ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2013, № 3, с. 167-176
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 629.78
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В КЛАССЕ КОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ* © 2013 г. А. В. Молоденков, Я. Г. Сапунков
Саратов, Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратовский государственный ун-т Поступила в редакцию 03.04.12 г., после доработки 16.10.12 г.
В кватернионной постановке рассматривается задача оптимального в смысле минимума энергетических затрат разворота космического аппарата как твердого тела со сферическим распределением масс без ограничения на функцию управления. Для этой задачи получено новое аналитическое решение в классе конических движений. Даются примеры расчетов.
БО1: 10.7868/8000233881302008Х
Введение. Построение управления угловым движением космического аппарата (КА) как твердого тела в традиционной постановке включает задачи программного углового движения (разворота), программного управления и построения управления, стабилизирующего программу углового движения в малом. Задача построения программного углового движения и программного управления во многих случаях решается с помощью методов теории оптимального управления. Точное аналитическое решение этой задачи для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА не найдено даже в случае сферической симметрии КА, не говоря уже о его произвольной динамической конфигурации. Известны лишь некоторые частные случаи решения задачи (например, [1—8]), при этом для сферически симметричных КА эти решения получены в классе плоских эйлеровых разворотов. Поэтому расширение классов аналитических решений задачи оптимального разворота КА (твердого тела) в замкнутой форме имеет не только теоретический, но и большой практический интерес, так как позволяет использовать на борту КА готовые законы программного управления и изменения оптимальной траектории.
В разд. 1—4 в кватернионной постановке рассматривается задача оптимального в смысле минимума энергозатрат разворота сферически-симметричного КА при произвольных граничных условиях по угловому положению КА и произвольном по направлению векторе начального условия по угловой скорости КА без ограничения на управление. Время переориентации КА произвольно и зафиксировано. С помощью принципа максимума Л.С. Понтрягина получено новое аналитическое решение этой задачи в классе конических движений. Представлено явное выражение для постоянного по модулю оптимального вектора угловой скорости КА. Траектория движения сферически-симметричного КА представляет собой регулярную прецессию, вектор оптимального управления КА перпендикулярен вектору угловой скорости и также постоянен по модулю. Сформулированы условия на модуль начального и вид конечного значений вектора угловой скорости КА, при которых допустимо аналитическое решение задачи в классе конических движений. Вектор конечного значения угловой скорости КА должен принадлежать конической поверхности, порождаемой произвольно заданными постоянными условиями задачи.
В разд. 5, 6 предлагается аналитическое решение модифицированной задачи оптимального разворота сферически-симметричного КА при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА. Решение задачи получено в классе обобщенных конических движений, векторы оптимальной угловой скорости и оптимального управления КА переменны по модулю. В разд. 7 приводятся численные примеры. Статья продолжает исследования, начатые в [9].
1. Постановка задачи. Движение сферически-симметричного КА вокруг центра масс описывается уравнениями [1]:
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 08-01-00310; 12-01-00165).
2Л = Л о ю, (1.1)
а = М, (1.2)
где Л(0 = X0(?) + + X2(?)12 + X3(?)13 (кватернион поворота КА), щ(?) = ш1(/)11 + ю2(?)12 + ю3(?)13
т
(вектор угловой скорости КА) — фазовые координаты, М(0 = [М^О, М2(0, М3(0] — управление, которые подчинены известным требованиям (Л(0, ш(0 — непрерывные функции, M(í) — кусочно-
непрерывная функция); кватернион Л(0 нормирован, т.е. ||Л|| = X2 + Х^ + X2 + ^ = 1; 1Ь 12,13 — орты гиперкомплексного пространства (мнимые единицы Гамильтона), символ "°" означает кватер-нионное умножение. В динамических уравнениях Эйлера для сферически симметричного твердого тела (1.2) тензор инерции без ограничения общности положен единичным. Заданы произвольные граничные условия по угловому положению
Л(0) = Л о, Л(Т) = Лт (1.3)
и угловой скорости КА
ю (0) = ю0, ю (Т) = ют. (1.4)
Необходимо определить оптимальное управление М опт(?) системой (1.1), (1.2) при граничных условиях (1.3), (1.4), доставляющее минимум функционалу
т
J = | (М1 + М 22 + М 32)Л, (1.5)
0
где время Т произвольно и зафиксировано. Следуя [10], можно полагать, что функционал (1.5) пропорционален энергетическим затратам на создание управляющего момента КА.
2. Переход к безразмерным переменным. Перейдем от размерных переменных задачи к безразмерным по формулам
^безраз _ /Т фбезраз _ ^р^Т ^М^езраз _ ММ^азТ^ J_ JразТ^
при этом вид (1.1)—(1.4) не изменится, а функционал (1.5) запишется так
1
J = |(М12 + М 22 + М 32)Л. (2.1)
0
Далее будем иметь в виду постановку задачи (1.1)—(1.4) (где Т = 1), (2.1) в безразмерных переменных и верхние индексы у них будут опущены.
3. Применение принципа максимума. Выполним процедуру принципа максимума Л.С. Понтря-гина [1, 11]. Введем вспомогательные функции (кватернион) и ф(?) (вектор), соответствующие фазовым координатам Л(?) и ю(г). Составим функцию Гамильтона—Понтрягина
Н = -у*(М,М) + (Т,Л о ш)/2 + (ф,М), (3.1)
где постоянная у* > 0, а "(., .)" означает скалярное произведение векторов.
Будем рассматривать невырожденные решения краевой задачи принципа максимума, для которых у* > 0. В силу однородности функции Гамильтона—Понтрягина Н [11] в формуле (3.1) положим у* = 1.
Сопряженная система:
Г2Ф = ¥ о ю,
< (3 2)
[ф = -уеа (Л о ¥)/2, '
где "уее1;(.)" — векторная часть кватерниона, а "~" — сопряжение кватерниона.
Как видно, уравнения для переменных ¥ и Л совпадают, а их решения различаются на мультипликативную константу. Используя это и введя обозначение [1]
р = уее1;(Л° ¥) = Л° cv ° Л, (3.3)
где cv — произвольная векторная постоянная, сопряженную систему запишем так: (р = Л о С о Л
1Р Л С - Л (3.4)
№ = -р/2.
Следует отметить, что применение этого приема [1], основанного на самосопряженности дифференциальной кватернионной системы уравнений (1.1) (замена кватернионной сопряженной переменной Т на векторную переменную p (3.3)), позволяет понизить размерность краевой задачи, получаемой после применения принципа максимума, на четыре.
Условие максимума функции Гамильтона—Понтрягина (3.1) дает следующую структуру оптимального управления:
Мопт = ф/2. (3.5)
Таким образом, вектор-функция управления КА носит непрерывный характер. Из (1.1), (1.2), (3.4), (3.5) имеем
ю = ф/2, ю =-р/4, (5) =-]р/4 = ю х ю,
где символ "х" означает векторное произведение. Следовательно, на всем интервале времени движения оптимальная угловая скорость КА должна удовлетворять векторному дифференциальному уравнению третьего порядка [9]
а = ш х ш. (3.6)
Решение поставленной задачи оптимального управления сводится тем самым к решению краевой задачи (1.1), (3.6), (1.3), (1.4).
4. Аналитическое решение задачи оптимального разворота КА в классе конических движений. Будем искать решение уравнений (1.1), (3.6) в классе конических движений. Для этого оптимальную угловую скорость КА представим в виде
ю = Ко (^аsinШ + 12аcosQt +13Ш) о К, (4.1)
где K (кватернион) и а, О — неопределенные постоянные; при этом
||К|| = К02 + К2 + К22 + К32 = 1. (4.2)
Отметим, что кватернион K позволяет поворачивать вектор в круглой скобке в формуле (4.1) вокруг некоторой постоянной оси, проходящей через неподвижную точку КА. Последовательно дифференцируя (4.1) 3 раза по переменной I, получим
ю = аШК° Ш -1 ^тШ) ° К, (4.3)
2 ~
ю = -аШ2К° Ш + 1Ш) ° К, (4.4)
ю = аШ3К° Ш + 12sinШ) ° К. (4.5)
Подставляя (4.1), (4.4), (4.5) в (3.6), можно убедиться в выполнении равенства. При этом отметим, что
ю = ю х ю = (й» ю - ю о ю)/2.
Траектория движения КА при угловой скорости (4.1) из (1.1), (1.3) находится явно и имеет вид регулярной прецессии
Л(0 = Л0 о К о ехр{12а/2} о ехр{13^/2} ° К, (4.6)
где "exp{.}" обозначает кватернионную экспоненту [1].
В выражения (4.1)—(4.6) входят пять произвольных постоянных К0, К1, К2, а, О. Удовлетворим граничные условия задачи (1.3), (1.4). Из-за недостаточного количества произвольных постоянных в решении (4.1) на величины |ш0| и юг будут наложены требования в ходе дальнейшего
решения задачи. Направление единичного вектора начальной угловой скорости ю0 = га0 / |ю0| произвольно и задано. При I = 0 из (4.1) имеем
ю0 = |ю0| ю0 = К° (12а +13Й) о К, (4.7)
1К11 = ||К о (12а +13^) ° Ц = И1112а + Щ = а2 + О2,
при I = 1 (конечный момент времени) из (4.6) имеем
Лт = Л0 о к о ехр{12а/2} о ехр{13О/2} о к, при этом
8са1(Л0 о Лт) = 8са1(ехр{12а/2} о ехр{13^/2}),
(4.8)
(4.9)
(4.10)
где "8са1(.)" обозначает скалярную часть кватерниона. Из (4.2), (4.7)—(4.9) найдем величины |ю0| а, О, ^
Представим (4.7), (4.9) в виде
(12а + 13О) о К - К о ш0 = 0,
ехр{12а/2} о ехр{130/2} о К - К о Л0 о Лт = 0 или в векторно-матричной форме с использованием кватернионных матриц т- и и-типов [12]:
(
0 0 -а -О
0 0 -О а
а О 0 0
О -а 0 0
т0 -т1 -т2 -т3
т1 т0 -т3 т2
т2 т3 т0 т1
т3 -т2 т1 т0
ю,
01
ю,
03
ю01 -ю02 -ю03 ч (К0 Ч (0 ч
0 ю03 -ю02 К1 0
ю03 0 ю01 К2 0
ю02 -ю01 0 _ ) \К3 10)
-»1 -П2 -«3Т| (К0 ^ (0 ^
(4.11)
0
П1 П0
П2 -П3 П0
П3 П2 -П1
П3 -П2 »1 П0
К1 К2
3 У
0 0
у0 у
(4.12)
где элементы матрицы коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (4.12) определяются компонентами кватернионов:
т = ехр{12а/2} о ехр{130/2},
т0 = ео8(а/2)ео8(0/2), т1 = 8т(а/2)8т(0/2),
т2 = 8т(а/2)ео8(0/2), т3 = ео8(а/2)8т(0/2),
и
п = Л0 о Лт.
При этом
Н = 1, 1Н1 = 1.
Отметим, что ранги матриц коэ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.