DOI: 10.12731/wsd-2015-8.2-21 УДК 51-74
АНАЛИЗ
РАСЧЁТА ТЕМПЕРАТУРЫ ОТ ПОДВИЖНОГО ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА
Сагитов Ю.Х.
В данной статье анализируется формула температуры в точках исследуемого тела, задаваемая подвижным точечным источником тепла. В общем случае, для установившегося процесса теплопереноса, формулу удаётся привести к более компактному виду за счёт точного вычисления несобственного интеграла. В частном случае, для точек, непосредственно находящихся под источником тепла вдоль оси, перпендикулярной плоскости свариваемых листов металла, получается результат, не зависящий уже и от бесконечной суммы. В заключение статьи, проводится анализ дифференциального уравнения теплопроводности, когда плотность, удельная теплоёмкость, коэффициент теплопроводности металла зависят от температуры. Рассматриваются варианты его решения.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение теплопроводности; формула Рыкалина для температуры; подвижный точечный источник тепла; несобственный интеграл; геометрическая прогрессия.
FORMULA RYKALIN N.N.
FOR STEADY DISTRIBUTION OF HEAT FROM MOBILE POINT SOURCE
Sagitov Yu.Kh.
This paper analyzes the formula for the temperature at the points of the body under study, asked a movable point source of heat. In General, for
steady-state process of heat transfer, the formula can lead to a more compact appearance due to the accurate calculation of an improper integral. In the particular case, for points that are directly under the heat source along an axis perpendicular to the plane of the welded metal sheets, the result is independent already and from infinite.
Keywords: differential equation of heat conduction; formula Rikaline for temperature; movable point source of heat; improper integral; geometric progression.
Введение
Температура в момент времени t в точке с координатами x > 0, y > 0, 0 < z < d , создаваемая подвижным точечным источником тепла, вычисляется по известной формуле [1, с. 186].
где q — мощность точечного источника; с, р, а — удельная теплоёмкость, плотность и коэффициент температуропроводности металла; 5 — толщина металла. Расположение системы координат и направление скорости показаны на рис. 1.
(z-2-n-bJ + (х-и-if + у1 4-a-t
■t~m-dt, (1)
Рис. 1.
Формула (1) была выведена при условии постоянства, т.е не зависимости от температуры, параметров металла.
Температура от подвижного точечного источника тепла
Несколько преобразуем формулу (1)
Ч' ехР|
Т =
4 • с • р ■ (я • аУ I 4-а 4 \
Для установившегося процесса, интеграл можно считать несобственным с бесконечным верхним пределом, т.е. 'и-
Ч' ехР
Т =
2 а
□о »
Е Н> -
__и2 ^ {г-2-п-ЪУ +х2 + у { 4_з/2
4-с-р-(к-аУ2 „^0ГЛР1 4-я 4 а-1
■Г3/2-сИ.
Это позволяет для вычисления интеграла применить табличную формулу [2, с. 344].
• ехр(- рх — д/х)- с!х = — ■ ехр^- 2 • р-д).
В итоге
Т =
( и-
ч- ехр -
2- а)
2 -с-р ■71 ■а
ехр 2 — ■ Л/ (г — 2 ■ п •а ■5)Ь \-х2 н ьу2
-п-Ъ^Л ьх2 + >>2
(2)
Полученный результат более компактный по сравнению с формулой (1), но наличие бесконечной суммы затрудняет применение аналитических методов исследования.
Температура в точках, непосредственно находящихся под точечным источником тепла
Представим формулу (2) в следующем виде
Я' ехР|
Т =
и-х 2-а
2-с-р-п-а
ехр 2-а У + х2 + у2
л1(2-п-8-гУ+х2+у2
ехр
+ 1-
л=0
т](2-п-& + гУ + х2 + у2
2 а
ехр
2 а
^(Т.-п-б + гУ + х
2 + /
■^г2 + х2 + у1
Для точек, непосредственно находящихся под источником тепла, вдоль оси перпендикулярной поверхности металла, т.е. для точек, две координаты: х, у, равны нулю и, z ф 0, имеем
2-с-р-тг-а
ехр
2-я
2-п-Ь-г
(3)
или
т =
п=1
ч
ехр и (2-и-8 + г) а ехр - и-г 2^а
2- п-Ъ + г 2
2-с-р-тг-а
ехр
и • (2 • я • 5 ± г) 2 а
(2 ■ я ■ 8 ± г)
ехр -
о-г 2 а.
. (4)
Внешняя сумма в (4) - это сложение двух слагаемых, отличающихся знаками внутри скобок.
Внутреннюю сумму представим в виде
_^о_] = _ г_I 2-а) у
(2-«-8±г) 2-а £ Ч
Сумма в подъинтегральном выражении - это бесконечная геометрическая прогрессия без «нулевого» слагаемого, поэтому
» ехр
Е-
и-и-8
•Л>.
Еехр[ ~
_л=0
и-и-8
-1
•Л> =
и-8 , л ехр| -— | -1
Ь'Н
2 -я
_ о-г +-
2-я
ехр
и-8
-1
(к>.
С точки зрения исследования процесса сварки с помощью подвижного точечного источника тепла важной является информация о темпера-
1 с еХ^\2-я) , _1 гТЛ^Л Г
2-я Го-5^ / 8-1 Ги-8^
ехр— -1 ехр— -1 ?
и-8
Г»
ехр - -
12 а)
1 ехрГо I 1
■я -1 Го-5^1 , 8 •> (и-ехр - -1 ехр —
и-8
5]-Г8
-
ехр
у2-а)
я
1
ехр
и-8 я
-1
= 1 Г ^ .
2-8
1
■Ы
1 + $
2-8
■1п
1
£-8 2-8
•1п
1 + 5
1-5
1 + ехр 'и
-
Л а)
1 - ехр 'о
л а)
1 1
и-8 ) 2-8 2-я
■¿и
1 + ехр
1-ехр Ги'51 U•flJ
(6)
8■ехр^ эй прои
чательный результат для вычисления температуры в указанной точке
2-я-с-р-я-8
■1п
1 + ехр № Я
1-ехр Ги-5^ ¿•а) 2-л-с-р-я-8
■1п
сЩ
4-я,
. (7)
Аналогичные результаты можно получить и для точек с координатой z = 5/4; 5/2; 3 • 5/4.
Учёт зависимости параметров материала от температуры
На рис. 2-4 показана зависимость коэффициента теплопроводности, удельной теплоёмкости и плотности металла 08Ю от температуры. В виде аппроксимации этих параметров можно принять формулы
к = а-Т2+$-Т + у
с = %-Т + % , где р = \|/-Г + ф
а = 0,003 ß = -0,361, у = 39,11
X = 0,189 т = 554,8'
У = -0,386 Ф =7897 '
Рис. 2
Рис. 3
Дифференциальное уравнение теплопроводности во втором приближении принимает вид
(а-Г2+р-:Г + у)АГ = (а1-Г2+Р1-Г + у1)^ (9)
от
где
а1=х-¥ = -72,954-10"3 ■ Р1=х-Ф + У-Т = 214,153 . у, =т-<р = 4,381-106(К') С учётом численных значений коэффициентов, дифференциальное уравнение теплопроводности в первом приближении, запишется
(р-Г + у)-АГ = ф1-Г + у1>^, (10)
от
или
у-АГ = ф1-Г + у1>^, (11)
от
Заключение
Решение каждого из уравнений (9) - (11) является самостоятельной задачей, для реализации которого требуется не тривиальный подход. Если удастся решить хотя бы простейшее из этих трёх уравнений (11), то это значительно улучшит соответствие теоретических результатов экспериментальным данным.
6г'
Список литературы
1. Теория сварочных процессов: учебное пособие для вузов / [под редакцией Фролова В.В.]. М.: Высшая школа, 1988, - 559 с.
2. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М.: Наука. Главная редакция физико-мате-матиче-ской литературы, 1981. - 799 с.
3. Сагитов Ю.Х. Решение уравнения теплопроводности для случая продольного «провара» металлического листа// Известия Самарского научного центра РАН. - 2008, спец. выпуск №8. - С. 245-250.
4. Меньшиков Г.А., Антонов В. Г., Сагитов Ю.Х. К вопросу изучения механизма перемешивания жидкого металла в ядре при контактной сварке// Сварочное производство. - 2008, № 12. - С. 24-28.
5. Сагитов Ю.Х. Решение уравнения теплопроводности для начальной стадии контактной сварки двух теплоизолированных стержней // Математика и её приложения. Ч. 1. - Тольятти, ТГУ, 2009. - С. 89-98.
6. Сагитов Ю.Х., Скиданенко А.В. Изучение процессов теплопередачи в упрощённой модели контактной сварки металлов // Математика и её приложения. Ч. 1. - Тольятти, ТГУ, 2011. - С. 57-62.
7. Сагитов Ю.Х., Дымченко И.А Изучение процессов теплопередачи при сварке двухслойных металлов // Математика и её приложения. Ч. 1. - Тольятти, ТГУ, 2011. - С. 63-67.
8. Сагитов Ю.Х. Формула Рыкалина Н.Н. для установившегося процесса распространения тепла от подвижного точечного источника // Научно-технический вестник Поволжья. Направления: Физ.-мат. науки. Хим. науки. Тех. науки. - Казань: 2012, № 5. С. 296-301.
9. Брунов О.Г., Солодский С.А. Физико-математическое моделирование перехода капли электродного металла в сварочную ванну // Сварочное производство. - 2008, № 9. - С. 18-22.
10. Демченко А.И., Шмарловский А.Н., Соловьёва К.В. Особенности электрических и тепловых полей при односторонней контактной точечной сварке // Сварочное производство. - 2010, № 9. - С. 27-32.
11. Бушма В.О. Моделирование физических процессов при дуговой сварке неподвижным плавящимся электродом // Сварочное производство. - 2010, № 5. - С. 15-22.
12. Будкин Ю.В., Ерофеев В.А. Физико-математическая модель процесса электронно-лучевой сварки тугоплавкого металла со сталью // Сварочное производство. - 2010, № 2. - С. 19-22.
13. Щербаков А.В., Гончаров А.Л., Портнов М.А. Физико-математичес-кая модель исследования процессов теплопередачи при электронно- лучевой сварке изделий произвольной формы // Сварочное производство. - 2011, № 11. - С. 6-13.
14. Щербаков А.В., Гончаров А.Л., Слива А.П., Рыжкин Р.А. Особенности методов математического моделирования для определения технологических параметров электронно-лучевой сварки // Сварочное производство.
- 2011, № 3. - С. 15-20.
15. Собко С.А., Гареев И.С., Писарев М.С., Брунеткина Е.В. Моделирование тепловых процессов при аргонодуговой сварке // Сварочное производство. - 2013, № 4. - С. 6-10.
16. Kovtunov A.L., Sidorov V.P.? Chermashentseva T.V. Special features of refining processes in welding aluminized steel with an oxidizing gas // Welding International. - 2011, V. 25, № 6. - P. 450-453.
17. Korobeinikov S.N., Babkin A.S. An algorithm for calculating the optimum parameters of the welding conditions of low-alloy steels // Welding International.
- 2011, V. 25, № 6. - P. 454-456.
18. Budkin Y.V., Erofeev V.A. Physico-mathematical model of the process of electron beam welding refractory metal to steel // Welding International. - 2011, V. 25, № 7. - P. 19-22.
19. Donchenko E.A., Tkachuk V.D. Calculating the cross-sectional area of the welded joint in automatic welding and surfacing // Welding International. -2012, Т. 26, № 5. - P. 391-394.
20. Bushma V.O. Modelling physical processes in arc welding with a stationary consumable electrode // Welding International. - 2011, Т. 25, № 10. - P. 788-794.
References
1. Volchenko V.N., Jampol'skij V.M., Vinokurov V.A. [Under edition Frolov V. V.] Teorija svarochnyh processov: uchebnoe posobie dlja vuzov. [Theory of welding processes: manual for higher education institu
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.