МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 6 • 2008
УДК 531.36
© 2008 г. В.Ф. ЖУРАВЛЁВ АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ ОБОБЩЕННЫХ СИЛ В УРАВНЕНИЯХ ЛАГРАНЖА
Об устойчивости механических систем согласно Томсону и Тету [1] можно судить по типу приложенных к ним сил. При этом силы обычно подразделяют на потенциальные (консервативные), циркуляционные, диссипативные, ускоряющие, гироскопические и т.п. Само разложение обобщенных позиционных сил на консервативные и собственно неконсервативные известно в том случае, когда эти силы линейно зависят от обобщенных координат (см., например, [1-5]). Такому разложению соответствует представление произвольной матрицы этих сил в виде суммы симметрической и кососимметриче-ской частей, осуществляемое единственным способом. Аналогичным образом можно разделить обобщенные силы, линейно зависящие от скоростей на диссипативную и гироскопическую части.
В настоящей заметке показывается, как выполнить такое же разложение в общем, нелинейном, случае.
Как хорошо известно, если в уравнениях Лагранжа
d (д T\ д T nft . ■ s л s
ВД ~дЩ{ = Q¡(q qnn ( ¡ = n n
обобщенные силы потенциальны (консервативны), или обобщенно потенциальны, то они могут быть записаны с помощью функции Лагранжа L = T - U в той же форме, но с нулевой правой частью d/dt(dL/dq_i) - dL/dq¡ = 0. С помощью функции Лагранжа уравнения могут быть записаны и тогда, когда консервативна лишь часть обобщенных сил. Тогда в правой части уравнений остаются только "собственно неконсервативные" обобщенные силы. Между тем определение собственно неконсервативных сил в литературе известно лишь в линейном случае. Если обобщенные силы нелинейны, определение собственно неконсервативных сил отсутствует. Неизвестна, следовательно, и процедура разделения их на консервативную и собственно неконсервативную части.
Естественно возникает вопрос о существовании и единственности подобного разложения.
Начнем рассмотрение этого вопроса с того, что известно в линейном случае. Пусть силы Q¡ линейны и имеют позиционный характер, т.е. зависят только от времени и от обобщенных координат. Такие силы можно записать следующим образом [6]:
Q¡ = Xa¡jqj (¡'j =—ns i
Поскольку зависимость от времени в дальнейшем никакой роли не играет, она явно и не указывается.
Матрица этих сил A = {a¡j}n х n может быть единственным образом представлена суммой
A = K + N (KT = K, NT = - N)
Также в виде суммы представляются и обобщенные силы
Q = Aq = Kq + Nq
где силы Q = Kq называются потенциальными или консервативными. Для них существует потенциальная функция
U = ( 1/2 )£ kqqj
>,j
так, что Q' = dU/dq. Обычно существование потенциала для этих сил и берется в качестве их определения.
Силы Q = Nq имеют в литературе несколько названий: собственно неконсервативные или псевдогироскопические или циркуляционные (от французского circulaires, с правильным переводом: циркулярные или окружные) и др. Их характеристическим свойством является ортогональность вектору обобщенных координат q:
I Qq = о
i
немедленно следующая из свойств косой симметрии матрицы N.
В задачах управления механическими системами используется и более подробная классификация линейных обобщенных сил [9]. Так симметрическую матрицу K произвольных потенциальных сил можно единственным образом разложить на скалярную матрицу и матрицу с нулевым следом (девиатор): K = C + H, где C = cE, c = trK/n, H = K - cE; E - единичная матрица. Соответственно силы Cq называются потенциальными силами сферического типа, а силы Hq потенциальными силами гиперболического типа.
Аналогично, произвольные линейные скоростные силы Q = Bq могут быть единственным образом разбиты на сумму трех слагаемых: Bq = Dq + Gq + Г q, (D = dE, G = B - Г - dE, Гг = -Г), где Dq - диссипативные или ускоряющие (в зависимости от знака d) силы сферического типа, Gq - скоростные силы гиперболического типа и Г q - гироскопические силы.
Пример [9]. В задаче об управлении плоским маятником q + q = 0, q = (qb q2), описывающим в общем случае эллиптическую траекторию, можно управлять этой траекторией, прикладывая к нему подходящие силы из числа перечисленных
q + q = ( C + H + N) q + (D + G + Г) q
Возникающую под действием этих сил эволюцию эллиптической траектории удобно проследить в фазовых переменных, называемых в небесной механике элементами орбиты: т, k, r, ф, где т есть время, проходимое маятником от фиксированной точки траектории до текущей, k - малая полуось эллипса, r - большая, ф - угол наклона большой полуоси к оси qx. В [9] получена следующая таблица, из которой следует, что потенциальные силы сферического типа (C) вызывают только изменение сдвига по времени, циркулярные силы (N) вызывают только изменение малой полуоси, ускоряющие силы сферического типа (D) вызывают только изменение большой полуоси и гироскопические силы (Г) вызывают только вращение эллипса вокруг начала координат.
Эти эволюции исчерпывают все возможности управления четырехмерным фазовым состоянием осциллятора. Силы гиперболического типа в управлении обычно не используются.
В случае, когда обобщенные силы нелинейны, в основу их определений кладем свойства этих сил. Будем называть силы потенциальными, если, как и в линейном случае,
C N D Г H G
Т * * *
k * * *
r * * *
Ф * * *
они имеют потенциал и циркулярными, если они ортогональны вектору обобщенных координат.
Для разложения произвольных нелинейных позиционных сил на потенциальные и циркулярные воспользуемся идеей, которую уже можно было применить и в линейном случае. А именно, вычислим работу линейной позиционной силы Q при замороженном времени на перемещении д:
1
и = Е а-(Х Л-) ^ = 2 ^ аИт1 0 ] ] После приведения подобных членом найдем
и = (1/2 крЛЛр „де к1] = (а р + —/2
Получен потенциал консервативной части исходных обобщенных сил. Квадратичная форма получается из билинейной формы ^ si а-л- после отождествления я и л [7]. Построив по найденному потенциалу консервативную часть силы 2, находим циркулярные силы в виде разности ^ - ди/дл.
В нелинейном случае поступаем также. Работа заданных нелинейных обобщенных сил 2 на перемещении л равна 1
и = ЛЙДЛ1,...Д Лп )йХ
0
Если ЭОр/Элр = Э2/Эл;, то силы потенциальны и найденная скалярная функция и(л) является их потенциалом. Это известная в теории дифференциальных форм теорема Пуанкаре [8]. Если сила 2 не потенциальна, то будем отождествлять функционал и с потенциалом ее консервативной части
а 1' Л
Q' = aqí XqjQj(k?i,-,kq.)
0 V j
dk
По аналогии с линейным случаем самосопряженный функционал (по-
0
рождается функционалом л; 2{Скл)^. Циркулярные силы находятся по формуле
Q" = Qi - Q'i •
Следует доказать два факта. Во-первых, что найденная таким образом сила действительно ортогональна вектору обобщенных координат и, во-вторых, что полученное разложение является единственным. Для установления первого факта вычислим вначале скалярное произведение потенциальной части вектора Q на вектор обобщенных координат q.
X о = X ^ о = IX о&(Х ) йХ+|Х М]д 2 ' ( ХХ(1п П ХйХ
' ' ' 0 ' 0 ', 1 1
Выполняя в последнем интеграле интегрирование по частям, получаем
1 1
X = IX ^ (Х?1,...,Х ) йх+/XX м = X йо
' 0 ' 0 ' '
Следовательно, установлено, что X 01 (Й' - Й') = 0, но это и означает, что сила Й - 2
г
является циркулярной компонентой силы 2.
Вопрос о единственности найденного разложения в нелинейном случае сложнее, чем в линейном. В нелинейном случае существуют циркулярные силы, являющиеся одновременно и потенциальными.
Примером может служить следующий потенциал У(х, у) = х/(х + у), порождающий циркулярную силу Е = (ЭУ/Эх, ЭУ/Эу) = {у, -х}/(х + у)2.
Класс потенциальных циркулярных сил легко описать. Пусть искомый потенциал таких сил есть У(ох,..., 0п). По определению циркулярных сил имеем X0'= 0.
г 1
Но это условие означает, что скалярная функция У(д1, ..., 0п) допускает группу подобия, поскольку она оказывается корнем оператора этой группы. Однако если предполагать, что сила Й разложима в ряд Тейлора в окрестности нуля, в частности, если эта сила имеет полиномиальный по обобщенным координатам вид, то допускать группу подобия она не может. Отсюда следует, что построенное разложение является единственным с точностью до описанного класса.
Пример. Разложить непотенциальную силу Р = (х, ху) на потенциальную и циркулярную части.
Решение. Строим потенциал искомой потенциальной части
1 1 2 2 и = |[ хГх (Хх,Ху) + у¥у (Хх,Ху )]йХ = |( х2 X + ху2 X2) йХ = х- + Ц-
00
Следовательно, потенциальная часть рассматриваемой силы имеет вид
Е' = (Эи/Эх,ди/ду} = {х + у2/3, 2ху/3}
Циркулярная часть силы находится так
Е'' = Е - Е' = {-у2/3, ху/3}
Легко видеть, что она перпендикулярна вектору г = (х, у).
Не следует думать, что построенное разложение нелинейной позиционной силы на потенциальную и циркулярную части соответствует известному в теории поля разложению на потенциальную и соленоидальную части. Рассмотри, к примеру, силу Р = (г, х, у},
являющуюся, очевидно, соленоидальнои, поскольку дивергенция от нее равна нулю. Применив к неИ изложенный метод разложения, находим потенциальную часть Р' = {у + г, х + г, х + у}/2 с потенциалом U = {xy + хг + уг)/2 и циркулярную часть Р'' = {г - у, х - г, у - х}/2. В этом примере сила линеИна и это же разложение можно получить обычным образом при помощи разбиения матрицы этоИ силы / л
0 0 1
1 0 0
0 1 0
\ /
на симметрическую и кососимметрическую части.
Замечание 1. Совершенно аналогично можно осуществлять разложение произвольной обобщенной силы 0($, q, 4) на силу, имеющую потенциал Рауса, и на гироскопическую силу. При этом роль обобщенной координаты играет обобщенная скорость, роль потенциальной силы играет диссипативная сила, а роль циркулярной - гироскопическая. Потенциалом диссипативноИ силы является потенциал Рауса. Пример. Разложить силу Р = {-у, ху2}. Решение. Строим потенциал Рауса
1 1 . . .3
Я = |[хРх(Хх, Ху) + уРу(Хх,Ху)]йХ = |[х(-Ху) + ху3Х2]йХ = --ху + ху-0 0 Таким образом, "диссипативная" часть силы получилась такоИ
Р' = {дЯ/дх,дЯ/ду} = {-у/2, -х/2 + ху2} Вычислим гироскопическую компоненту: Р'' = Р - Р' = {-у/2, х/2}
Замечание 2. НелинеИные
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.