рассматривался в [6]. Найдены скорость газа над поверхностью и сила, действующая на поверхность со стороны газа. Для случая низких частот задача решена на основе уравнения Навье-Сток-са. В случае произвольных скоростей колебаний поверхности использовались численные методы на основе кинетического уравнения Больцмана с интегралом столкновений в форме БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук).
В экспериментах [7] изучался поток газа, создаваемый механическим резонатором при различных частотах колебания. Показано, что при низких частотах действующая на него со стороны газа сила трения прямо пропорциональна частоте. В случае высоких частот трения от частоты не зависит.
В последнее время задача о колебаниях плоской поверхности изучается и для случая неньютоновских жидкостей [2].
В [8] рассмотрен пример практического применения колебательной системы, подобной рассматриваемой задаче, в области нанотехнологий.
Два решения этой задачи, учитывающие весь возможный диапазон коэффициента аккомодации тангенциального импульса, предложены в [11]. Эти решения отвечают соответственно гидродинамическому и кинетическому описаниям поведения газа над колеблющейся поверхностью в режиме со скольжением.
В [12, 13] для второй задачи Стокса определены собственные функции и соответствующие собственные значения, отвечающие как дискретному, так и непрерывному спектрам. Исследована структура дискретного и непрерывного спектров. Развивается математический аппарат, необходимый для аналитического решения задачи и приложений.
В настоящей работе строится аналитическое решение второй задачи Стокса и вычисляется скорость газа в полупространстве и непосредственно у колеблющейся границы. Оценивается сила трения, действующая со стороны газа на колеблющуюся пластину, а также находится диссипация энергии пластины.
1. Линеаризованное кинетическое уравнение для задачи о колебаниях газа. Для решения используется линеаризованная постановка. Линеаризация задачи проведена при
условии, что скорость газа много меньше тепловой: \иу(?ь х1)| ит, где ит = 1/л/р — тепловая скорость молекул (в = т/(2кТ)), имеющая порядок скорости звука.
Пусть разреженный одноатомный газ занимает полупространство х > 0 над плоской твердой поверхностью, лежащей в плоскости х = 0. Поверхность (у, г) совершает гармонические колебания вдоль оси у по закону и() = и0е-""'. Требуется построить функцию распределения газовых молекул /(?, х, и) и найти скорость газа иу(?, х). Функция распределения ищется в виде / = /0(1 + ф), где /0 — абсолютный максвеллиан, /о = и(р/л)3/2ехр(-ри2).
Рассмотрим линеаризованное кинетическое уравнение
5т дт , ч vm ч
дт + иху + X и) = Т-иуиу(^х)
Х1 з (1.1)
(*■ х) = п 1 *■ X, и) ^ и
иу
где иу(?, х) — скорость газа.
Здесь V = 1/т — частота столкновений газовых молекул, т — время между двумя последовательными столкновениями молекул, т — масса молекулы, к — постоянная Больцмана, Т — температура газа, п — числовая плотность (концентрация) газа. Концентрация газа и его температура считаются постоянными.
Введем безразмерные скорость молекул С = и, массовую скорость Ц(?, х) = л/р иу(?, х),
координату и время х: = V 4в х и t1 = V? и скорость колебаний пластины Ц,(?) = и0в~т',
где ц = Тр и0 - безразмерная амплитуда скорости колебаний границы полупространства. Тогда уравнение (1.1) может быть записано в виде
+ схдХ + т(к, XI, с) = 2Суиу(гъх,) (1.2)
где
иу(гъ Х1) = \21 ехр(-С)Сут(гъ хъ с)йгс (1.3)
С помощью (1.3) кинетическое линеаризованное уравнение (1.2) записывается в виде
дХ + Сх дХ- + т( Ь, Х1, с) = ПС 1ехр (-С'2) суФ( /1, Х1, С') / С' (1.4)
Сформулируем диффузные граничные условия, записанные относительно функции ф(х:, С)
Ф(о, гъ с) = 2ед() (сх > о) (1.5)
ф(х! ^ +да, гъ с) = 0 (1.6)
Итак, граничная задача о колебаниях газа сформулирована полностью и состоит в решении уравнения (1.4) с граничными условиями (1.5) и (1.6).
2. Собственные решения. Учитывая, что колебания пластины рассматриваются вдоль оси у, будем искать, следуя Черчиньяни [14], функцию ф в виде
Ф(хь гъ с) = суН(хъ гъ сх) (2.1)
а затем выделим временную переменную, положив
Н(хъ 1Ъ Сх) = в^Н(хъ Сх) (2.2)
Теперь получим граничную задачу
да
д н 1 Г 2
и -Г- + ^он(х 1, и) = ----- I ехр (-и' )Н(х 1, и')ф' (го = 1 - IШ1) (2.3)
дх1 тп -1
—да
Н(0, и) = 2 и (и> о) (2.4)
Н(+ да, и) = о (2.5)
Разделение переменных в уравнении (2.3) осуществляется следующей подстановкой:
Нц (хьи) = ехр (З^ф^.и) (2.6)
где п — параметр разделения или спектральный параметр.
Подставляя (2.6) в уравнение (2.3), получаем характеристическое уравнение
да
(п - и)ф(п, и) = -П- Iехр(-и'2)ф(п, и')Ф' (2.7)
—да
Если принять нормировку
да
-1- Г ехр(-и'2)ф(п,и')dи' = 1 (2.8)
го *
—да
то уравнение (2.7) имеет решение 1 1 п2
ф(п, и) = — пр —+ в ^(п)8(п - и) (-да < п, и < +да) (2.9)
ТЛ п - и
Здесь 8(х) — дельта-функция Дирака, символ Рх-1 означает главное значение интеграла при интегрировании х-1, Х(г) — дисперсионная функция, введенная равенством
да 2 = 1 -/Ю1 + Гехр-ИК-
л/Л -1 т - ^
—да
Эту функцию можно преобразовать к виду Цг) = —/©1 + ^(г),
да 2
е~т тdт
X
'(г > = т- 1
ТЛ -1 т — г
Собственные функции (2.9) называются собственными функциями непрерывного спектра, ибо спектральный параметр п непрерывным образом заполняет всю действительную прямую.
Таким образом, собственные решения уравнения (2.3) имеют вид
Нц(х, и) = ехр(-П1 го0)
1 1 2
— цР-+ ехр(п ЖпЖп —
1-л/П п— и ■
(2.10)
Решения (2.10) отвечают непрерывному спектру характеристического уравнения, спектральный параметр непрерывным образом пробегает всю числовую прямую. По условию задачи мы ищем решение, не возрастающее вдали от стенки. В связи с этим спектром граничной задачи будем называть положительную действительную полуось параметра п.
Приведем формулы Сохоцкого для дисперсионной функции:
(и) = ± ьУЛце Ц — Iю1 + — 1е
. ТТ *
да 2 -т
№ т — и
о
Разность граничных значений дисперсионной функции равна А,+(ц) —
2
—Ц •
: ц е /, их полусумма
2>УЛ Ц
да2
+ ^ Ч Л - ,-4 л —Т
> (И) > ( И ) = — /Ю1 + Л Се т^х 2 1 ТЛ1 т — и
о
Разложим дисперсионную функцию в ряд по отрицательным степеням переменного г в окрестности бесконечно удаленной точки
>(г) = — /®1 — —2 — —4 — —6 — ... (г ^ю) (2.11)
2 г 4г 8г
Из разложения (2.11) следует, что при малых значениях дисперсионная функция имеет два различающихся лишь знаками комплексно-значных нуля По и — По , причем
По(ю1) = Щ (П0> 0) (2.12)
V Ю1
При ^ 0 оба нуля дисперсионной функции имеют пределом одну бесконечно удаленную точку п = кратности два.
да
Введем выделенную частоту колебаний пластины, ограничивающей газ ю* =
I 2 2
= max ¿J- ^о(и) + s (и) ~ 0.733, которую будем называть критической.
о < ц <
В [13] показано, что при частоте колебаний пластины меньше критической 0 < ю < ю* ,
индекс функции G(t) = X+(t)/X~(t) равен единице. Это означает, что число комплексных нулей дисперсионной функции в плоскости с разрезом вдоль действительной оси равно двум.
Если частота колебаний пластины превышает критическую ю > ю* , индекс функции G(t) равен нулю: x(G) = 0. Это означает, что дисперсионная функция не имеет нулей в верхней и нижней полуплоскостях. В этом случае исходное уравнение (2.3) дискретных (частных) решений не имеет.
Таким образом, дискретный спектр характеристического уравнения, состоящий из нулей дисперсионной функции, в случае 0 < ю1 < ю* есть множество из двух точек п0 и
—П0. При ю1 > ю* дискретный спектр — это пустое множество. При 0 < ю1 < ю* собственными функциями характеристического уравнения являются два решения характеристического уравнения
Ф(±По, И) =
1 1 ± По
ТЛ±по - и
Под п0 будем понимать тот из нулей дисперсионной функции, который обладает свойством Яе[(1 — ;ю:)/п0] > 0. Для этого нуля убывающее собственное решение уравнения (2.3) имеет вид
Нщ (х,и) = -1 ехр (-^-Ло-Тя Г По 7 По - И
Это означает, что дискретный спектр рассматриваемой граничной задачи состоит из одной точки п0 в случае 0 < < ю* . При ^ 0 оба нуля, как указано выше, перемещаются в одну и ту же бесконечно удаленную точку. Это значит, что дискретный спектр характеристического уравнения состоит из одной бесконечно удаленной точки кратности два и является присоединенным к непрерывному спектру. Этот спектр также характерен для рассматриваемой граничной задачи. Однако дискретных решений ровно два: А1(х1, ц) = 1 и к2(х1, ц) = х1 — ц.
3. Аналитическое решение граничной задачи. Составим общее решение уравнения (2.3
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.