Автоматика и телемеханика, Л- 10, 2007
Устойчивость систем
РАС Б 02.30.0z, 47.20.Ку
© 2007 г. И.А. ВАШКИРЦЕВА, канд. физ.-мат. наук,
Т.В. ПЕРЕВАЛОВА (Уральский государственный университет, Екатеринбург)
АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ АТТРАКТОРОВ ПРИ БИФУРКАЦИИ ТОЧКА ПОКОЯ - ЦИКЛ1
Исследуется бифуркация точка покоя цикл в нелинейных динамических системах. находящихся под воздействием случайных возмущений. Для описания вероятностных свойств соответствующих стохастических аттракторов предлагается использовать новую конструкцию функцию стохастической чувствительности. Эта функция позволяет достаточно просто описать разброс случай-пых траекторий вокруг детерминированного аттрактора. Приводится теоретическое описание функции стохастической чувствительности как для точки покоя. так и для предельного цикла. Возможности данного подхода демонстрируются па примерах стохастических моделей Хопфа, Вап-дер-Поля и брюссе-лятора.
1. Введение
Метод стохастических функций Ляпунова, начиная с основополагающей работы Каца И.Я. и Красовского H.H. [1]. является теоретическим фундаментом анализа устойчивости динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений. Этот метод позволил не только распространить на стохастические уравнения базовые конструкции классической теории детерминированной устойчивости, но и получить новые интересные результаты, отражающие особенности, присущие только вероятностным системам.
Изучение воздействий случайных возмущений на поведение автоколебаний нелинейных систем было начато в [2] и продолжено в большом числе работ других исследователей [3 5].
Под воздействием стохастических возмущений случайные траектории системы покидают аттрактор детерминированной системы и формируют вокруг него некоторый пучок. Благодаря устойчивости аттрактора плотность распределения вероятности случайных состояний в этом пучке стабилизируется. Установившееся стационарное вероятностное распределение определяет соответствующий стохастический аттрактор. Классическим разделом качественной теории детерминированных динамических систем является бифуркация перехода от точки покоя к циклу (бифуркация Андронова-Хопфа).
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 06-01-00625, 06-08-00396, 07-01-96079-р_урал).
Цель данной работы изучение бифуркации Андронова-Хопфа для стохастических аттракторов.
Рассмотрим детерминированную нелинейную систему дифференциальных уравнений
(1) ¿х = /(х) ¿г, х,/ е М",
где /(х) - достаточно гладкая вектор-функция.
Пусть система (1) имеет аттрактор М С М" - инвариантное для (1) ограниченное замкнутое множество. Предполагается, что М экспоненциально устойчиво. Это означает, что для малой окрестности и множества М найдутся константы К > 0 I > 0, такие что для любого решения ж(г) системы (1) с начальным условием ж(0) = жо е И при всех г ^ 0 выполняется неравенство
||д(х(г))|| < Кв-"||д(хо)||.
Здесь
д(х) = х — 7(х), 7(х) = а^тт ||х — у||,
уем
|| • || - евклидова норма, 7(х) - ближайшая к х точка аттрактора М, а д(х) - вектор х М и
антна.
Рассмотрим наряду с (1) соответствующую стохастическую систему уравнений Ито [61
(2) ¿х = /(х) ¿г + £<т(х) ¿'ш(г).
Здесь - п-мерный стандартный винеровский процесс, <т(х) - достаточно гладкая п х п-матричная функция, задающая зависимость случайных возмущений от состояния системы, е - параметр интенсивности возмущений.
В результате действия невырожденных шумов (<г(х)|м = 0) случайные траекто-
М
него некоторый пучок.
Детальное вероятностное описание случайных траекторий в этом пучке в терминах плотности распределения дается уравнением Фоккера Планка Колмогорова (ФПК).
Если характер переходного процесса несуществен, а основной интерес представляет установившийся режим, то можно ограничиться рассмотрением стационарной плотности распределения р(х, е), задаваемой стационарным уравнением ФПК
е2 " д2 " д
(3) у дхд^(азр) — дх,(/р) = аз =[ааТ] ^•
г,з=1 г 3 г=1 г
Непосредственное использование этого уравнения даже в простейших ситуациях (например, когда рассматривается стационарно-распределенное состояние автоколебательной системы с одной степенью свободы) весьма затруднительно. Важный для практики случай воздействия малых помех приводит к известным проблемам анализа уравнений с малыми коэффициентами при старших производных.
Для систем с малыми случайными возмущениями в работе [7] предложен подход, использующий некоторую специально конструируемую функцию Ляпунова -у(х) =
= — lim e2 ln p(x,e) - квазипотенциал. В случае малых шумов с помощью квазиио-тснциала можно записать асимптотику стационарной плотности
Квазипотенциал v(x) связан с некоторой вариационной задачей минимизации функционала действия и удовлетворяет уравнению Гамильтона Якоби. Уравнение Гамильтона Якоби выглядит проще, нежели исходное уравнение ФПК, однако и его точное решение является по-прежнему весьма сложной задачей. Здесь возможен конструктивный подход, связанный с введением еще одной асимптотики малой окрестности исследуемого аттрактора. Для классических аттракторов точки покоя. предельного цикла и тора соответствующие аппроксимации квазипотенциала исследовались в [8 11].
В разделе 2 рассматривается стохастический аттрактор, связанный с устойчивой точкой покоя. Представлена асимптотика стационарной плотности распределения, задаваемая матрицей стохастической чувствительности.
В разделе 3 дается описание стохастического аттрактора, связанного с предельным циклом, приведена система, задающая стохастическую чувствительность вдоль цикла.
Для важного случая цикла на плоскости в разделе 4 построение стохастической функции чувствительности сводится к решению краевой задачи для скалярного уравнения.
В разделе 5 показано, что для случаев, когда отыскание стационарной плотности невозможно, функция стохастической чувствительности позволяет достаточно просто описать разброс случайных траекторий вокруг детерминированного аттрактора. На примерах моделей Хопфа, Ван-дер-Поля и брюсселятора продемонстрированы общие закономерности и отличительные особенности реакции аттракторов (точка покоя цикл) на случайные возмущения.
В простейшем случае, когда аттрактор М состоит го единственной точки покоя х (М = {х}, х - экспоненциально устойчива для (1)), для квазипотенциала используется квадратичная аппроксимация у(х) « ^(х — х, Ш-1(х — х)). Эта аппроксимация
позволяет представить асимптотику стационарной плотности в форме нормального распределения
с ковариационной матрицей е2Ш. Эта матрица характеризует разброс случайных траекторий системы (2) вокруг равновесия х.
Пусть А1 ^ А2 ^ ... ^ Ап - собственные чиела, а Н— Н2,... ,Нп - ортонормиро-ванный базис собственных векторов матрицы Ш. При невырожденных шумах все Аг положительны. При этом собствеиное число Аг задает разброс (дисперсию) случайных траекторий в направлении вектора Нг.
Матрица Ш является решением алгебраического уравнения
2. Точка покоя
(4) FW + WFт = -S,
где
р = /(х), 5 = ааТ, а = о-(х).
В случае экспоненциальной устойчивости точки покоя х спектр матрицы Р лежит в левой полуплоскости, что гарантирует существование и единственность решения уравнения (4).
Матрица Ш, связывая интенсивность воздействия е2 с ковариацией е2Ш разброса случайных траекторий вокруг х, играет роль коэффициента стохастической чувствительности равновесия х.
М
цикл. Такой цикл может быть задан некоторым Т-периодическим решением х = £(г), где х0 = £(0) - фиксированная точка цикла. Решение £ (г) на интервале [0, Т) задает естественную параметризацию точек цикла: М = {£(г) | 0 < г < Т}. Предполагается. что цикл экспоненциально устойчив. В этом случае вокруг цикла формируется стационарно распределенный пучок случайных траекторий системы (2). лежащих в некоторой инвариантной для системы (2) окрестности И. Пусть П - гиперплоскость, ортогональная циклу в точке £(г) (0 < г < Т). Через И обозначим окрестность точки £(г), лежащую вП( : И = И р| П4. Предполагается, что И4 р| И = 0 при г = е. Вероятностное описание случайных траекторий в пучке удобно связать со следующей векторной функцией Значения X есть точки пересечения случайных траекторий нелинейной системы (2) с И4. Вероятностное распределение траекторий в пучке с течением времени стабилизируется, поэтому случайная переменная X в окрестности И имеет некоторое стационарное распределение с плотностью р4(х, е). Для малых шумов с помощью соответствующей квадратичной аппроксимации квазипотенциала вблизи цикла можно записать экспоненциальную гауссовскую асимптотику
со средним значением = £(г) и ковариационной матрицей Р(г,е) = е2Ш(г) (здесь + _ оператор псевдообращения).
Это распределение, сосредоточенное в гиперплоскости П4, является сингулярным гапкР(г, е) ^ п — 1. Для невырожденных шумов (det <г(х) |м = 0) имеем гапкР(г, е) = = п — 1. Ковариационная матрица Р(г,е) характеризует разброс точек пересечения случайных траекторий с гиперплоскостью П4.
Рассмотрим собственные значения Л1(г) ^ Л2(г) ^ ... ^ Лп(г) ^ 0 и собственные векторы ^1(г), ^2(г),..., ^"(г) матрицы Ш(г). В силу вырожденности Ш(г) собственное значение Ап(г) = 0. Остальные собственные значения и соответствующие им собственные векторы характеризуют разброс пучка в гиперплоскости П4 по величине и направлению. Матрица Ш(г), играющая роль функции стохастической чувствительности цикла, является решением системы
3. Предельный цикл
(5) = Р (г)ш + шрТ (г) + Р (г)5(г)Р (г),
(6) Ш (г + Т ) = Ш (г),
(7) Ш (г)г(г) = 0, г(г) = / (£(г)).
Здесь
Р (г) = дх т), = G(t)Gт(t), С(г)=
р(*) = Р}Ш), рг = I - гтГ•
Эта система, благодаря экспоненциальной устойчивости цикла, имеет единственное решение [8. 10].
4. Случай цикла на плоскости
В случае цикла на плоскости матрица Ш (г), задающая стохастическую чувствительность цикла, и проекционная матрица Р(г) имеют ранг, равный единице, и пред-ставимы в виде
Ш (г) = m(t)P (г), Р (г) = р(г)рт(г).
Здесь р(г) - нормированный вектор, ортогональный касательному вектору f (£(г)), а, следовательно, и циклу М в точке £(г), а т(г) > 0 - Т-периодическая скалярная
р( г)
Подстав
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.