ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 2, с. 13-25
ОПТИМАЛЬНОЕ ^^^^^^^^^^^^^^ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 629.78
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ РАЗВОРОТА СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В КЛАССЕ КОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ* © 2014 г. А. В. Молоденков, Я. Г. Сапунков
Саратов, Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратовский государственный ун-т Поступила в редакцию 29.01.13 г., после доработки 27.11.13 г.
Рассматривается задача оптимального управления пространственной переориентацией космического аппарата как твердого тела со сферическим распределением масс с ограниченной функцией управления в кватернионной постановке. Для оптимизации используется функционал быстродействия. На основании принципа максимума Л.С. Понтрягина для этой задачи получено новое аналитическое решение в классе конических движений. Приводятся численные примеры.
Б01: 10.7868/80002338814020139
Введение. Точное аналитическое решение задачи оптимальной переориентации (оптимального разворота) космического аппарата (КА) как твердого тела для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА не найдено даже в случае сферической симметрии КА, не говоря уже о его произвольной динамической конфигурации. Известны лишь некоторые частные случаи решения задачи (например, [1—8]), при этом для сферически симметричных КА эти решения получены в классе плоских эйлеровых разворотов. Между тем расширение классов аналитических решений задачи оптимального разворота КА (твердого тела) в замкнутой форме имеет не только теоретический, но и большой практический интерес, так как позволяет использовать на борту КА готовые законы программного управления и изменения оптимальной траектории.
В настоящей статье (разд. 1—4) в традиционной постановке рассматривается задача оптимального по быстродействию разворота сферически-симметричного КА при произвольных граничных условиях по угловому положению КА и произвольном по направлению векторе начального условия по угловой скорости КА с ограниченной по модулю функцией управления. С использованием кватернионов на основании принципа максимума Л.С. Понтрягина получено новое аналитическое решение этой задачи в классе конических движений. Представлено явное выражение для постоянного по модулю оптимального вектора угловой скорости КА. Траектория движения сферически-симметричного КА представляет собой регулярную прецессию, вектор оптимального управления КА перпендикулярен вектору угловой скорости и также постоянен по модулю. Сформулированы условия на модуль начального и вид конечного векторов угловой скорости КА, при которых допустимо аналитическое решение задачи в классе конических движений. Вектор конечной угловой скорости КА должен принадлежать конической поверхности, порождаемой произвольно заданными постоянными условиями задачи.
В разд. 5, 6 статьи получено аналитическое решение модифицированной задачи оптимального разворота сферически-симметричного КА при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА. В классе обобщенных конических движений произведена модификация традиционной задачи оптимального разворота, которая позволила получить аналитические решения для уравнений движения, содержащие произвольные постоянные и две произвольные скалярные функции (параметры обобщенного конического движения). Относительно этих функций и их производных формулируется и решается оптимизационная задача быстродействия, в которой в качестве управлений выступают вторые производные от этих двух
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 08-01-00310; 12-01-00165).
функций. Следует отметить, что для случаев аналитической разрешимости традиционной задачи оптимального разворота сферически-симметричного КА, когда наложены ограничения на краевые условия задачи, — плоский эйлеров разворот, коническое движение — решения традиционной и модифицированной задач полностью совпадают. В разд. 7 приводятся: численный пример решения задачи оптимальной по быстродействию переориентации КА в классе конических движений; пример, показывающий близость решений традиционной и модифицированной задач оптимального разворота КА при произвольных граничных условиях. Статья продолжает исследования, начатые в [9, 10]. Отметим, что в [9] изучались особые режимы управления в задаче оптимального разворота сферически-симметричного КА, а в [10] было получено решение задачи оптимального в смысле минимума энергетических затрат разворота сферически-симметричного КА в классе конических движений без ограничения на функцию управления.
1. Постановка задачи. Уравнения, описывающие кинематику и динамику углового движения КА вокруг центра масс, имеют вид [1]
2Л = Л ° ю, (1.1)
ю = М, (1.2)
где Л(0 = X0(О + Х^ц + X2()12 + X3(0/3 (кватернион поворота КА), = ю^)^ + ю2(?)2 + ю3(?) з
т
(вектор угловой скорости КА) — фазовые координаты, M(t) = [М^О, М2(0, М3(0] — управление, которые подчинены известным требованиям (Л(?), ю(?) — непрерывные функции, — кусочно-непрерывная функция); кватернион Л(?) нормирован, т.е. ||Л|| = X2 + Х^ + X2 + ^ = 1; г\, /2 , /3 — орты гиперкомплексного пространства (мнимые единицы Гамильтона), которые можно идентифицировать с ортами трехмерного векторного пространства iз, символ "°" означает кватер-нионное умножение. В динамических уравнениях Эйлера для сферически-симметричного твердого тела (1.2) тензор инерции без ограничения общности положен единичным.
На модуль вектора управления наложено ограничение
1М ^ мтах. (1.3)
Заданы произвольные граничные условия по угловому положению
Л(0) = Л о, Л(Т) = Лт (1.4) и угловой скорости КА
ю (0) = ю0, ю (Т) = ют. (1.5)
Необходимо определить оптимальное управление Ыопт(?) системой (1.1), (1.2) при ограничении (1.3) и граничных условиях (1.4), (1.5), доставляющее минимум функционалу (задача быстродействия):
J = Т. (1.6)
2. Переход к безразмерным переменным. Перейдем от размерных переменных задачи к безразмерным по формулам
Iбезраз=мтх, шбезраз=амт/д мбезраз=ммтах,
при этом уравнения (1.1), (1.2), (1.4)—(1.6) не изменятся, а ограничение (1.3) запишется так:
1М < 1. (2.1)
Далее будем иметь в виду постановку задачи в безразмерных переменных и верхние индексы у них будут опущены.
3. Применение принципа максимума. Выполним процедуру принципа максимума Л.С. Понтря-гина [1, 11]. Введем вспомогательные функции ¥(?) (кватернион) и ф(?) (вектор), соответствующие фазовым координатам Л(?) и ю(?). Составим функцию Гамильтона—Понтрягина
Н = (Т,Л о ш)/2 + (ф,М), (3.1)
где "( . , . )" означает скалярное произведение векторов.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО Сопряженная система
J 2¥ = ¥ ° ю, 1 <р = -vect (Л ° ¥)/2,
(3.2)
где "уее^.)" — векторная часть кватерниона, а — сопряжение кватерниона.
Как видно, уравнения для переменных ¥ и Л совпадают, а их решения различаются на кватер-нионную мультипликативную константу С
¥ = C ° Л.
Условие трансверсальности на правом конце траектории имеет вид seal(¥(T) ° Л(T)) = 0,
(3.3)
(3.4)
где "8еа1(.)" — скалярная часть кватерниона. Заметим, что выражение 8еа1(¥ ° Л) является первым интегралом для системы уравнений (3.2). Тогда, согласно (3.4),
scal(¥(?) о )) = 0.
(3.5)
Из (3.3), (3.5) следует, что скалярная часть C равна нулю и C = cL„ где cD — постоянный вектор. При этом (3.3) принимает вид
¥ = ° Л. Используя это и введя обозначение [1]
р = уее1;(Л о ¥) = Л о cv о Л, сопряженную систему (3.2) запишем так:
] р = Л ° си ° Л,
I (р = -р/2.
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Следует отметить, что применение этого приема [1], основанного на самосопряженности дифференциальной кватернионной системы уравнений (1.1) (замена кватернионной сопряженной переменной ¥ на векторную переменную p (3.7)), позволяет понизить размерность краевой задачи, получаемой после принципа максимума, на четыре.
Условие максимума функции Гамильтона—Понтрягина (3.1) дает следующую структуру оптимального управления:
мопт = Ф/ М.
(3.9)
Случай р = 0, при котором могло бы возникать особое управление, противоречит принципу максимума. Покажем это. Из нижней формулы (3.8) следует, что в этом случае p = 0, а из верхней формулы (3.8) следует, что cv = 0. Тогда, согласно (3.6), имеем ¥ = 0. Это нарушает требование условия принципа максимума о существовании нетривиальной (ненулевой) сопряженной переменной (совокупности векторной функции р и кватернионной функции ¥) в задаче [11].
Из (1.1), (1.2), (3.8), (3.9) имеем
Р = [ Р, ю ],
p = -21 ф| ^ - 2 dff,
dt dt dt
где "[ . , . ]" — векторное произведение. Подставляя (3.11) в (3.10), получим
(3.10)
(3.11)
d О)
dt3
d 2о
dt2
-, О
1
d м
dt
do
_ dt
- 2
j2 Л d ю
dt2 j
d2 M d
О
dt dt
(3.12)
Таким образом, оптимальная угловая скорость КА на всем интервале времени движения удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению третьего порядка (3.12).
4. Аналитическое решение задачи оптимального разворота КА в классе конических движений.
Рассмотрим класс частных решений задачи оптимального по быстродействию разворота КА при условии, что модуль вектора ф сохраняет постоянное значение, т.е.
1ф1 = с. (4.1)
В этом случае сопряженные переменные p, ф и управление M выражаются через вектор угловой скорости w по формулам
ф = с w, p = -2cw, M = w. (4.2)
При этом угловая скорость должна удовлетворять уравнению
w = [w, w]. (4.3)
Решение поставленной задачи оптимального управления (1.1), (1.2), (2.1), (1.4)—(1.6) сводится тем самым к решению краевой задачи (1.1), (4.3), (1.3), (1.4). Отметим, что, не нарушая общности, постоянную с в (4.1), (4.2) можно положить равной единице.
Будем искать решение уравнений (1.1), (4.3) в классе конических движений [10]. Для этого оптимальную угловую скорость КА представим в виде
w = Ко (ija sin Q.t + i 2a cos Q.t + i 3Q) о K, (4.4)
где K (кватернион) и a, Q — неопределенные постоянные; при этом
||K|| = K02 + K2 + K22 + K32 = 1. (4.5)
Кватернион K позволяет поворачивать вектор в круглой скобке в формуле (4.4) вокруг некоторой постоянной оси, проходящей
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.