научная статья по теме АНАЛИЗ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «АНАЛИЗ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ»

Автоматика и телемеханика, № 6, 2015

© 2015 г. Р.Э. СЕЙФУЛЛАЕВ (ruslan.seifullaev@yandex.ru) (Санкт-Петербургский государственный университет),

А.Л. ФРАДКОВ, д-р техн. наук (fradkov@mail.ru) (Санкт-Петербургский государственный университет, Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, Университет ИТМО, Санкт-Петербург)

АНАЛИЗ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ1

Метод анализа гибридных систем на основе перехода к системе с пилообразным запаздыванием и использования нестационарных функционалов Ляпунова-Красовского и дескрипторных переменных, развитый Э.М. Фридман для линейных систем, перенесен на нелинейные многосвязные системы Лурье. Рассмотрено дискретное управление в виде обратной связи с ограниченным сверху переменным шагом дискретизации. При этом в уравнениях системы функция управления умножена на скалярную ограниченную нелинейную функцию. Такой случай соответствует многим осцилляторам, в частности, системе «Маятник на тележке». На основе классических результатов В.А. Якубовича о неущербности Б-про-цедуры задача оценки верхней границы шага дискретизации сводится к анализу разрешимости системы линейных матричных неравенств.

1. Введение

Современные системы управления все чаще реализуются на компьютерах и, следовательно, являются цифровыми. При расчете и реализации таких систем возникает важная задача выбора шага (интервала) дискретизации, обеспечивающего устойчивость и приемлемое качество системы. Даже для линейных систем эта задача не является тривиальной, если требуется не просто доказать, что при достаточно малом шаге дискретности система сохраняет свойства непрерывной, а найти достаточно хорошие, «неконсервативные» оценки предельно допустимой величины шага дискретизации. Для нелинейных непрерывно-дискретных (гибридных) систем эта задача, несмотря на ее важность, изучена недостаточно.

В последние годы в мировой литературе вырос интерес к новому подходу, основанному на преобразовании дискретно-непрерывного описания системы к виду систем с переменным (пилообразным) запаздыванием. Сама идея не нова: впервые, по-видимому, она рассматривалась в [1,2], а метод функционалов Ляпунова-Красовского широко применяется для анализа систем с запаздыванием (например, см. [3, 4]). Однако с предложенным Э.М. Фридман обоб-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-08-01015). Методика оценки шага дискретности путем проверки разрешимости соответствующих линейных матричных неравенств (раздел 5) разработана в ИПМаш РАН при поддержке Российского научного фонда, грант 14-29-00142.

щенным функционалом Ляпунова-Красовского [5] в сочетании с дескриптор-ным методом исследования систем с запаздыванием [6] идея приобрела эффективную расчетную составляющую, основанную на линейных матричных неравенствах (LMI) и превратилась в мощный метод расчета, позволяющий существенно снизить консервативность оценок [5, 7]. Таким образом, можно говорить о фридмановских оценках шага дискретизации систем. Однако до сих пор метод Фридман применялся только к линейным системам.

В настоящей статье рассматривается класс нелинейных систем с произвольным количеством «секторных» нелинейностей. Система замкнута квантованной по времени обратной связью. Задача состоит в оценивании верхней границы шага дискретизации, ниже которой система абсолютно устойчива. Вместо традиционного сведения к объекту с дискретным временем использован альтернативный прием: эффект квантования моделируется как запаздывание с последующим построением и применением функционала Ляпунова-Красовского [5]. На основании метода S-процедуры [8] задача оценивания границы шага дискретизации сводится к анализу разрешимости системы линейных матричных неравенств.

2. Постановка задачи

Рассмотрим нелинейную систему:

N

x(t) = Ax(t) + ЦгШ + (B + БоШ) u(t),

(1) i=1

ao(t) = rTx(t), &(t) = (о(ао (t), t),

al(t) = rTx(t), &(t) = PiMt),t), i = 1,... ,N,

где x(t) € Rn - вектор состояний, u(t) € Rm - управление, A € Rnxn, Б € € Rnxm, Б0 € Rnxm - постоянные матрицы, q, € Rn, r € Rn, r0 € Rn -постоянные векторы, T - знак транспонирования матрицы.

Предположим, что для всех t ^ 0 график каждой функции = (pi(ai,t) (где t рассматривается как параметр, а а - как аргумент функции) расположен в двуполостном секторе между прямыми & = а, и & = аi (см. рисунок), где < ц2i - некоторые вещественные числа. Таким образом, выполняется неравенство

(2) ци а2 ^ ai & ^ а2, i = 1,...,N.

Предположим, что нелинейная функция &0(t) = (0(а0(t),t) ограничена для всех t ^ 0

< &0(t) <

Пусть задана последовательность моментов времени 0 = to < ti < ... < tk < ... и кусочно-постоянная функция управления

u(t) = Ud(tfc), tfc ^ t < tfc+i,

где tk = то.

Секторная нелинейность.

Предположим, что для некоторого Н Е К (Н > 0) выполнены неравенства:

— ^ Н Ук ^ 0, и рассмотрим закон управления в виде обратной связи

(3) и(£) = Кж(£к), Ч < * < £к+1, где К Е Ктхп. Закон (3) перепишем в виде:

(4) и(£) = Кж(£ — т (*)),

где т (г) = г — гк, гк < * < ¿^+1.

Цель статьи — исследование влияния величины верхней границы шага дискретизации Н на устойчивость замкнутой системы:

N

х(г) = Ах(г) + (в + Во (¿)) Кх(г — т (¿)) + ^ ® & (¿),

¿=1

(5)

ао(г) = гТх(г), &о(г) = ^о(ао(г), г),

а (г) = гТ х(г), & (г) = ^ (а (г), г), г = 1,..., N

т(г) = г — гк, г е [г^).

3. Предварительные сведения

Пространство абсолютно непрерывных на [—Н, 0) функций f : [—Н, 0] ^ ^ с интегрируемым квадратом первой производной обозначим через Ш. Введем в Ш норму:

™ = лта?т ^(0)| +

ве[-н, о]

о

/ |/(^

Функцию ж(£) на интервале [—Л, 0) доопределим не умаляя общности нулем, т.е. ж(£) = 0 при £ € [—Л, 0). Функции Жг(0) : [—Л, 0] ^ К"" обозначим через

ж4(0) = + 0).

Определение 1. Систему (5) будем называть экспоненциально устойчивой в целом с показателем затухания а, если существует в > 0 такое, что для решения ж(£) системы (5) с начальным условием выполнено неравенство

|х(£)|2 < вв-2а(4-40) ||ж*о||ж V* ^ ¿с-

Доказательство основного результата основано на предварительной лемме 1, доказательство которой приведено в [5].

Лемм а 1. Пусть существуют положительные числа във2 и функционал V : К, х Ш х £2[-Л, 0] ^ К, такой, что

(6)

в1 |ф(0)|2 < V(¿, Ф, фф) < в2 ||ф||^ Vф € Ш.

Пусть ж(£) удовлетворяет (5) и функция = V(¿, ¿) непрерывна справа по ¿, абсолютно непрерывна для всех £ = и удовлетворяет условию

(7)

11ш ^ ).

Если для заданного а > 0 неравенство

(8) + 2аУ(£) < 0

выполнено для почти всех ¿, то система (5) экспоненциально устойчива в целом с показателем затухания а.

4. Основные результаты

Введем обозначения:

В(£) = В + £с£с(£), В- = В + Д,^-, В+ = В + Пусть Р, ^ - симметричные положительно определенные матрицы размера

п х п, Р2, Р3 - некоторые матрицы размера п х п и {хс {к+г}г=

I N

{к- - положительные вещественные числа.

+ ^ <1 г

Рассмотрим следующие матрицы:

гс ¿/¿=1'

Ф

ЙО

ф

12

^ 22|т (4)=С *

* *

ф

ф

- (1) Й2 (1) ^ 23 - (1) Й3

ф

- (М) Й2

ф

(М) ^ 23

0

ф

- (М) Й3

*

0

Ф+о

Ф+1

Ф+12

Ф

Ф

^ 22|т (4)=о *

* *

+ (1)

52

(1)

23 Ф+(1)

Ф53

Ф

+ (N)

52

Ф(N)

23

0

Ф

)

53

Ф

51

Ф+1

Ф

54

Ф

^ 12

Ф+4

Ф+12

Ф

Ф

- (1) 55

Ф^22|т(4)=Н Ф^3

Ф

- (1) 56

^ 22|т (4)=Н *

* * *

0 0

Ф+(1)

Ф55 Ф(1) 23 + (1)

Ф

56

0 0

Ф

- ^)

55 s(N)

Ф

Ф

Ф

—НР2ТВ-К

Ф-3 —НР3ТВ-К

- (N) 56

-2аН

+ (N) 55 s(N)

—Н^е

—нртв+к

Ф^ 23 — НРТВ+К

+ (N) 56

—Н^е

-2аН

*

*

0

0

0

*

0

0

0

0

*

0

0

где " *" обозначает симметричный блок симметричной матрицы, а

Ф^ п(г) = р2т(а + в(г)к) + (А + в(г)к )ТР2 + 2аР, Ф^ 12 (г) = р — рт + (А + в(г)к )ТР3,

Ф

(¿) ^ 13

ч(0

РгЧ, Ф^23 = Р3Ч, г = 1,

Ф^ 22 (г) = —Р3 — Р3Т + (Н — т (г))д,

^ 11

^ 12

Ф^п(г)|в(4)=в-, Ф+11 = Ф^и(г)1в(*)=в+,

12(г) |В(4)=В- > Ф+12 = 12(г) |В(4)=В+ >

N

N

Ф

Ф

Ф

51

- (¿) 52

+ (*) 52

Ф-11 — К г^1г^2гГгГгТ, Ф+1 = Ф+И — ^ к+^1^2гггг'

Т гг >

¿=1

¿=1

+ ^о Ми + №г)Гг, Ф 8з%) = V Р2Ш + г^П + Ф+(г) = -К+„

N

Ф-4 = Ф-11 - Е

N

к-, Ф+4 = Ф+11 — ^ К+г^1г№ггггТ,

¿=1

ф

ф

- (¿) Й5

+ (г)

Й5

Р-2 Яг + 2^1 ¿(М1. +

2

¿=1

ф

- (¿) Й6

— к

1 ¿,

Ф+(г) = К+ фй6 = —К1 г-

Теорема 1. Пусть для заданного а> 0 существуют матрицы Р €

€ Епхп (р > 0), д € Кгахга (д > 0), Р2 € Кгахга, Р3 € Кгахга, а также поло-

I - 1N ( + ^ г - ^ г + ^ жительные вещественные числа [кс ^¿=1, (кс ^¿=1, (к1 ^¿=1 и \к{ ^¿=1

такие, что система линейных матричных неравенств

Фйс- < 0, ФЙС+ < 0, ФЙ1- < 0, ФЙ1+ < 0

разрешима. Тогда система (5) экспоненциально устойчива в целом со скоростью затухания а.

Доказательство теоремы 1 приведено в Приложении.

Далее рассмотрим более сложный случай, позволяющий добиться более точных результатов за счет использования "расширенного" функционала (см. приложение), предложенного Э.М. Фридман [5].

Пусть X € Кгахга, Х1 € К"

У1 € К"

Г2 € К"х", Г3(г) € К'

= 1,...,Х) и Т € К"

некоторые матрицы.

Рассмотрим следующие матрицы:

(< =

Ф

яс

ФЯс

в =

р+к^р-

ф-

ф+

ЛХ1 — ЛХ

-ЬХг - /гХТ +

Я1|т (4)=С *

* * * *

Я1|т (4)=С *

* * * *

ф

12|т (4)=С

ф22|т (4)=С *

* *

ф12|т (4)=С

ф22|т (4)=С *

ф-

ф

ф+ ф+

2

- (1)

13|т (4)=С фя 2

23|т (4)=С

ф33|т (4)=С *

ф

(1)

ф ф

24 (1) 34 - (1) я3

0

13|т (4)=С

23|т (4)=С

ф33|т (4)=С *

* *

ф ф ф ф

+ (1) я2 (1) 24 (1) 34 + (1) я3

ф

- ^)

я2

(N)

24

^)

34

ф

ф

- (N)

я3

+ ^)

ф

ф

я2

(N) 24 (N)

ф

34 0

+ ^) я3

*

0

*

*

0

ф

H1

фH 1

Ф^|т (í)=h * Ф12|т (í): Ф22|т (í): =h =h Ф13|т (í) Ф23|т (í)= =h =h Ф-(1) ФH5 Ф(1) Ф24

* * Ф33|т (í) = =h Ф(1) Ф34

* * * Ф-(1) ФH6

* * *

* * * О

* * * *

Ф+ ФH4|т (í)=h * )í )í i! i! 2| 2| Ф1 Ф2 =h =h Ф13|т (í)= Ф+ Ф23|т (í) = =h =h Ф+(1) ФH5 Ф(1) Ф24

* * Ф33|т (í) =h Ф(1) Ф34

* * * Ф+(1) ФH6

* * *

* * * О

* * * *

Ф

2 (N)

H5

Ф

Ф

(N) 24

(N) 34

О

hFT

hFT

hTT

hqTn(1)

T

Ф-(N ) hqT Y (N )

T

H6 *

Ф

+ (N ) H5

(N)

24

(N) 34

О

H6

*

N F3

-hQe-2ah hF1T hF2T hTT

hqTF3(1)T

Ф+(N) hqT F(N)

T

N F3

-hQe-2ah

где

Фll(t) = AtP2 + P2tA + 2aP - Fl - FT - (l - 2a(h -

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Автоматика. Вычислительная техника»