ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 5, с. 18-44
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 629
АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ТОЧКИ
В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАТЕРНИОНОВ*
© 2007 г. Ю. Н. Челноков
Саратов, Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратовский государственный ун-т
Поступила в редакцию 27.06.06 г.
Работа посвящена обзору и обобщению результатов, полученных в теории оптимального управления движением материальной точки в центральном ньютоновском гравитационном поле с использованием принципа максимума Понтрягина и кватернионных моделей орбитального движения. Эта теория имеет важное значение в механике космического полета, являясь фундаментом решения задач оптимального управления движением центра масс космического аппарата.
В первой части работы дается обзор кватернионных моделей движения материальной точки в центральном ньютоновском гравитационном поле, анализируются их достоинства и недостатки. Рассматривается постановка задачи оптимального управления движением материальной точки в центральном ньютоновском гравитационном поле и ее связь с задачей оптимального управления движением центра масс космического аппарата.
Исследуются основные проблемы, возникающие при решении задач оптимального управления движением материальной точки с помощью принципа максимума, в том числе неустойчивость в смысле Ляпунова решений сопряженных уравнений. Показывается, что эффективность аналитического исследования и численного решения связанных с ними краевых задач может быть повышена за счет привлечения кватернионных моделей орбитального движения.
Введение. В работе рассматриваются задачи оптимального управления пространственным движением материальной точки в центральном ньютоновском гравитационном поле, решаемые с использованием принципа максимума Понтрягина и кватернионных моделей. К этому классу относятся, в частности, задачи о мягкой или жесткой встрече управляемой материальной точки с неуправляемой, движущейся по кеплеровской орбите и задачи оптимальной переориентации орбиты точки. Несмотря на большое количество работ, посвященных указанным задачам (как правило, они связаны с оптимальным управлением движения центра масс космического аппарата (КА)), сложность стоящих здесь проблем делает эти задачи далекими от завершения.
Исследование задач оптимального управления движением материальной точки в декартовых координатах с помощью принципа максимума Понтрягина сводится к решению краевых задач, описываемых системами обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений 12-го и выше порядков. Даже учитывая компактность и геометрическую наглядность этих систем, записанных в векторном виде, их аналитическое и численное решение мало эффективно, но может быть повышено за счет использования кватернионных моделей
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект < 05-01-00347).
движения точки. Введение кватернионов в уравнения движения материальной точки осуществляется с помощью записи этих уравнений во вращающейся системе координат п, одна из осей которой п1 направляется вдоль радиуса-вектора точки. При этом в уравнениях движения точки появляются переменные, характеризующие угловое движение этой системы координат. В качестве таких переменных в механике и астродинамике традиционно используются углы Эйлера или направляющие косинусы. Применение углов Эйлера сопровождается громоздкими тригонометрическими выражениями и дополнительными особыми точками, в которых уравнения вырождаются. Введение направляющих косинусов приводит к существенному повышению размерности системы уравнений движения и к потере геометрической наглядности.
Этих недостатков использования углов Эйлера и направляющих косинусов удается избежать, если в качестве параметров ориентации вращающейся системы координат п выбрать параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона). В этом случае ориентация этой системы координат задается гиперкомплексной переменной - кватернионом поворота, компонентами которого являются параметры Эйлера [1-3]. При этом в составе уравнений движения материальной точки появляется дифференциальное кватернионное уравнение углового движения системы координат п, имеющее компактную, симметричную и невырождающую-
ся (для любых ориентаций оскулирующей орбиты) структуру. Параметры Эйлера и кватернионы применялись для решения задач орбитального движения в [4-7]. Различные модели орбитального движения, использующие параметры Эйлера и кватернионы Гамильтона, рассматривались в [8-12].
Использование вращающейся системы координат порождает семейство различных моделей описания движения материальной точки [12], отличающихся видом скоростных переменных. В качестве таких переменных могут быть взяты следующие проекции векторов: абсолютной угловой скорости вращающейся системы координат, скорости точки, момента скорости точки на оси вращающейся системы координат. Разнообразие моделей представления движения материальной точки обусловливается также наличием в исходных уравнениях, записанных во вращающейся системе координат п, произвольно задаваемого параметра, имеющего смысл проекции ю1 вектора угловой скорости вращающейся системы координат ю на направление радиуса-вектора точки. Наиболее распространенными являются два способа задания вращения системы координат п вокруг радиуса-вектора точки. В первом из них проекция ю1 полагается равной нулю, во втором ось п3 направляется вдоль вектора момента скорости точки, вычисленного относительно центра гравитационного поля, а ось П1 по-прежнему -вдоль радиуса-вектора точки.
Запись уравнений движения материальной точки во вращающейся системе координат п, для которой ю1 = 0, использование кватерниона поворота этой системы координат в качестве гиперкомплексной переменной и дальнейшие преобразования уравнений (преобразование растяжения кватернионной переменной, введение в качестве дополнительной переменной энергии точки и вместо времени новой независимой переменной) приводят [8-11] к кватернионным, регулярным в смысле Кустаанхеймо-Штифеля [13] уравнениям движения, имеющим ряд важных достоинств. Кватернионные уравнения в регулярных переменных Кустаанхеймо-Штифеля и в связанных с ними оскулирующих переменных привлекались для решения задач оптимального управления движением центра масс КА в [14-18]. Отметим также, что подобная форма представления уравнений движения материальной точки эффективно используется в астродинамике для прогнозирования движения небесных тел с помощью численного интегрирования уравнений движения в ДО-переменных [13, 19].
Уравнения движения материальной точки, соответствующие случаю Ю = 0, содержащие в своем составе кватернионное дифференциальное уравнение ориентации вращающейся системы координат, использовались в [12, 20] для построения
оптимальных управлений и траекторий движения центра масс КА в центральном ньютоновском гравитационном поле. Эти уравнения обладают хорошей наглядностью, поскольку содержат в своем составе три подсистемы: для модуля радиуса-вектора центра масс КА и его первой производной по времени (проекции вектора скорости центра масс КА на направление радиуса-вектора), для двух компонент вектора момента скорости центра масс КА, однозначно связанных с компонентами абсолютной угловой скорости враша-ющейся системы координат, и для четырех компонент кватерниона ориентации вращающейся системы координат. Все это позволило решения задач оптимального управления движением центра масс КА сопроводить наглядными геометрическими соображениями, а также дать геометрическую интерпретацию полученным результатам. Из уравнений движения центра масс КА, использованных в [12, 20], наиболее естественно выводятся кватернионные уравнения в регулярных переменных Кустаанхеймо-Штифеля. Поэтому результаты, полученные в [12, 20], могут быть распространены на анализ уравнений задач оптимизации в ДО-переменных, приведенных в [14, 15], и наоборот.
В [21] построение оптимальных управлений и траекторий движения центра масс КА в центральном ньютоновском гравитационном поле опирается на две другие модели движения материальной точки, предложенные в [12]. Настоящие модели соответствуют второму случаю выбора вращающейся системы координат п: ось П1 этой системы координат направляется вдоль радиуса-вектора центра масс КА, а ось п3 - вдоль вектора момента скорости центра масс КА, вычисленного относительно притягивающего центра. Поэтому координатная плоскость п^2 системы координат п в этом случае совпадает с плоскостью мгновенной орбиты КА. Фазовыми переменными в первой модели служат модуль радиуса-вектора центра масс КА, его первая производная по времени, модуль вектора момента скорости центра масс КА и компоненты кватерниона ориентации вращающейся системы координат, характеризующего в этом случае ориентацию плоскости мгновенной орбиты КА в инерциаль-ной системе координат и положение центра масс КА на его орбите. Фазовыми переменными во второй модели являются, как и в первой модели, модуль радиуса-вектора центра масс КА, его первая производная по времени, модуль вектора момента скорости центра масс КА, а также полярный угол (обобщенная истинная аномалия) и компоненты кватерниона ориентации новой вращающейся системы координат, связанной с обобщенным перицентром мгновенной орбиты КА. Этот кватернион ориентации имеет смысл кватернионного оску-лирующего элемента орбиты КА.
Размерность первой системы уравнений движения центра масс КА равна семи, а второй -восьми. Эти модели по сравнению с моделями [12, 20] имеют меньшую симметрию, однако отличаются от них большей наглядностью, поскольку фигурирующая в них кватернионная фазовая переменная характеризует собой (в силу выбора вращающейся системы координат) не только ориентацию радиуса-вектора центра масс КА, но и мгновенной орбиты КА. В этих моделях, в отличие от моделей, приведенных в [12, 20], в кватер-нионное дифференциальное уравнение входит в явном виде проекция вектора управления на направление вектора момента скорости центра масс КА (т.е. составляющая вектора управления, ортогональная плоскости мгновенной орбиты КА), оказывающая определяющее вли
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.