ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 2, с. 7-14
ТЕОРИЯ СИСТЕМ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 681.511
АНАЛИЗ СТЕПЕНИ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
© 2007 г. А. Н. Жирабок
Владивосток, Дальневосточный государственный технический ун-т Поступила в редакцию 14.03.06 г., после доработки 18.05.06 г.
Рассматривается следующая задача: для известного с определенной степенью точности начального состояния дискретной динамической системы требуется определить степень точности состояния, в которое эта система перейдет после подачи на нее заданного управления на конечном интервале времени. Предлагается способ повышения точности определения конечного состояния за счет изоморфного преобразования системы.
0. Введение. Статья является продолжением работы [1], где была рассмотрена задача анализа способности заданной дискретной динамической системы к исправлению (коррекции) ошибок, возникающих в ней в процессе ее функционирования, и предложен способ повышения степени самокоррекции. В основу анализа положена так называемая алгебра функций, разработанная для решения различных задач теории нелинейных динамических систем и имеющая сходные черты с дифференциальной геометрией [2-4].
Математические конструкции, предложенные в [1], имеют дуальные аналоги, которые позволяют провести анализ свойства, дуального способности самокоррекции ошибок. Это свойство касается степени точности информации о состояниях, в которых может находиться система, и связано со следующей задачей. На систему, находящуюся в начальном состоянии, которое известно с определенной степенью точности, подается заданное управление на конечном интервале времени; требуется оценить степень точности будущего состояния системы. Назовем это анализом степени управляемости системы.
Задача первоначально решается для дискретных динамических систем, описываемых в пространстве состояний разностным уравнением
х(г +1) = Дх(г), и(0), (0.1)
где х е X с Я" и и е и с Я - векторы состояния и управления (входа) соответственно, / - нелинейная векторная функция (необязательно дифференцируемая). Полученные результаты затем интерпретируются в терминах линейных динамических систем, описываемых уравнением
х (г +1) = ^х( О + Ои( г), (0.2)
где ^ и G - постоянные матрицы соответствующих размеров. Обозначим систему (0.1) через
2 = (х, и, д
Для формальной постановки задачи будем характеризовать степень точности информации о состоянии системы функцией ф, определенной на множестве X; если, например, ф(х) = х1, то известно значение только первой компоненты вектора х; если ф(х) = [хх х2 + х4]т, то известны значение первой компоненты, а также сумма второй и четвертой. В этом случае можно говорить, что состояние х известно с точностью до функции ф или просто с точностью ф.
С учетом введенных понятий задача ставится следующим образом: для заданных дискретной динамической системы, начального состояния, известного с точностью ф, и произвольного управления на конечном интервале времени найти условия, которым подчиняется точность у конечного состояния. Кроме того, по аналогии с работой [1], рассматривается задача повышения степени точности (иначе - степени управляемости) конечного состояния, если это возможно.
Для решения поставленных задач коротко изложим основные положения алгебры функций; необходимые детали и доказательства можно найти в [2-4].
1. Алгебра функций. Рассматриваемый математический аппарат содержит четыре основные конструкции.
1. Отношение частичного предпорядка "<": для произвольных функций а: X —► и в: X —»- Ж будем записывать а < в, если существует функция у: 5 —«- Ж, такая, что у(а(х)) = в(х) для всех х е X, где 5 и Ж - некоторые множества. Если а < в и в < < а, будем записывать а ~ в и говорить, что эти функции эквивалентны.
2. Операция "х": прямым произведением а х в функций а и в назовем функцию, определяемую следующим образом:
ах в = шах(у|у < а, у < в).
Можно показать [2], что а х в =
а в
ного ранга такая, что [0 N
3. Бинарное отношение "А": (а, в) е А, если вf > > а% х пи или в(/(х, и)) = У(а(х), и) для некоторой функции у: х и —► Ж, где пх и пи - проекции: %(х, и) = х и пи(х, и) = и для всех (х, и) е X х и.
4. Операторы М и т: М(в) - максимальная функция, образующая с в пару
(в, М(в)) е А, (а, в) е А ^ (а) < М(в);. (1.1)
т(а) - минимальная функция, с которой а представляет пару
(а, т(а)) е А, (а,в)еА^ т(а)<в. (1.2)
Из определения бинарного отношения [А] и соотношения (1.2) следует, что т(а) - векторная функция с наибольшим числом функционально независимых компонент, каждая из которых являет собой композицию переменных, стоящих в левой части (0.1), при этом соответствующие композиции правой части этого уравнения выражаются через компоненты функции а.
Формальная процедура вычисления значений оператора т требует введения специальной операции над векторными функциями и весьма трудоемка; детально она изложена в [2]. В несложных случаях достаточно следующего интуитивно понятного правила, которое проиллюстрируем на примере системы, описываемой следующими разностными уравнениями:
х1 (X + 1) = и1 (X) х4 (X), х2 (X + 1) = и1( Охз (X) + и2 (X),
Хз( X +1) = и2( X)( хз( X) + х4( 0)( х1 (X) + х2 ( X )) + + и (X) и2 (X), х4 (X +1) = и1 (X)(х3 (X) + х4 (X)) -- и2(X)(хз(X) + х4(X))(х1(X) + х2(X)).
Пусть задана векторная функция а(х) = х3 + х4. Непосредственно по уравнениям системы найдем векторную функцию от состояния в момент X + 1, содержащую наибольшее число функционально независимых компонент, каждая из которых выражается через сумму х3^) + х4(^) и вектор управления и^). Нетрудно видеть, что это будет функция ах(х) = х + х2) х (х3 + х4), поскольку + 1) + + х2^ + 1) = и^Хх^) + x4(X)) + u2(X) и х3^ + 1) + х4^ + + 1) = и^Хх^) + x4(X)) + u1(X)u2(X). Функция ах и принимается в качестве значения оператора т(а). Аналогично для ах описанные операции дадут т(ах(х)) = т2(а(х)) = (хх + х2) х х3 х х4.
В линейном случае, когда а(х) = Ах для некоторой матрицы А и система описана моделью (0.2), значения оператора т рассчитываются следующим образом [2]: если [0 N - матрица максималь-
= 0, то т(А) = Q.
Для оператора М вычислительная процедура не рассматривается, поскольку в этом нет необходимости.
Основные свойства отношений "<" и "А", операций и операторов состоят в следующем:
1) а < в ^ а х в ~ а;
2) (а х в)6 = аб х вб;
3) если (а, в) е А и у < а, то (у, в) е А;
4) (а, в) е А ^ т(а) < в ^ а < М(в);
5) если а < в, то т(а) < т(в) и М(а) < М(в);
6) М(т(а)) > а, т(М(в)) < в.
2. Анализ степени управляемости. Из смысла отношения "<" приходим к тому, что при ф < у функция ф определяет большую (строго говоря -не меньшую) степень точности, чем у. Состояния х и х0 будем называть ф-эквивалентными, когда ф(х) = ф(х0). Получим предварительно вспомогательный результат.
Лемма. Из ф-эквивалентности состояний в момент X при произвольном управлении и^) у-эк-вивалентность в момент X + 1 следует тогда и только тогда, когда (ф, у) е А или, что то же, т(ф) < у или ф < М(у), исходя из свойств отношения А и операторов т и М.
Доказательство. Необходимость. Пусть х^) и х°^) - состояния, такие, что ф(х^)) = = ф(х0^)). Для состояния х^) и управления и^) определим функцию у как
у(/(х(X), и(X))) = у(ф(х(X)), и(X)). (2.1)
Так как х^ + 1) = /х^), и©) и х0^ + 1) = /х°(г), и^)), то по условию леммы из равенства ф(х^)) = = ф^0©) следует у/х©, u(X))) = у(/(x0(X), и©)). Отсюда ясно, что замена вектора х© на х0© в правой части (2.1) сохраняет это равенство, и, таким образом, функция у - корректна. Тогда из (2.1) по определению бинарного отношения А получаем (ф, у) е А, что по смыслу операторов т и М эквивалентно неравенствам т(ф) < у и ф < М(у).
Достаточность. Пусть для функций ф и у справедливо включение (ф, у) е А, т.е. для некоторой функции у при произвольном управлении и^) выполняется равенство (2.1). Пусть также состояния х^) и х°^) ф-эквивалентны; тогда из (2.1) следует равенство у/х^), и^))) = у/х0^), и^))), т.е. состояния х^ + 1) = /хЬ), и^)) и + 1) = /х°(1), и^)) у-эквивалентны. Лемма доказана.
Понятие ф-эквивалентности связано с точностью ф следующим образом. Допустим, что состояние системы х^) в момент X определено с точностью ф, т.е. известно значение функции ф(х©). Предложим также, что состояние в момент X + 1, вычисленное по этому значению и управлению и©, установлено с точностью у. Тогда если состояние
х°(0 является ф-эквивалентным х(г), т.е. ф(х(г)) = = ф(х°(0), то и состояние в момент г + 1, расчитан-ное по значению х0(г) и управлению и(г), будет также известно с точностью у, причем выполняется равенство у(Дх(0, и(г))) = у(Дх°(0, и(г))).
Таким образом, говоря об известном с точностью ф (или у) состоянии, мы должны иметь в виду целый класс ф-эквивалентных (у-эквивалентных) состояний и построенное на их основе бинарное отношение А. С учетом сказанного получим один из главных результатов настоящей работы. Обозначим через и(к) последовательность управлений в моменты г = 0, 1, ..., к - 1: и(к) = {и(0), и(1), ..., и(к - 1)}.
Теорема. Если начальное состояние системы в момент г = 0 определено с точностью ф, то при известном управлении и(к) точность (степень управляемости) у достигается на к-м шаге тогда и только тогда, когда тк(ф) < у, где шг + 1 = ш(шг).
Доказательство. Необходимость. Из леммы и отмеченной выше связи точности ф с ф-эквивалентностью следует, что точность уь с которой может быть установлено состояние в момент г = 1 исходя из точности ф в момент г = 0, определяется неравенством т(ф) < у1. Аналогично, точность у2 в момент г = 2 исходя из точности у1 в момент г = = 1 - неравенством ш(ух) < у2 и так до последнего шага, на котором точность ук = у в момент г = к задается неравенством ш(ук - х) < ук = у. Из свойства оператора ш и транзитивности отношения предпо-рядка "<" неравенство ш(ф) < у1 влечет т2(ф) <
< ш(ух) < < у2. Продолжая аналогично, получим в итоге шк(ф) < ш(ук - 1) < ук = у.
Достаточност ь. Пусть шк(ф) < у, тогда из свойств операторов Миш следует М(шк(ф)) <
< М(у), откуда шк - х(ф) < М(шк(ф)) < М(у). Обозначим ук - 1 = М(у), тогда ш(ук
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.