научная статья по теме АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ РАЗВОРОТА СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В КЛАССЕ КОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ Кибернетика

Текст научной статьи на тему «АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ РАЗВОРОТА СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В КЛАССЕ КОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ»

ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 2, с. 13-25

ОПТИМАЛЬНОЕ ^^^^^^^^^^^^^^ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 629.78

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ РАЗВОРОТА СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В КЛАССЕ КОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ* © 2014 г. А. В. Молоденков, Я. Г. Сапунков

Саратов, Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратовский государственный ун-т Поступила в редакцию 29.01.13 г., после доработки 27.11.13 г.

Рассматривается задача оптимального управления пространственной переориентацией космического аппарата как твердого тела со сферическим распределением масс с ограниченной функцией управления в кватернионной постановке. Для оптимизации используется функционал быстродействия. На основании принципа максимума Л.С. Понтрягина для этой задачи получено новое аналитическое решение в классе конических движений. Приводятся численные примеры.

Б01: 10.7868/80002338814020139

Введение. Точное аналитическое решение задачи оптимальной переориентации (оптимального разворота) космического аппарата (КА) как твердого тела для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА не найдено даже в случае сферической симметрии КА, не говоря уже о его произвольной динамической конфигурации. Известны лишь некоторые частные случаи решения задачи (например, [1—8]), при этом для сферически симметричных КА эти решения получены в классе плоских эйлеровых разворотов. Между тем расширение классов аналитических решений задачи оптимального разворота КА (твердого тела) в замкнутой форме имеет не только теоретический, но и большой практический интерес, так как позволяет использовать на борту КА готовые законы программного управления и изменения оптимальной траектории.

В настоящей статье (разд. 1—4) в традиционной постановке рассматривается задача оптимального по быстродействию разворота сферически-симметричного КА при произвольных граничных условиях по угловому положению КА и произвольном по направлению векторе начального условия по угловой скорости КА с ограниченной по модулю функцией управления. С использованием кватернионов на основании принципа максимума Л.С. Понтрягина получено новое аналитическое решение этой задачи в классе конических движений. Представлено явное выражение для постоянного по модулю оптимального вектора угловой скорости КА. Траектория движения сферически-симметричного КА представляет собой регулярную прецессию, вектор оптимального управления КА перпендикулярен вектору угловой скорости и также постоянен по модулю. Сформулированы условия на модуль начального и вид конечного векторов угловой скорости КА, при которых допустимо аналитическое решение задачи в классе конических движений. Вектор конечной угловой скорости КА должен принадлежать конической поверхности, порождаемой произвольно заданными постоянными условиями задачи.

В разд. 5, 6 статьи получено аналитическое решение модифицированной задачи оптимального разворота сферически-симметричного КА при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА. В классе обобщенных конических движений произведена модификация традиционной задачи оптимального разворота, которая позволила получить аналитические решения для уравнений движения, содержащие произвольные постоянные и две произвольные скалярные функции (параметры обобщенного конического движения). Относительно этих функций и их производных формулируется и решается оптимизационная задача быстродействия, в которой в качестве управлений выступают вторые производные от этих двух

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 08-01-00310; 12-01-00165).

функций. Следует отметить, что для случаев аналитической разрешимости традиционной задачи оптимального разворота сферически-симметричного КА, когда наложены ограничения на краевые условия задачи, — плоский эйлеров разворот, коническое движение — решения традиционной и модифицированной задач полностью совпадают. В разд. 7 приводятся: численный пример решения задачи оптимальной по быстродействию переориентации КА в классе конических движений; пример, показывающий близость решений традиционной и модифицированной задач оптимального разворота КА при произвольных граничных условиях. Статья продолжает исследования, начатые в [9, 10]. Отметим, что в [9] изучались особые режимы управления в задаче оптимального разворота сферически-симметричного КА, а в [10] было получено решение задачи оптимального в смысле минимума энергетических затрат разворота сферически-симметричного КА в классе конических движений без ограничения на функцию управления.

1. Постановка задачи. Уравнения, описывающие кинематику и динамику углового движения КА вокруг центра масс, имеют вид [1]

2Л = Л ° ю, (1.1)

ю = М, (1.2)

где Л(0 = X0(О + Х^ц + X2()12 + X3(0/3 (кватернион поворота КА), = ю^)^ + ю2(?)2 + ю3(?) з

т

(вектор угловой скорости КА) — фазовые координаты, M(t) = [М^О, М2(0, М3(0] — управление, которые подчинены известным требованиям (Л(?), ю(?) — непрерывные функции, — кусочно-непрерывная функция); кватернион Л(?) нормирован, т.е. ||Л|| = X2 + Х^ + X2 + ^ = 1; г\, /2 , /3 — орты гиперкомплексного пространства (мнимые единицы Гамильтона), которые можно идентифицировать с ортами трехмерного векторного пространства iз, символ "°" означает кватер-нионное умножение. В динамических уравнениях Эйлера для сферически-симметричного твердого тела (1.2) тензор инерции без ограничения общности положен единичным.

На модуль вектора управления наложено ограничение

1М ^ мтах. (1.3)

Заданы произвольные граничные условия по угловому положению

Л(0) = Л о, Л(Т) = Лт (1.4) и угловой скорости КА

ю (0) = ю0, ю (Т) = ют. (1.5)

Необходимо определить оптимальное управление Ыопт(?) системой (1.1), (1.2) при ограничении (1.3) и граничных условиях (1.4), (1.5), доставляющее минимум функционалу (задача быстродействия):

J = Т. (1.6)

2. Переход к безразмерным переменным. Перейдем от размерных переменных задачи к безразмерным по формулам

Iбезраз=мтх, шбезраз=амт/д мбезраз=ммтах,

при этом уравнения (1.1), (1.2), (1.4)—(1.6) не изменятся, а ограничение (1.3) запишется так:

1М < 1. (2.1)

Далее будем иметь в виду постановку задачи в безразмерных переменных и верхние индексы у них будут опущены.

3. Применение принципа максимума. Выполним процедуру принципа максимума Л.С. Понтря-гина [1, 11]. Введем вспомогательные функции ¥(?) (кватернион) и ф(?) (вектор), соответствующие фазовым координатам Л(?) и ю(?). Составим функцию Гамильтона—Понтрягина

Н = (Т,Л о ш)/2 + (ф,М), (3.1)

где "( . , . )" означает скалярное произведение векторов.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО Сопряженная система

J 2¥ = ¥ ° ю, 1 <р = -vect (Л ° ¥)/2,

(3.2)

где "уее^.)" — векторная часть кватерниона, а — сопряжение кватерниона.

Как видно, уравнения для переменных ¥ и Л совпадают, а их решения различаются на кватер-нионную мультипликативную константу С

¥ = C ° Л.

Условие трансверсальности на правом конце траектории имеет вид seal(¥(T) ° Л(T)) = 0,

(3.3)

(3.4)

где "8еа1(.)" — скалярная часть кватерниона. Заметим, что выражение 8еа1(¥ ° Л) является первым интегралом для системы уравнений (3.2). Тогда, согласно (3.4),

scal(¥(?) о )) = 0.

(3.5)

Из (3.3), (3.5) следует, что скалярная часть C равна нулю и C = cL„ где cD — постоянный вектор. При этом (3.3) принимает вид

¥ = ° Л. Используя это и введя обозначение [1]

р = уее1;(Л о ¥) = Л о cv о Л, сопряженную систему (3.2) запишем так:

] р = Л ° си ° Л,

I (р = -р/2.

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Следует отметить, что применение этого приема [1], основанного на самосопряженности дифференциальной кватернионной системы уравнений (1.1) (замена кватернионной сопряженной переменной ¥ на векторную переменную p (3.7)), позволяет понизить размерность краевой задачи, получаемой после принципа максимума, на четыре.

Условие максимума функции Гамильтона—Понтрягина (3.1) дает следующую структуру оптимального управления:

мопт = Ф/ М.

(3.9)

Случай р = 0, при котором могло бы возникать особое управление, противоречит принципу максимума. Покажем это. Из нижней формулы (3.8) следует, что в этом случае p = 0, а из верхней формулы (3.8) следует, что cv = 0. Тогда, согласно (3.6), имеем ¥ = 0. Это нарушает требование условия принципа максимума о существовании нетривиальной (ненулевой) сопряженной переменной (совокупности векторной функции р и кватернионной функции ¥) в задаче [11].

Из (1.1), (1.2), (3.8), (3.9) имеем

Р = [ Р, ю ],

p = -21 ф| ^ - 2 dff,

dt dt dt

где "[ . , . ]" — векторное произведение. Подставляя (3.11) в (3.10), получим

(3.10)

(3.11)

d О)

dt3

d 2о

dt2

-, О

1

d м

dt

do

_ dt

- 2

j2 Л d ю

dt2 j

d2 M d

О

dt dt

(3.12)

Таким образом, оптимальная угловая скорость КА на всем интервале времени движения удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению третьего порядка (3.12).

4. Аналитическое решение задачи оптимального разворота КА в классе конических движений.

Рассмотрим класс частных решений задачи оптимального по быстродействию разворота КА при условии, что модуль вектора ф сохраняет постоянное значение, т.е.

1ф1 = с. (4.1)

В этом случае сопряженные переменные p, ф и управление M выражаются через вектор угловой скорости w по формулам

ф = с w, p = -2cw, M = w. (4.2)

При этом угловая скорость должна удовлетворять уравнению

w = [w, w]. (4.3)

Решение поставленной задачи оптимального управления (1.1), (1.2), (2.1), (1.4)—(1.6) сводится тем самым к решению краевой задачи (1.1), (4.3), (1.3), (1.4). Отметим, что, не нарушая общности, постоянную с в (4.1), (4.2) можно положить равной единице.

Будем искать решение уравнений (1.1), (4.3) в классе конических движений [10]. Для этого оптимальную угловую скорость КА представим в виде

w = Ко (ija sin Q.t + i 2a cos Q.t + i 3Q) о K, (4.4)

где K (кватернион) и a, Q — неопределенные постоянные; при этом

||K|| = K02 + K2 + K22 + K32 = 1. (4.5)

Кватернион K позволяет поворачивать вектор в круглой скобке в формуле (4.4) вокруг некоторой постоянной оси, проходящей

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком