УДК 620.179.16
АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ В ТРЕХМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
С.М. Балабаев, Н. Ф. Ивина
На основе метода конечных элементов (МКЭ) разработана компьютерная программа для анализа собственных колебаний прямоугольных пьезопреобразователей произвольных размеров в трехмерном приближении. Выполнен анализ собственных колебаний преобразователей для нескольких первых мод. Полученные результаты позволяют обосновать выбор оптимальных геометрических размеров прямоугольного пьезопреобразователя, работающего на первой моде.
Ключевые слова: метод конечных элементов, пьезопреобразователь, собственные колебания.
В пьезопреобразователях для у. з. дефектоскопии применяются как круглые преобразователи, так и других форм, в частности, прямоугольные [1—4]. Классические задачи анализа пьезопреобразователей решены на основе их одномерных моделей [1, 5], основной недостаток которых заключается в том, что они дают удовлетворительные результаты только для исследуемой моды колебаний преобразователей простейших форм при определенных ограничениях на соотношение их резонансных и нерезонансных размеров. Для пьезопреобразователей с произвольным соотношением размеров задача становится принципиально трехмерной и описывается не обыкновенными дифференциальными уравнениями, а уравнениями электроупругости в частных производных со сложными граничными условиями. К настоящему времени аналитические решения этих задач в точной постановке не получены.
Во многих практических случаях одномерная модель весьма далека от реального пьезопреобразователя, поэтому аналитические методы дают только приближенные значения основных параметров преобразователя, не позволяют учесть конструктивные особенности и выбрать оптимальные геометрические размеры. Одномерная модель предполагает также постоянство колебательной скорости на излучающей поверхности, что часто не соответствует фактической ситуации и приводит к большой погрешности при расчете характеристики направленности.
Хорошие результаты для не одномерных моделей пьезопреобразователей впервые были получены вариационными методами. В [6—8] с помощью вариационного метода Ритца исследованы резонансные частоты, формы колебаний и динамические емкости прямоугольных и круглых пьезопластин и прямоугольных параллелепипедов.
В вариационном методе решения для смещения и электрического потенциала ищутся с помощью рядов по координатным функциям, которые должны наиболее полно приближаться к точному решению и зависят от геометрической формы преобразователя. Если область имеет неканоническую форму, вариационный метод неприменим, так как нельзя подобрать систему координатных функций для всей области в целом.
Метод конечных элементов представляет собой один из вариационно-разностных методов. Его большим преимуществом, по сравнению с обычными вариационными методами, является универсальность: МКЭ можно анализировать пьезопреобразователи произвольной геометрической формы
Сергей Михайлович Балабаев, доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики Дальневосточного государственного технического рыбохозяйственного университета (Дальрыбвтуза). Тел. (423) 244-21-80. E-mail: festfu@mail.ru
Наталья Федоровна Ивина, доктор техн. наук, профессор кафедры высшей математики Дальневосточного государственного технического рыбохозяйственного университета (Дальрыбвтуза). Тел. (423) 244-21-80. E-mail: festfu@mail.ru
и размеров с любым типом поляризации и произвольной формой электродов с учетом пассивных элементов конструкции.
Фундаментальные работы по применению МКЭ к анализу пьезопреобра-зователей были выполнены в начале 1970-х годов практически одновременно и независимо в США и Японии. Первые работы американских ученых были связаны с гидроакустическими преобразователями [9, 10]. В статьях японских акустиков рассмотрены круглые пьезостержни и пластины [11—13].
Во всех этих работах анализировали осесимметричные конструкции, так как в этом случае задача является фактически двумерной, то есть разбивать на конечные элементы надо только осевое сечение преобразователя (или даже его половину); это значительно уменьшает время вычислений и размерность получающихся глобальных матриц [14]. С целью их уменьшения в [15] предложен комбинированный метод конечных элементов и теории возмущений. В [16] обсужден вопрос учета пьезоэффекта для прямоугольных преобразователей в существующих программах МКЭ. Эта статья содержит ссылку на разработанную программу PIFEN и обещания о том, что в дальнейших публикациях будет приведен анализ нескольких пьезопреобразова-телей с помощью этой программы, которые до сих пор не выполнены.
Целью данной статьи является анализ трехмерных колебаний прямоугольных пьезопреобразователей с помощью МКЭ. Основные аналитические соотношения МКЭ, пригодные для анализа собственных колебаний пьезо-преобразователей любых форм и размеров, подробно изложены в монографиях авторов [17, 18] и кратко в [19—21], поэтому не будем их повторять.
Рассмотрим пьезопреобразователь в форме прямоугольного параллелепипеда, размеры которого вдоль координатных осей х, y, z равны a, b, c соответственно. Далее будем использовать относительные размеры: ¡х = 1, l = b/a, ¡z = cía. Ось поляризации параллельна оси z; электроды нанесены на плоскостях, перпендикулярных этой оси.
При анализе собственных колебаний предполагается выполнение следующих граничных условий: отсутствие механических напряжений на поверхности пьезопреобразователя, а также нормальной компоненты электрической индукции на поверхностях, не покрытых электродами; эквипотен-циальность электродов. В [17—21] показано, что при указанных граничных условиях для анализа режима резонанса (короткого замыкания) и антирезонанса (холостого хода) МКЭ приводит к решению матричных задач на собственные значения большой размерности — безразмерные резонансные и антирезонансные частотные параметры и собственные векторы — безразмерные узловые смещения. Зная собственные значения и собственные векторы, можно вычислить динамический коэффициент электромеханической связи (ДКС) для любой моды колебаний как отношение взаимной энергии к среднему геометрическому значению упругой и электрической энергий [5].
Для расчетов использованы конечные элементы в виде прямоугольных параллелепипедов с двадцатью узлами, то есть с квадратичной аппроксимацией между ними (сирендипово семейство [14]). В каждом узле определяются три компоненты смещения и электрический потенциал. Таким образом, один конечный элемент описывается системой восьмидесяти уравнений. Далее конечные элементы определенным образом стыкуются и формируется глобальная система уравнений большой размерности. При расчетах, учитывая симметрию пьезопреобразователя и рассматриваемые формы колебаний, на конечные элементы разбивали одну восьмую часть преобразователя, лежащую в первом октанте. При этом на плоскостях симметрии преобразователя (координатных поверхностях х = 0, y = 0, z = 0) задавали граничные условия — равенство нулю нормальной компоненты смещения. Разработана компьютерная программа, которая позволяет определить частоты резонанса и антирезонанса, ДКС и распределения узловых смещений (формы колебаний).
На рис. 1 представлены зависимости спектра собственных частот преобразователя из пьезокерамики ЦТБС-3 от размера ¡г при ¡х = 1. Частоты определены в безразмерном виде кр, где к1 — волновое число продольной волны в направлении оси поляризации. Параметры пьезокерамики соответствуют справочным данным [22]. Диапазон частот между нанесенными частотами резонанса и антирезонанса (пьезоактивный участок) заштрихован; номера мод обозначены цифрами. Для непьезоактивных участков спектра частоты резонанса и антирезонанса совпадают, диапазон частот между ними определяет рабочую полосу частот для каждой моды колебаний.
а б
Рис. 1. Спектр собственных частот прямоугольного пьезопреобразователя: а — I = 1,1; б — I = 1,2.
Анализ спектра показывает, что при учете поперечных размеров пьезопреобразователя частота антирезонанса первой моды меньше к и стремится к к с увеличением I что соответствует одномерному приближению. При ¡2 > ¡у наиболее эффективно возбуждается первая мода.
На рис. 2 представлены зависимости ДКС (к) от размера ¡г при ¡х = 1, номера мод обозначены цифрами. Рис. 2а соответствует спектру на рис. 1а, рис. 2б — спектру на рис. 1б.
В табл. 1 приведены результаты расчета собственных частот в режимах резонанса, антирезонанса и ДКС при изменении геометрических размеров пьезопреобразователя в интервалах ¡г е [1,1; 1,6], ¡у е [1,1; 1,4] при ¡х = 1 для первой моды колебаний. Частоты определены в безразмерном виде / = кр. аб
к
0,4
0,2
3
2 у
0,4
0,2
—-
1 3
2
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
I
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Рис. 2. Зависимости динамического коэффициента электромеханической связи от геометрических размеров прямоугольного пьезопреобразователя:
1,2.
- г = 1,1; б — г -У ' ' У
Хотя ДКС достигает предельного значения уже при ¡г ~ ¡ полоса частот возрастает с увеличением ¡г за счет перераспределения энергии поперечных и продольных колебаний. ДКС характеризует преобразование энергии; в данном случае энергия колебаний связана с тремя степенями свободы.
0
0
I
2
Таблица 1
Параметры собственных колебаний пьезопреобразователя
г г ^ = 1,1 у ' г = 1,2 у г = 1,4 у
/р Га к /Р /а к /р /а к
1,1 2,18 2,28 0,57 2,09 2,19 0,51 1,88 1,97 0,43
1,2 2,24 2,43 0,59 2,18 2,32 0,56 2,01 2,12 0,47
1,3 2,29 2,58 0,59 2,25 2,46 0,58 2,11 2,25 0,51
1,4 2,32 2,75 0,59 2,29 2,61 0,59 2,20 2,37 0,54
1,5 2,35 2,85 0,59 2,32 2,75 0,59 2,24 2,49 0,57
1,6 2,37 2,89 0,59 2,35 2,84 0,59 2,29 2,60 0,58
Статический коэффициент связи характеризует эффективность преобразования энергии в том случае, если вся энергия колебаний связана с одной степенью свободы, соответствующей излучению. При увеличении ¡г колебания становятся продольными, ДКС стремится к статическому коэффициенту связи к33. Известное соотношение между коэффициентом связи и частотами резонанса (/) и антирезонанса (/а) [5] (к233 = я/2/ //сХ%(,к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.