научная статья по теме АНАЛИЗ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНОЙ СКАЧКООБРАЗНОЙ СТРУКТУРОЙ Кибернетика

Текст научной статьи на тему «АНАЛИЗ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНОЙ СКАЧКООБРАЗНОЙ СТРУКТУРОЙ»

ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2013, № 4, с. 99-108

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ^^^^^^^^ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

УДК 681.5

АНАЛИЗ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНОЙ СКАЧКООБРАЗНОЙ СТРУКТУРОЙ*

© 2013 г. В. А. Бухалёв, А. А. Скрынников, А. Ю. Федотов

Москва, ВУНЦВВС "ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина" Поступила в редакцию 17.02.12 г., после доработки 20.11.12 г.

Рассматривается задача определения вероятностных характеристик системы массового обслуживания, динамика которой описывается немарковской цепью с конечным числом состояний. Находятся точное и приближенное решения, основанные на теории систем со случайной скачкообразной структурой. При этом система массового обслуживания описывается динамической системой с условно-марковской случайной структурой. С использованием предложенного подхода получено приближенное решение прикладной задачи вероятностного анализа восстановления авиационной техники в ходе боевых действий.

БО1: 10.7868/80002338813030049

Введение. Теория массового обслуживания (ТМО) [1—5] широко используется в задачах исследования надежности, эффективности и проблем эксплуатации во многих областях техники, экономики, социологии, медицины и т.д. Практические задачи ТМО связаны с исследованием многократно повторяющихся однородных операций, подвергающихся воздействию случайных факторов (например, транспортные перевозки, информационные сообщения, обслуживание клиентов, конвейерное производство, элементы военных операций и пр.). Математические модели, используемые в ТМО, принадлежат главным образом к классу марковских систем с конечным числом состояний или, реже, к классу систем, приводимых к марковским различными способами.

Методы ТМО, применяемые для анализа марковских систем с конечным числом состояний, достаточно эффективны и несложны. Однако при расширении класса систем, используемых в математических моделях, т.е. немарковских стационарных процессов, а тем более немарковских нестационарных процессов, сложность методов анализа возрастает, а их точность уменьшается [1—5]. Между тем необходимость в рассмотрении более широких классов систем существует вполне объективно. Достаточно сказать, что в имитационных математических моделях практически нет искусственных ограничений математического характера. Все ограничения носят естественный характер, обусловленный причинно-следственными связями, которые формализованы в модели.

Главное принципиальное ограничение, существующее в марковской системе с конечным числом состояний, заключается в следующем. Основным параметром в такой системе является матрица вероятностей переходов (для дискретной во времени формы представления) или матрица интенсивностей перехода (для непрерывной формы) из одного состояния в другое. Эти вероятности в общем случае зависят от времени, что характеризует влияние на них некоторых детерминированных воздействий, не зависящих от состояний системы. В имитационных моделях, как и в реальных явлениях, переходы из одного состояния в другое в общем случае зависят от случайных воздействий, которые в свою очередь могут зависеть от состояний системы. Если анализ исследуемого объекта путем только имитационного моделирования по каким-либо причинам неприемлем, то в качестве альтернативного подхода можно применить теорию систем со случайной скачкообразной структурой (ССС) [6—17].

Состояние дискретной системы ССС в каждый момент времени к = 0, 1, 2, ... характеризуется вектором [Хк, Бк], где Хк — ях-мерный вектор фазовых координат, принадлежащий непрерывному или счетному множеству; Бк — скалярный индекс состояния структуры, принадлежащий конеч-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-08-01191А).

99

7*

ному множеству; при этом Хк и — случайные процессы, связанные между собой стохастически или функционально.

Вектор состояния системы — марковский процесс, однако его компоненты Хк и 8к являются условно-марковскими (обе вместе или хотя бы одна из них), т.е. немарковскими. Это означает, что состояние одной из компонент в дискретный момент времени к + 1 зависит не только от ее состояния в предыдущий момент времени к, но и от состояния другой компоненты в момент к.

По сравнению с системами, рассматриваемыми в ТМО, класс моделей, анализируемых методами теории ССС, является более широким, а алгоритмы анализа представляют собой рекуррентные формулы (или дифференциальные уравнения), хорошо реализуемые на современных ЭВМ.

1. Постановка задачи. Дискретная динамическая система ССС описывается стохастическим рекуррентным уравнением

Хк+1 = Фк($к+1, Хк, $к, "к), (1.1)

где Е к — вектор возмущений, т.е. последовательность векторных случайных величин, независимых при разных к, с известной функцией распределения Фк(2,к), которая служит общим описанием как для непрерывных распределений, например гауссовского, так и для дискретных, например распределения Бернулли; фк (•) — вектор известных детерминированных функций своих аргументов.

Объединенный вектор [Хк, Бк] называется вектором состояния системы. Индекс структуры 8к — условно-марковская цепь с конечным числом состояний, заданная условными вероятностями переходов из состояния зк в состояние зк+1 при фиксированном значении хк:

ук(зк+1!хк, я к) = Р [^к+1 = Зк+11Хк = хк, ^к = Як]> Зк = 1> пз • (1-2)

В (1.1), (1.2) большими буквами Хк, Бк, Ек обозначены случайные величины, а соответствующими им малыми буквами хк, зк, 2, к — детерминированные переменные; = означает равенство по определению; Р [•] — символ вероятности.

Известно начальное распределение вероятности вектора состояния — у0(х0, 50). Требуется найти текущее распределение ук(хк, зк), плотность вероятности фазовых координат /к(хк), вероятности состояний структуры рк ($к) и другие вероятностные характеристики, зависящие от них.

2. Точное решение. Используя формулу полной вероятности и формулу умножения вероятностей [18], запишем равенство

У к+1(Хк+1, ^+1) = X I8 к (Хк+1!^к+1, Хк, Sk )Ук (^Хк, Sk )у к (Хк, Мхь (2.1)

где бк(Хк+1!^к+1, Хк, зк) — плотность вероятности перехода из хк в Хк+1 при фиксированных зк+1, 5к; символом |() йХк обозначен кратный определенный интеграл по всему евклидовому пространству 1№п изменения вектора хк.

В (2.1) дк (эк+1|Хк, sk) задана (см. (1.2)), а б к(Хк+1|^к+1, Хк, sk) можно найти из (1.1). Для этого определим условную характеристическую функцию вектора Хк+1 при фиксированных зк+1, хк, зк [9, 19, 20]:

0к-и(юкк+1, Хк, Sk) = Ы[ехр[ттXк+1>!^к+1, Хк, Зк] =

= |ехр{/юТХк+1> е к (Хк+К+1, Хк, Зк) йХк+1,

где Т — символ транспонирования; М — математическое ожидание (МО). Отсюда с учетом (1.1) следует

0к+1(ю I Зк+1, Хк, Зк) = |ехр{/ютФк(эк+1, Хк, Зк,%к)> ^Фк(%к), (2.2)

где |() йФк(,к) — кратный интеграл Стилтьеса [18].

Плотность вероятности sk(xk+1|sk+1, xk, sk) связана с 0k+1(®+1, xk, sk) обратным преобразованием Фурье

еk(Xk+1ISk+1, Xk, Sk) = (2n)~"x Jek+1(®|sk+1, xb Sk) expHro^k+Jd®. (2-3)

Подставив (2.2) в (2.3), получаем

sk (xk+1|sk+1, xk, Sk) =

n TT T (2.4)

= (2n) x JJ exp{/w [9k(Sk+1, Xk, sb £k) - xk+1]} dm dФk(^).

Так как (2n) Jexp {/ют[9k(•) - xk+1]} dю = 5[9k(•) - xk+1], где 8(9k(•) - xk+1] — многомерная дельта-функция Дирака:

x /ч 1 fa xk+1 = Ф k() [0, xk+1 * фk("), то формулу (2.4) можно записать также в виде

sk(xk+1 | Sk+1, xk, Sk) = Js[9k(Sk+1, xk, Sk, %k) - xk+1] dOk(2,k), (2.5)

и в приложениях пользоваться формулами (2.4) либо (2.5) в зависимости от конкретного вида функций 9k(-) и (2, k). Например, при гладких, монотонных функциях расчеты удобнее выполнять по формуле (2.5), а при разрывных функциях — по формуле (2.4).

Уравнение (2.1) — функциональное рекуррентное уравнение, решаемое численно на ЭВМ. Найдя уk(xk, Sk), можно отыскать и другие вероятностные характеристики Xk и Sk, например: вероятность состояния структуры Sk:

Pk (Sk) = Jy k fe Sk) dxk;

плотность вероятности фазовых координат Sk:

fk(xk) = X Yk(xk, Sk);

Sk

наиболее вероятное значение состояния структуры:

Sk = arg max Pk (Sk);

Sk = 1, nS

безусловное МО вектора Xk:

xk = Jxkfk (xk) dxk ;

безусловную корреляционную матрицу (КМ) вектора Xk:

Rk = J(xk - x!)(xk - xt ffk (xk) dxk;

условную плотность вероятности Xk при фиксированном sk:

fk (xk\Sk) = Pkl(Sk)Yk(xk, Sk);

условное МО вектора Xk при фиксированном sk:

xk(Sk) = Jxkfk (xk\Sk) dxk;

условную КМ вектора Xk при фиксированном sk: Rk(Sk) = J[xk - x(Sk)][xk - x(Sk)]Tfk (xk|Sk) dxk.

3. Приближенное решение. Необходимость в точном решении не всегда существует, потому что математическая модель (1.1), (1.2) и исходные данные, как правило, неточно описывают реаль-

ное исследуемое явление. Приближенное, но более простое решение может быть получено следующим образом.

Используя связь вероятностных характеристик Хк, Бк с распределением вероятности ук(Хк, Зк), на основании (2.1) запишем следующие уравнения:

Хк+1 =

рк+1(зк+1) - |ук+1(Хк+1, Зк+1) Лхк = X ^Чк (зк+1|Хк, 3 к) У к (Хк, 3 к) Лхк к (Хк+1! Зк+1, Хк, Зк) Лхк+1,

откуда на основании очевидных формул

У к (Хк, ¡к) = /к (Хккк )Рк (¡к ),

к(Хк+1|зк+1, Хк, ¡к) Лхк+1 = 1 следует

РкЖ-и) = XРк(¡к)\чк(¡к-иХк, Зк) /к (Хккк) ЛХк. (31)

¡к

Найдем условное МО хк+1($к+1): Хк+1(Зк+1) = |Хк+1/к+1(Хк+1кк+1) Лхк+1 = = рк-+1(Зк+1) |Хк+1У к+1(Хк+1, як+1) Лхк+1 =

= Рк+1(Зк+1)Х \Чк (Зк+1Х, Зк) У к (Хк, Зк) ЛХк |Хк+18 к (Хк+1кк+1, Хк, Як) ЛХк+1 = (3.2)

Зк

= рк-+1(Зк+1)Х Рк(Зк) (Зк+1|Хк, як) /к (Хк\як) Лхк |Хк+18к(Хк+1|Зк+1, Хк, як) ЛХк+1•

Аналогично для Як+1($к+1) имеем

+1(Зк+1) = |[Хк+1 - Хк+1(Зк+1)][хк+1 - Хк+1(Зк+1)] /к+1(Хк+1|Зк+1) Лхк+1 = = ; Г У, Рк(Зк) I ук (Зк+1\Хк, Зк) /к (Хк\Зк) Лхк Х

(3.3)

Рк+1(Зк+1) 1

Х |Хк0+1(Зк+1)хк+1(Зк+1) 8 к (Хк+1\Я к+1, Хк, як ) Лхк+1,

где хк+1(Зк+1) = Хк+1 - Хк+1(Зк+1).

Безусловные МО и КМ вычисляются по формулам

хк = X Хк (Зк) Рк (Зк),

Л* = (Зк) + хк(Зк)х!(Зк)]Рк(Зк) - Х1(Х1)Т•

Плотность вероятности перехода ек(хк+1\Зк+1, хк, Зк) определяется из (2.4) или (2.5).

Выражения (3.1)—(3.4) превращаются в замкнутую систему уравнений относительно Р($к), хк и Як, если неизвестную плотность вероятности /к (хк\Зк) аппроксимировать известной функц

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Кибернетика»