научная статья по теме АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ СТОЯЧИХ МГД ВОЛН В МАГНИТОСФЕРЕ МЕТОДОМ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ФЛУКТУАЦИЙ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ Геофизика

Текст научной статьи на тему «АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ СТОЯЧИХ МГД ВОЛН В МАГНИТОСФЕРЕ МЕТОДОМ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ФЛУКТУАЦИЙ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ»

УДК 550.385

АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ СТОЯЧИХ МГД ВОЛН В МАГНИТОСФЕРЕ МЕТОДОМ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ФЛУКТУАЦИЙ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ © 2014 г. А. Р. Поляков

Институт солнечно-земной физики СО РАН, г. Иркутск e-mail: polar@iszf.irk.ru Поступила в редакцию 09.07.2012 г. После доработки 24.04.2014 г.

Метод корреляционных функций флуктуаций амплитуды и фазы сигнала (КФАФ) использован для обработки колебаний, численно получаемых для моделей разных типов стоячих МГД волн в плоском прямоугольном резонаторе. Установлено, что во всех без исключения случаях зависимости корреляционных функций флуктуаций амплитуды и фазы от сдвига фазы среднего колебания т имеют вид периодической последовательности пиков. Интервал между двумя соседними пиками определяется по универсальной формуле частотой первой гармоники одной из возможных одномерных стоячих волн резонатора. В предлагаемом методе конечным продуктом обработки являются измерения значений этой частоты. Кроме того метод КФАФ впервые был использован для обработки записей вариаций магнитного поля в диапазоне периодов от 0.5 с до 6.0 с. Для станций наблюдения

Борок (Ф = 53.9°, Л = 114.3°) и Монды (Ф = 46.7°, Л = 173.6°) экспериментально получены функции распределения периодов первой гармоники. Установлено, что все характерные значения этих периодов полностью соответствуют периодам известных стоячих МГД волн в плазмосфере и на ее границе.

DOI: 10.7868/S0016794014060145

1. ВВЕДЕНИЕ

Основные принципы, на которых основан предлагаемый здесь метод обработки записей колебательных процессов, были сформулированы в работах [Гульельми и др., 1983; Поляков и Потапов, 2001]. Под обработкой в данном случае подразумевается определенная последовательность программно реализованных численных процедур, которые служат для преобразования исходной записи сигнала. Примером может служить любой метод цифровой фильтрации или метод спектрального анализа, когда исходный сигнал преобразуется в зависимость спектральной функции от частоты. В предлагаемом методе конечным продуктом преобразования являются корреляционные функции флуктуаций амплитуды и фазы обрабатываемого сигнала. В работе [Поляков, 2010а, б] этот метод был весьма успешно использован для исследования структуры стоячих сейсмических волн в оболочках Земли.

Рассмотрим участок почти монохроматических колебаний, которые содержат малые по величине случайные изменения амплитуды и фазы. В этом случае на записи каждое отдельное колебание по своей форме, амплитуде и периоду немного отличается от всех остальных. Среди колебаний естественного происхождения так выглядят, например, регулярные геомагнитные пульсации

Pc1 и Pg, которые могут иногда сохранять этот колебательный режим в течение длительного времени. Согласно работе [Гудзенко, 1961] подобные колебания можно считать периодически нестационарным случайным процессом и для него справедливо обобщение эргодической теоремы. Это означает, что по всем отдельным колебаниям, которые входят в состав участка записи, мы можем определить одно среднее колебание, которое периодически повторяется от начала и до конца участка. Кроме того, при определении авто и кросскорреляционных функций случайных изменений амплитуды и фазы мы также можем использовать усреднение по ансамблю реализаций отдельных колебаний на участке записи. Именно в таком способе определения корреляционных функций заключается главная особенность предлагаемого здесь метода обработки, которая отличает его от всех прочих методов. Другой особенностью является использование алгоритма практического определения среднего колебания предложенного в работе [Гудзенко, 1962]. Этот алгоритм был положен в основу компьютерной программы, созданной при выполнении исследований в работах [Поляков и Потапов, 2001; Polya-kov and Potapov, 2003]. Порядок выполнения процедур обработки и их основные алгоритмы подробно описаны в указанных работах. Поэтому,

чтобы не повторятся, просто кратко перечислим основные этапы обработки.

Исходным является временной ряд цифровых отсчетов х(^), соответствующий интервалу записи колебательного процесса. После предварительной обработки (устранение выбросов, фильтрация и т.д.) каждое значение х(^) и время ti нормируется соответственно средней амплитудой и средним периодом колебаний в интервале. Для каждого отсчета определяется производная, у(^) = Ах/Л, и точки х(^), у(^) наносятся на фазовую плоскость прямоугольных координат (х,у). Каждое отдельное колебание на этой плоскости образует замкнутую траекторию (цикл), при малых флуктуациях не слишком отличающуюся от окружности единичного радиуса. Среднее колебание или средний цикл определяется методом последовательных приближений, алгоритм которого подробно описан в упомянутой работе [Гуд-зенко, 1962]. После этой процедуры, для всех точек х(^), у(^) исходных циклов определяется фаза среднего колебания 0г и отклонение вдоль направления нормали от среднего цикла п(0;). Тангенциальные отклонения точек определяются соотношением у(0,) = 0г -1¡. Физически фаза среднего колебания © = шt = где ю = 2п — средняя частота с учетом нормировки времени. Нормальные и тангенциальные отклонения п и у соответствуют случайным флуктуациям амплитуды и фазы колебаний. Полученные таким образом значения зависимостей п(©Д у(0г) и их производных по времени Ап/Л(0;), Ау/^(0;) позволяют определить для них кросс и автокорреляционные функции. Конечным продуктом перечисленных процедур обработки являются не сами эти функции, а их алгебраические комбинации, определяемые по формулам:

0(0, т) = (у(0)у(0-т)) х X (п(0)п(0 - т)) - (у(0)п(0 - т)) (п(0)у(0 - т)),

$(0, т) = (П(0)у(0-т)) X X (у(0)п(0 - т)) - (П(0)п(0 - т)) (у(0)у(0 - т)), ()

в2(0, т) = -(у(0)у(0 - т)) X X (у(0)п(0 - т)) + (у(0)п(0 - т)> (у(0)у(0 - т)) ,

где точка над символом означает производную по фазе 0, угловые скобки — усреднение по ансамблю отдельных колебаний, а т — сдвиг фазы. Зависимость этих функций от фазы 0 по определению является периодической, значит, ее можно представить в виде ряда Фурье, коэффициенты которого зависят только от т. Конечным продуктом обработки является коэффициенты нулевой гармоники ряда Фурье, которые совпадают со средними по фазе значениями каждой из функ-

ций. Эти, зависящие от т средние значения будем называть корреляционными функциями флукту-аций амплитуды и фазы (КФАФ).

По результатам работ [Поляков и Потапов, 2001; Поляков, 2010а, б] установлено, что эти функции обладают очень любопытным и полезным для их дальнейшего использования свойством. Для колебаний в любой из точек внутри резонатора или волновода, зависимости КФАФ от т имеют вид последовательности максимумов (пиков), следующих друг за другом через равные интервалы.

В работе [Поляков и Потапов, 2001] рассмотрена модель простейшего одномерного резонатора с "закрепленными" концами, колебания в котором возбуждаются волной "вынуждающей силы". Для колебаний в точке, находящейся вблизи одного из концов, удалось получить аналитические соотношения для КФАФ в приближении, когда частота источника не сильно отличается от одной из собственных частот резонатора. Оказалось, что зависимость КФАФ от т определяется рядами гармонических функций синус или косинус кратного аргумента х = (ю:/ ю)х, где ю, ю1 — частота источника и частота первой гармоники резонатора. Суммирование производиться по номерам гармоник. Результатом суммирования являются чередующиеся через равные интервалы пики, а положение пика на оси т определяется условием для аргумента х = 2п к:

т к = 2п к—, (2)

где к — номер пика. Отсюда интервал между двумя соседними пиками:

Д = Т к+1 -т к = 2я—. (3)

Ю1

Перечисленные свойства КФАФ напоминают принцип действия дифракционной решетки. Действительно, угловое распределение интенсивности света после прохождения через дифракционную решетку также определяется рядами гармонических функций кратного аргумента, отличие только в том, что суммирование производится не по номерам гармоник, а по номерам щелей решетки. Из условия, накладываемого на аргумент этих функций, следует известное условие для углового положения пика интенсивности или спектральной линии, совершенно аналогичное условию (2).

Обнаруженное сходство дает возможность нам попытаться применить метод КФАФ также как используется дифракционная решетка, т.е. для измерений. На входе программы обработки мы имеем запись колебаний в точке резонатора, а на выходе получаем последовательность пиков (линий) на зависимостях КФАФ от т. По пикам можно напрямую измерить интервал А. Частота ю сов-

0

200 400

600

А

ы2

5 X

^дЬ^ = у 2 д %

,2 д X

дг

дz2

дх

Ъ6К = у2 б\ _ у2 д2к

(5)

800 1000 т(*п/10)

Рис. 1. Пример зависимости всех КФАФ от фазового сдвига т для колебаний Ьх компоненты возмущения магнитного поля в модели плоского слоя.

падает со средней частотой на исходном участке записи колебаний. Соотношение (3) позволяет косвенно измерять частоту первой гармоники ю1.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛЬНОГО, ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Рассмотрим более реалистичную для геомагнитных пульсаций модель, основанную на уравнениях одножидкостной магнитной гидродинамики [Кадомцев, 1988] для плоского слоя при однородной плотности плазмы и постоянного магнитного поля направленного вдоль оси ОZ. Уравнения в частных производных для компонент возмущения магнитного поля Ьх и Ь^ имеют вид:

дг£ дг дz2 дхдг

где V — альвеновская скорость, 8 — декремент затухания.

Резонатором будем считать прямоугольник со сторонами /х, ^ вдоль осей ОХи OZсоответственно. Граничные условия соответствуют "закрепленным" концам:

Ьх(0, г) = Ьх(1х, г) = Ь, (1х, г) = 0, Ьх (х, 0) = Ьх(х, I,) = Ь,(х, 0) = Ьг(х, I,) = 0. Источником, возбуждающим волны в резонаторе, будем считать колебания Ьг — компоненты на стороне расположенной на оси OZ:

Ь,(0,г) = ¡(г, 1) = 8т(кг) [81и(ю?) + ДО] при 0 < г <

где ю и к — частота и волновое число колебаний в источнике, ¥ (г) — функция, определяемая случайным временным процессом. Для простоты в качестве ¥ (г) нами был выбран гауссовский "белый шум", который при решении уравнений задавался генератором случайных чисел.

В данной работе (4)—(5) используютс

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком