научная статья по теме АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ГРУНТОВЫХ СРЕДАХ Математика

Текст научной статьи на тему «АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ГРУНТОВЫХ СРЕДАХ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 1, 2014

УДК 539.3

© 2014 г. В. Г. Баженов, В. В. Баландин, С. С. Григорян, В. Л. Котов

АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ГРУНТОВЫХ СРЕДАХ

Рассматривается решение задач поиска оптимальной формы тела при его проникании в плотные среды на основе моделей локального взаимодействия (МЛВ) и модели грунтовой среды Григоряна в осесимметричной постановке. Получена новая МЛВ, уточненная за счет учета нелинейной сжимаемости и сопротивления сдвигу грунтовой среды при аналитическом решении задачи о расширении сферической полости. Теоретически и экспериментально обоснована применимость квадратичной по скорости МЛВ для определения сил сопротивления внедрению в мягкий грунт острых тел и установлено нарушение условий применимости модели для затупленных тел. Показано, что решение при учете нелинейных эффектов обтекания в двумерной постановке позволяет существенно уточнить как форму, так и силовые и кинематические характеристики оптимальных затупленных тел при проникании в грунтовые среды. Отношение конечных глубин проникания тел вращения в мягкий грунт при учете внутреннего трения оценивается отношением коэффициентов в формулах Резаля.

Анализ [1] современного состояния физического и математического моделирования процессов удара и проникания твердых тел в плотные, в том числе грунтовые среды, свидетельствует о широком распространении моделей взаимодействия среды и тела, основанных на гипотезе локальности, предложенных ранее в задачах аэродинамики [2, 3]. Применимость этих идеализированных моделей к расчету параметров движения тел в грунтовых средах в настоящее время исследована недостаточно. Практически отсутствуют методы определения параметров моделей локального взаимодействия, учитывающие нелинейные свойства грунта, а решения в основном получены с использованием гипотезы несжимаемости среды [4—7]. Тем не менее, модели локального взаимодействия активно используются при исследовании движения тел в грунтовых средах [1, 8]. Определен класс абсолютно оптимальных тел [9, 10], сопротивление которых при заданной площади основания не зависит от длины тел и определяется лишь их скоростью движения и свойствами среды. В достаточно общей постановке разработаны [11] методы построения пространственных форм тел, оптимальных по сопротивлению и/или глубине проникания [5, 12]. В рамках двучленной модели построены точные решения задач оптимизации при заданной площади основания тела. В дальнейших исследованиях рассмотрены разные модели трения и анализ устойчивости движения полученных оптимальных тел [7].

Ниже развивается модель локального взаимодействия (МЛВ), основанная на аналитическом решении одномерной задачи о расширении сферической полости в грунтовой среде Григоряна [13] при допущении несжимаемости среды за фронтом ударной волны. Разработанная МЛВ учитывает основные нелинейные свойства грунтовой среды, существенные при описании процессов удара и проникания: зависимость предела текучести от давления и нелинейную объемную сжимаемость грунта. Экспериментально и теоретически — сравнением с результатами численных расчетов в осесимметричной постановке на основе модели грунтовой среды Григоряна — показана применимость МЛВ к описанию проникания острых конусов. Погрешности МЛВ в определении сил сопротивления применительно к затупленным телам показаны на примере задачи поиска оптимального тела вращения заданной длины и площади основания.

1. Постановка задачи проникания в мягкий грунт. Математическая модель динамики грунтовой среды Григоряна [13] записывается в цилиндрической системе координат гО1 (О^ — ось симметрии) в виде системы дифференциальных уравнений, выражающих

законы сохранения массы и максимальном плотности, достигнутом в процессе активного нагружения грунта, уравнений изменения количества движения, а также соотношений теории пластического течения с условием пластичности Мизеса

ар++ «„) _ , ар* = арнр - р*)нЖ

ш г ш ш \аЦ

Щ - - _ °гг - Р88 - - _ ^гк (1 п

Л",' 'л,,л, ' i ,

г ш

DJSij + ^у _ 20ву (,у _ г,к), ь у^ < 2р2Т

где р0, р и р* — начальная, текущая и максимальная плотность, достигнутая в процессе нагружения, щ, ау и ьу, еу — компоненты вектора скорости, тензора напряжений Коши и девиаторов тензоров напряжений и скоростей деформаций соответственно, р — давление, Н — функция Хевисайда, — производная Яуманна, d / dt — полная производная по времени, О — модуль сдвига, стт — предел текучести. Символ после запятой означает дифференцирование по соответствующей переменной, по повторяющимся индексам производится суммирование. Параметр X = 0 при упругом деформировании и X > 0, если реализуется условие пластичности.

Замыкается система дифференциальных уравнений (1.1) конечными соотношениями, определяющими динамическую сжимаемость и условие пластичности грунтовой среды:

Р = /\(р, Р*)Н(р* - р)Н(ро - р^ СТт = /2(р) (12)

Система уравнений динамики грунтовой среды дополняется начальными и краевыми условиями [14]. Как показывают эксперименты [15—17], процесс проникания затупленных тел сопровождается переходом застойной зоны в окрестности лобовой точки ударника к скольжению с образованием кавитационной полости за счет срыва потока грунта. В связи с этим, в расчетах используется контактный алгоритм "непроницаемости" по нормали со "скольжением по касательной с сухим трением" в соответствии с моделью трения [18]

- + - + - К Ы ^ к/Ы

и, = и,, у, = , у, = у, = • , (ЬЗ)

[к/Щ > к/

где иа и да — компоненты векторов скорости перемещений и контактного давления в местном координатном базисе (а = ,, £), 5 — направление касательной, £ — нормали; ку — коэффициент трения скольжения; индексами плюс и минус обозначены величины по разные стороны контакта.

На головной части ударника, контактирующей с грунтовой средой, принимается условие (1.3), на свободных поверхностях грунта и ударника нормальные и касательные напряжения задаются равными нулю. В начальный момент времени напряжения и скорость частиц грунта равны нулю. Ударник считается жестким, двигающимся с постоянной скоростью, равной скорости удара.

Численная реализация соотношений (1.1) и (1.2) осуществлялась в рамках методики [19], основанной на модифицированной схеме Годунова и реализованной в пакете прикладных программ НИИ механики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского "Динамика 2" [20]. Проведенные ранее расчеты процессов удара и проникания осесимметричных ударников в мягкие грунтовые среды [6, 8, 15, 17] показали хорошее соответствие численных и экспериментальных резуль-

татов, что свидетельствует о достоверности выбранной модели грунта [13] и эффективности применяемого математического аппарата и численного метода.

2. Модель локального взаимодействия на основе решения задачи о расширении сферической полости. Гипотеза локального взаимодействия, предложенная еще Ньютоном, предполагает, что местный коэффициент давления (нормального напряжения) зависит только от ориентации элемента тела относительно направления скорости невозмущенного потока среды и не зависит от формы тела, расположенного перед этим элементом [2]. Таким образом, характеристики движения тела (сопротивление, глубина проникания) определяются его геометрией.

В постановке, получившей широкое распространение, нормальное напряжение представляется в виде квадратичной зависимости

2

а n/р0 =а u +ß u + у (2.1)

где u — нормальная компонента вектора скорости внедрения, а, ß и у — постоянные коэффициенты, зависящие от физико-механических свойств среды, формы ударника и других составляющих. Среди соотношений для напряжений, действующих на поверхности контакта тела и среды, наиболее часто использовалась двучленная (ß = 0) модель взаимодействия [4, 5, 7, 10], содержащая динамическую составляющую, квадратичную по скорости, с постоянным слагаемым, характеризующим прочность среды. Для песчаных грунтов прочностное слагаемое мало (у « 0), но существенно влияние внутреннего трения [15, 16].

Касательные напряжения на поверхности движущегося в среде тела определим в соответствии с моделью трения Кулона

о т = kf о n (2.2)

где kf — постоянный коэффициент поверхностного трения.

Для определения параметров а и ß модели локального взаимодействия (2.1) в соответствии с известным подходом [4, 21—24] применим решение задачи о расширении сферической полости.

Постановка одномерной задачи о расширении сферической полости из точки в безграничной среде соответствует предложенной Форрестэлом с соавторами [21—23] (см. также [4]). Выделяются собственно полость, пластическая и упругая зоны, а также невозмущенное пространство; границы раздела этих зон перемещаются со скоростями u, с и ce соответственно.

Движение грунтовой среды в области пластического течения описываются уравнениями неразрывности и изменения количества движения, которые следуют из общих уравнений (1.1) и в эйлеровых переменных имеют вид (сферическая симметрия)

urr + 2 ^ = - (к (1 -е))-1

' Г dt (2.3)

ürr r + 2 g rr = -p0 duuL (1 - е)-1 r dt

Orr = f (e) + 2f (e), ürr - °ee = f2@) (2.4)

где

K = к (9) = Orr, 0 = f , e (6) + 3 fx 0 (e)

Здесь с00 и ст^ — окружная и радиальная компоненты тензора напряжений Коши (величина агг принимается положительной при сжатии), 9 = 1 - ро/р — объемная деформация, функции fl и/2 определяются формулами (1.2).

На границе расширяющейся полости радиуса Я0 задается скорость и, внешняя поверхность сферического слоя Дю свободна от напряжений [4]:

иг\г=ко = и = 0, Ко =о = 0,

Введем безразмерные переменные [22, 23]

и = 5 К = К> Л = Щ, к = 1,2, % = г

с Рос Рос Рос с{

Подстановка безразмерных переменных в систему (2.3) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных и и Б

и + 2| = (5- и) 5 ((1 -в) К ), + 2=| = (!;- и) и (1 -в)-1 (2.5)

где К, /2 и 0 — функции безразмерного напряжения Б, штрихом обозначено дифференцирование по £,.

В качестве граничного условия при = 1 используется упругое решение [22, 23], а в случае сверхзвукового движения, когда с/се >1, применяются соотношения Гюгонио на ударной волне (У

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком