ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 8, с. 1289-1298
УДК 519.634
АНАЛИЗ ЭФФЕКТА ДВОЙНОГО ПЛАЗМОННОГО РЕЗОНАНСА МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ1)
© 2014 г. Н. В. Гришина, Ю. А. Еремин, А. Г. Свешников
(119991 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail: eremin@cs.msu.ru Поступила в редакцию 17.02.2014 г.
Метод дискретных источников модифицирован для математического моделирования и исследования рассеивающих свойств несферических частиц, локализованных на поверхности проводящей пленки, расположенной на стеклянной призме. Проведено исследование как дифференциальных, так и интегральных рассеивающих свойств наноразмерных металлических частиц. Показано, что возможно обеспечить рост сечения рассеяния за пленкой в 107 раз за счет деформации и сдвига частиц по отношению к пленке. Установлено, что распределение рассеянной интенсивности в призме имеет вид остронаправленных лучей, причем интенсивность в максимумах превышает амплитуду падающей волны в 15—30 раз. Библ. 13. Фиг. 6.
Ключевые слова: метод дискретных источников, неизлучающие волны, наночастицы, двойной плазмонный резонанс, приближенное решение задачи рассеяния, уравнение Максвелла.
Б01: 10.7868/80044466914080055
1. ВВЕДЕНИЕ
Впечатляющие достижения наноплазмоники в самое последнее время выдвинули ее на передний план исследований, относящихся к современной нанооптике. Плазмонные резонансы (ПР), как в пленках, так и в отдельных частицах, интенсивно исследуются применительно к разработке оптических антенн, локальных биосенсоров, газоанализаторов, солнечных элементов и жидкокристаллических дисплеев (см., например, [1]—[4]). В [5], [6] было обнаружено явление экстремального рассеяния неизлучающих волн сферическими частицами, расположенными на пленке из благородного металла, нанесенной на стеклянную призму. Показано, что оно возникает независимо от толщины наноразмерной пленки и материала частиц. В [6] было установлено, что возможно управлять интенсивностью рассеяния за счет сдвига частиц по отношению к поверхности пленки. В [7] был описан эффект двойного плазмонного резонанса, который возникает в результате деформации металлической частицы и изменения ее расположения по отношению к пленке. Поскольку этот эффект проявляется исключительно для металлических частиц, то его физическая природа состоит в сочетании поверхностного ПР в пленке и локального ПР, возникающих в наноразмерной металлической частице [1]. Особенность этого эффекта состоит в том, что он проявляется в области неизлучающих волн, сразу за углом полного внутреннего отражения [5]—[7].
В настоящей работе метод дискретных источников (МДИ) модифицирован применительно к анализу рассеяния поляризованного оптического излучения несферическими частицами, расположенными вблизи слоистой среды. Проведено подробное исследование двойного ПР для металлических частиц различного размера и различных материалов. Используя деформацию металлической частицы и ее сдвиг по отношению к пленке, удалось добиться усиления интенсивности рассеяния в пике ПР в 107 раз. Кроме того, показано, что внутри стеклянной призмы рассеянное поле локализуется в двух направлениях, образуя узкие остронаправленные лучи. При этом интенсивность рассеянного поля в максимуме в 15—30 раз больше, чем интенсивность исходного внешнего возбуждения. Это обстоятельство имеет особое значение в связи с расширением спектра плазмонных материалов [8]. Установленные факты имеют существенное значение
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 12-01-00541).
при разработке современных конструкций оптических антенн, локальных биосенсоров, газоанализаторов, солнечных элементов и жидкокристаллических дисплеев.
2. МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ
Рассмотрим математическую модель задачи рассеяния. Пусть заданная конфигурация состоит из прозрачной призмы (полупространство D2, z < 0), нанесенной на нее металлической пленки толщины d (область D1, d > z > 0) и оставшейся области свободного пространства D0, z > d. Будем полагать, что в D0 располагается проницаемая осесимметричная частица, внутреннюю область которой будем обозначать через D, а ее поверхность — через dDt. Выберем декартову систему координат с началом на поверхности призмы, а ось OZ направим перпендикулярно поверхности призмы в D0 и вдоль оси симметрии частицы. В качестве внешнего возбуждения рассмотрим линейно поляризованную плоскую волну {E0, H0}, которая распространяется из области призмы (область D2) под углом 02 к оси OZ. Тогда математическая постановка задачи рассеяния может быть записана в виде
rotH^ = jks^E^, rotEz = -jk^i-H-Q в D^, Z = 0,1, 2, i, n, X ((p) - Eo(p)) = 0, ez X (E» - Ep(p)) = 0, np X ((p) - H0(p)) = 0, p g8Di, ez x ((p) - Hß(p)) = 0, p eE^ (1)
lim r Us^Ez x r-^Hc) = 0, r = Щ ^да, Z = 0,2, r\ r '
|H1) = o( exp{- |lm k^ p}), p = yjx2 + y2 ^ да, D1.
Здесь {E^, HJ — полное поле в соответствующей области Dк = ю/c, np — внешняя единичная нормаль к поверхности 3D¡, e z — единичный вектор декартовой системы координат, а
S ар, а, в = 0,1, 2, — плоскость раздела областей Da и Dр, ка = к^sа. Подчеркнем, что в области призмы полное поле включает в себя падающую и зеркально отраженную от поверхности раздела призма-пленка плоские волны, а в области D0 преломленную по закону Снеллиуса волну, которая при определенных условиях превращается в неизлучающую. Полагаем, что поверхность частицы является гладкой: 3D¡ е C(2'а), а параметры сред удовлетворяют условиям Imsq, цz ^ 0, что соответствует зависимости полей от времени t вида exp{j®t). Тогда граничная задача (1) имеет единственное решение (см. [9]).
Решим задачу отражения и преломления поля плоской волны {E0, H0} на границах раздела слоистой среды S ар. В верхнем полупространстве D0 поле преломленной волны будем обозначать через {E0, H0}, а в D2 суммарное поле падающей и отраженной волн через {E 2, H2}. Для установления конкретных выражений для поля внешнего возбуждения введем следующие обозначения:
Y± = exp {-jkz (х sin ± z cos )}, e ± = (+e х cos 0С + e z sin 0^), Z = 0,1,2.
Здесь e х, e y, e z — единичные векторы базиса декартовой системы координат, 0^ — угол, под которым преломленная волна проходит в соответствующую область. Для Р-поляризации будем полагать
17-Р(±) ± ± ТТ-ВД ±
ЕС = еС ' Y С' НС = -e У ' Ч ' Y С
а для ¿-поляризации имеем
ЕС(+) = еу • уН;(+) = е± • ч • y±,
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 54 № 8 2014
где п^ = — индекс рефракции в соответствующей области пространства Тогда поле
внешнего возбуждения в соответствующих областях может быть записано в виде
F0(P,S) _ tp,SvP, S(+) И0(Р, S) _ tP, S„P, S(+) ,
E0 - T20 E0 > H0 - T20 H0 > z > a,
F0(P, S) VP, S(+) pP, S^P, S(-) „0(P, S) „P, S(+) pP, SttP, S(-) n
E2 - E2 + R20 E2 , H0 - H2 + R20 H2 , z ^
(2)
Отметим, что внешнее возбуждение {E0, H0} представлено в выражении (2) в конкретном виде {Ер S(+), Hp, S(+)}, а коэффициенты отражения и преломления Rp,S, T^/ S имеют вид
rp, s _ rP S + r^ S exp(-2 jk1 cos Q1d) „p, s _ tpj Stp S exp(-jk1 cos Q1d) .
R20 _ , , p, S P, S , т n v T20 _ , P, s P, S , т n ,4'
1 + r21 r10 exp(-2jk1 cos 91d) 1 + r21 r10 exp(-2jk1 cos 91d)
здесь 01 — угол преломления плоской волны в D1 по закону Снеллиуса, S, r^ S — коэффициенты
отражения и преломления Френеля, соответствующие интерфейсу i
р na cos 0в - Ир cos 0a P 2na cos 0а
" " --t„R —
J ав,
'aB — ->
na cos 0р + Ир cos 0a na cos 0p + np cos 0a
s 2na cos 0а
tав -
np cos 0p + na cos 0a na cos 0а + np cos
'p
Уточним определение рассеянного поля {еИ^}, ^ = 0,2. Будем полагать, что это поле равно полному полю {Е^, И^} за вычетом поля внешнего возбуждения (2) в соответствующих областях В0,2.
Будем строить приближенное решение задачи (1) на основе базовой концепции МДИ. В данном случае суть МДИ состоит в представлении для полей в виде конечной линейной комбинации полей диполей и мультиполей, которая будет удовлетворять системе уравнений Максвелла в областях В0,12,, условиям на бесконечности для рассеянного поля в В0, ^ 2, а также условиям сопряжения для тангенциальных компонент полей на поверхностях слоистой среды 2 ар. В этом случае решение граничной задачи рассеяния (1) сведется к задаче аппроксимации на поверхности частицы дВ1 поля внешнего возбуждения (2) полями дискретных источников (ДИ). Таким образом, определение неизвестных амплитуд ДИ будет производиться из условий сопряжения для полей только на поверхности частицы, которая целиком располагается в В0:
п, X (Е, - Е0) = п, X Еп, X (И - И0) = п, X И0. (3)
В основу построения рассеянного поля вне частицы положим тензор Грина слоистой среды. Поскольку геометрия рассеяния (частица плюс слоистая среда) представляет собой осесиммет-ричную структуру, то воспользуемся схемой построения решения, изложенной в [9]. В этом случае достаточно использовать азимутальные гармоники Фурье тензора Грина, которые имеют следующий вид:
т£п) = т(^р) ^п (К £п, г^ + mdX,
0 (4)
Zn) = Jm(Хр) V 1 (X, Zn, Z)X 1 + md'k,
здесь Jm(.) — цилиндрическая функция Бесселя I рода, точка 2, = (р, z) располагается в полуплоскости ф = const, а точки локализации мультиполей распределены вдоль оси симметрии zn е OZ строго внутри Di или в соответствующей области комплексной плоскости [9]. В данном случае
raB -
yj
g
0
для спектральных функций го,г), го,г), которые обеспечивают непрерывность тан-
генциальных компонент полей на На,р, справедливы следующие представления:
ехр{-Л°г - го|} + А'го)ехр{-По г - г > а, го > 0,
Vе' И(Х, го, г) =
(А,, го, г) =
По
Дл V, го)ехр { |г - а} + Сик(к го) ехр {-П'г}, а > г > о, Ае1 н(к го) ехр {П2г}, г < о,
Азе1 И(А, го) ехр {-По |г - а}, г > а, го > о,
Дзе1 И(А, го)ехр{-^1 |г - а} + Сзе1 И(А, го) ехр {--^г}, а > г > о,
^зе1 И(А, го) ехр {П2г}, г < о,
где п = ^ - к^. Спектральные коэффициенты А, В, С и Б определяются из соотношений для скачков при г = 0, d следующего вида (см. [10]):
И
1 ду 11 р. дг
о, [у?!]
1 ду и
е дг
= о,
"1 е ' = о, 1 ду 31 " 1 " е Г1 И 1 — о, 1 ду 31 " 1 "
- V 31 — — - - V 31 — — -
ер, дг _ _е _ ер
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.